安徽省淮南市谢家集区等3地2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

2023~2024学年度九年级第四次综合性作业设计数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．若，则x的值是（

）A．2 B． C． D．32．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最长边为15，则的最短边长为（

）A．2 B．4 C．6 D．83．已知线段a、b、c满足，其中a=4cm、b=12cm，则c的长度为(

)A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm4．如果在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（

）A． B． C． D．5．如果，其面积比为，则它们的周长比为（

）A． B． C． D．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致可以是（）A． B． C． D．7．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，反比例函数的图像经过平行四边形顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（

）

A．9 B．10 C．12 D．159．如图，的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则长的最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．1610．如图，在正方形中，，E是的中点，F是延长线上的点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于O、H两点，若，则的长度为（

）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．过的反比例函数是；12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于．13．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象交于点D，交于点E．（1）面积与面积关系是；（2）若，，则k的值为．三、（本题每小题8分，满分16分）15．已知，求的值．16．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积．四、（本题每小题8分，满分16分）17．如图，是锐角的高，(1)求证：．(2)当，，时，求的值．18．如图，半圆O中的直径，于D，求证：五、（本题每小题10分，满分20分）19．如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，(1)的值为；(2)求的值．20．已知等边，E，F分别在边、上，将沿折叠，A点落在边上的D处．(1)求证：；(2)若时，求．六、（本题满分12分）21．如图，四边形内接于，是直径，过点C作于点D，连接

(1)求证：；(2)若的半径为5，是的切线，且，求的长．七、（本题满分12分）22．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”,例如，点（2，2）是函数y＝2x－2的图象的“等值点”(1)函数y＝2x＋2的图象的“等值点”坐标是；函数y＝x2－3x的图象的“等值点”坐标是；（直接填结果）(2)设函数y=，y＝－x＋b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．八、（本题满分14分）23．【感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F．（1）求证：．（2）若，E为的中点，求的长．【应用】如图③，在中，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连接，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为．

参考答案与解析

1．B【分析】本题考查了比例的性质；根据比例的性质计算即可；掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：故选：B．2．C【分析】设四边形最短边长为x，根据相似多边形的性质列得2：x=5：15，，从而求出x．【详解】设四边形最短边长为x，∵四边形相似四边形，∴2：x=5：15，解得x=6，故选：C．【点睛】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．3．D【分析】将a，b的值代入计算即可求出c的长度．【详解】解：∵，a＝4cm，b＝12cm，∴，∴c＝36cm，故选：D．【点睛】此题考查了成比例线段，正确计算是解题的关键．4．C【分析】根据反比例函数的增减性与系数之间的关系进行求解即可．【详解】解：∵在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知对于反比例函数，当时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而减小，时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而增大是解题的关键．5．D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．【详解】解：∵，其面积比为，∴相似比为，∴它们的周长比为，故选D．6．C【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a，b的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出a，b的符号，至此找出一次函数和反比例函数a，b的符号一致的选项即可．【详解】解：A.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意；B.由一次函数图象知a，b同号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项错误，不符合题意；C.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项正确，符合题意；D.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a，b的符号，明确系数与函数图象的关系．7．C【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.【详解】由题意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4，画树状图如下：a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.8．A【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数与几何综合，根据平行四边形的性质可得点D坐标为，再根据反比例函数的图像经过点C，D，进而可得，进而可得，再根据已知可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：四边形是平行四边形，，可由平移得到，点、点、点C的坐标分别为，，,点D坐标为，反比例函数的图像经过点C，D，，，，，，，故选A．9．C【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，可知要使长最小，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，利用坐标与图形性质和勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接，∵，，∴，若要使长最小，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、坐标与图形、点与圆的位置关系等知识，能将求的最小值转化为求长是解答的关键．10．A【分析】解：设，则，由翻折可知，，易证根据相似的性质得解得及，勾股定理求出，再证得即可求解．【详解】解：设，则，由翻折可知，，，E是的中点，，由题意可知：，，，即，解得，，，又，，，，，即：，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了矩形和翻折的性质，相似三角形的证明和性质的应用；解题的关键是巧设未知数，利用勾股定理和相似构造等量关系求解．11．【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．设反比例函数解析式为，然后把点代入求出值，即可得到解析式．【详解】解：设这个反比例函数解析式为，反比例函数图像过点，，解得：，这个反比例函数的解析式是．故答案为：．12．【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．【详解】解：∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．13．【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．【详解】解：根据题意，点、关于点对称，设点的坐标是，则，，解得，，点的坐标是．故答案为：．14．相等3【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，k的几何意义，根据点A与点D在反比例函数上得出，设点D的坐标为：，则，根据，得出，即可求出k的值．解题的关键是理解k的意义．【详解】解：∵点A与点D在反比例函数上，∴，∵，四边形为矩形，∴设点D的坐标为：，则，∵，∴，解得：，故答案为：相等；3．15．【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键．由题意得，，则，然后求解即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴．16．1【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，延长交y轴于C，∵轴，∴轴，设，则，∴，，∴．17．(1)见解析(2)1【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；（1）由勾股定理得，，相减求出，然后进一步变形整理即可；（2）代入数据求出，然后根据计算即可．【详解】（1）解：∵是锐角的高，∴由勾股定理得：，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）当，，时，，∴．18．详见解析【分析】连接，

由垂直的定义得到，根据圆周角定理及余角的性质得到，证明，根据相似三角形的性质即可得到答案．此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键．【详解】解：连接，∵，∴．又是的直径，∴，∴，∴，∴，∴．19．(1)1(2)【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出结论；（2）根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：是正方形，，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即，∴，同理可得，∴，故答案为：；（2）∵是正方形，，∴，∴，∵，∴，∵M为中点，∴∴，又，∴，∴，由勾股定理得：．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．20．(1)详见解析(2)【分析】（1）根据等边三角形的性质与折叠的性质得到，，进而证明，即可证明；（2）设，则，得到的边长为，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵沿折叠得到，∴，，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：设，则，∴的边长为，∵，，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，折叠的性质等知识．熟知相关知识，特别是相似三角形的判定与性质定理是解题关键．21．(1)见详解(2)【分析】（1）根据是的直径，可得，由，可得，再由四边形是的内接四边形，可得，即可求证；（2）连接，过作于点，根据切线的性质可得，从而得到四边形为矩形，可得，再由勾股定理求出即可求解．【详解】（1）证明：∵是直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，又，∴，∴．（2）如图，连接，过作于点，

∵是的切线，∴，即，∵于点，于点，∴，∴四边形为矩形，∴，，∴，∵的半径为5，∴，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．22．(1)（－2，－2）；（0，0），（4，4）(2)8或-4【分析】（1）根据“等值点”的定义计算即可；（2）先根据“等值点”的定义求出A、B、C的坐标，再表示出△ABC的面积列方程，求解即可．【详解】（1）（1）当时，∴函数y＝2x＋2的图象的“等值点”坐标是（－2，－2）当时，解得，∴或∴函数y＝x2－3x的图象的“等值点”坐标是（0，0），（4，4）故答案是：（－2，－2），（0，0），（4，4）；（2）当时，∴函数的图象的“等值点”A坐标是（2，2）当时，∴函数的图象的“等值点”B坐标是∵BC⊥x轴，垂足为C．∴C点坐标为∴，点A到BC的距离为∴整理得解得．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用、解一元二次方程，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义．23．（1）见解析（2）应用：或2【分析】（1）利用同角的余角相等得，从而证明结论；（2）由（1）知，得，代入计算即可；应用：分三种情况讨论：①，