数学分析中不等式的证明方法与举例论文

长春工业大学硕士学位论文定义：设在上可积，对任何,在上也可积，于是，由，，定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，又可以定义变下限的定积分：,,与统称为变限积分.定理：若在上连续，则其变限积分作为关于的函数，在上处处可导，且,更一般的有.例1.证明柯西不等式.证明：构造变上限辅助函数.显然在上连续，在内可导，且.所以在上单调减少，则，即.得到.例2.设在上连续，且单调递增，试证明.证明：构造变上限辅助函数：.显然，对，,.因为单调递增，则，则单调递增，所以,.因此.2利用函数单调性证明不等式定理:设函数在上连续,在内可导,则有(1)如果在内,那么,函数在上单调增加.(2)如果在内,那么,函数在上单调减少.例1.证明不等式：，.证明：设则，故当时，，严格递增；当，，严格递减.又因为在处连续，则当时，.即.故得证.例2.证明.证明：记，则，所以单调递增，于是由知.即.3利用微分中值定理证明不等式拉格朗日中值定理:设函数满足如下条件:在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.柯西中值定理:设函数和满足：(1)在上都连续；(2)在内都可导；(3)和不同时为零；(4)，则存在,使得.例1．设在上有一阶连续导数，且，证明.证明：令，由拉格朗日中值定理知.从而.所以.例2.当时,试证不等式.证明:构造函数.则在区间上满足拉格朗中值定理,且.故有,.即.又,则.即.例3.设，，求证.证明：令，,由题设条件可知，在上满足柯西中值定理.则,.故.由于，,则,故.由此得证.4利用积分中值定理证明不等式积分第一中值定理：若函数在上连续，则至少存在一点，使得.积分第二中值定理：设函数在上可积，若为单调函数，则，使得.例1．设为上的非负单调非增连续函数（即当时，），证明对于,有下面的不等式成立.证明：由积分第一中值定理有.,.从而.因此可得.即.又因,所以,故.例2.设在上连续，且单调递增，试证明.证明：要证该不等式只需证明.由于单调递增，利用积分第二中值定理，则存在，使.故.即.5利用泰勒公式证明不等式定理:若函数在上存在直至n阶连续导函数，在内存在阶导函数,则对任意给定的，，至少存在一点,使得:.例1.设在存在二阶连续导数，，并且当时，，求证：.证明:由于在上有二阶连续导函，因此对任何，利用和在点的二阶泰勒公式可得..由可得.又,所以.而时,，故.又由的任意性知例2．设在上有二阶连续导数，，证明.证明：将在处泰勒展开，.两边在上积分并注意到，得.从而得.6利用函数极值证明不等式极值的第一充分条件：设在点连续，在某邻域内可导.(1)若当时,当时,则在点取得极小值.(2)若当时,当时，则在点取得极大值.极值的第二充分条件：设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，.(1)若，则在取得极大值.(2)若，则在取得极小值.例1.证明：当，n为自然数时，.证明：构造辅助函数.则.当时，,当时，除时外，均有，故在时单调递增，在时单调递减，因此在上取最大值.于是有.例2.设,求证：，都有不等式.证明:令.有=.令，则.而.又因为,故.故在处取得极小值，又因为,.所以在区间[0,1]上的最大值为1，最小值为.因此.7利用函数凹凸性证明不等式定义:设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，，和任实数总有,则称为上的凸函数.反之，如果总有,则称为上的凹函数.定理:设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是（），.例1.证明:.证明:构造函数，，这时,,所以在(0,+∞)上是凸函数.所以,时，有.即.故.例2：（著名的均值不等式）设求证：.证明：设,则.所以在上为凹函数，则由凹函数性质可知.即.即.8利用幂级数展开式证明不等式证明方法:根据几个重要的初等函数的幂级数展开式，如下：；；；；．例1.当，证明.证明：因分别可写成幂级数展开式，有：．则不等式左边的一般项为，右边的一般项为，而当时，所以，. 9利用著名不等式证明不等式柯西不等式：设为任意实数（）则，其中当且仅当成比例时等号才成立.施瓦兹不等式：若上可积，则．若上连续，其中当且仅当存在常数使得时等号才成立（不同时为零）.詹森不等式：若为上凸函数，则对任意，，，有.例1.设，，，…，．求证：．证明：由柯西不等式．两边同时除以即得证．例2.已知，在上连续，为任意实数，求证.证明:所要证明的式子左端第一项应用施瓦兹不等式.同理可得.两式相加得.即得证.例3.证明不等式其中均为正数.证明：设.则.故在时为严格凸函数.依詹森不等式有.从而.即.又因,所以.即参考文献：[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2006.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[3]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[4]钱吉林等主编.数学分析题解精粹.[M]武汉：崇文书局，2011.[5]蒙诗德.数学分析中证明不等式的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2009，25(9).[6]贺彰雄.不等式证明的几种常见方法.湖北教育学报[J].2007，10(1).[7]王晓峰，李静.证明不等式的若干方法.数理医药学杂志[J].2008.12(1).致谢毕业论文设计的这段时间是我学生生涯中非常重要的时光之一.通过这次论文写作，我不仅学到了很多专业知识，而且我的其他能力方面都有一定提高.所以，借此论文结束之际，向所有帮助过我的人表示我最诚挚的敬意和感谢.本论文是在付老师的指导下和同学们的帮助下几经修改而完成的.所以,首先要感谢我的指导老师,我从她身上不仅学到了许多的专业知识，更感受到她在工作中的兢兢业业，生活中的平易近人.此外，她严谨的治学态度和忘我的工作精神更值得我去学习.同时，还要感谢我的同学,他们给我提供了很多有价值的材料和宝贵意见，所以我的论文才得以顺利完成.总之，衷心地感谢所有帮助过我的人！THEPROOFMETHODSANDEXAMPLESOFINEQUALITYOFMATHEMATICALANALYSISAbstractInequalityisaveryimportanttoolinmathematicalanalysis.Atthesametimeitisoneofthemainproblemsinthemathematicalanalysisstudy.Butthemethodsarevarious.Sothesystemicclassificationandsummaryfortheproofmethodsofinequalitystillhasgreatpracticalsignificance.Thispaperfirstsimplyintroducesthebackgroundofinequality,thenmainlydiscussesthedifferentproofmethodsofinequalities,andclassifiesthedifferentproofmethods.Atthesametimesummarizesvariousskillsintheinequalityproblem-solvingbydemonstratings