高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法方法一 函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研），函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到化难为易，化繁为简的目的有时，还实现函数与方程的互

S

分析

）利用公式

建立不等式，容易求解

的范围；（）利用的二次函数，将】（

a3a2d

S

S

的通及前公式是定数集数，利用来分即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆

的左右顶点为

，右顶点为

，设过点

PF

PB

4

(x1

,y1

)

PF

PB

4

2 2

t

9

F

P

(x2)2

y2

(x3)2

y2

4

5

1

20

mm

m

m

m

80)

20)

x

x

m

20

m

40

m

20

20

10

20)

y

0x

x

本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点

的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，方法二 数形结合的思想方法数形信息的转换应该是等价的、充要的要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路研究函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等，可从函数图像的直观性得到鲜明的利用数轴与坐标系包括直角坐标系、极坐标系，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代从统计图表、图像中，收集分析出的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论利用类比法、换元法如三角换元、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，

y

xx

2)

x

x

x5,6]答案由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求

x

x

x的零点以转化为求

x两函数图像的交点则画出

x的图像由于

上为

且为周期函数周期为

x是分段函数注意其图像共分为三部分如图可等共有

个交点其中有一个易

点评

要求

在区间5,6]内的零点的个数，可转化为求

交点的个数，可以作出图形，观察图形易得交点的个数本题体现了数形结合的思想正是运用数形结合的思想方法解题的途径【例

2

55

2

55

2

55

2

55

由图象知为奇函数，∴

原不等式为2

52

5

55

而方程

的解为

2

55

据图像可知原不等点评

方法三 分类讨论的思想方法其中最重要的一条是不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些结论成立的条件掌握牢固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进行分类讨论，而何时无须讨论，从

】（

年上海二模）点Q(x,y)是函数

答案

图像上的任意一点，点P(0,5)，则P

两点之,

x,

x

(y

(y

9

y

1

x2

时，

取最小值为

．综上

时，

P

由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解体现了数学

2,3,

分析

2,3,

q

1

q

1

a

2,3,

q

1

U点评

f

f

答案

f

1a

1a2a

1a

1a

3a2

2a

3a1

】本题的解题关键在于讨论

的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致方法四 概括归纳的思想方法概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性归纳是一种逻辑型的思维形状，是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性一类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，对数运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表

）．

分析】（）利用数列

项的算术平均数等于第项的

倍，推出关系式，通过

）通过（）归纳出数列

的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证

成立；第二步，假

(2

）．

(2

aa

a

L

a

ak

1

(2k

a

(2

(2k

k

)a

(2k

3k

)a(2

(2

(2

(2

(2

(2

(2

本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上方法五 化归与等价变换的思想方法在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己这一思想方法我们称之为转换化归思想”.而转换

）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问）换元法：运用换元把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题

x

y

）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合

，而包含该问题的整体问题的结果

化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题

x

y

x

yx

y

x

y

，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点x

y

的范围就是

368k

0

椭圆上的点到坐标原点的距离的平方由图可知最小值是

距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切 x

y

sin

x

yx

y

12 sin 1 2 2 2 2

x

y

点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能而且各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题