2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（B）卷加试解析

12023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)如图，△ABC的外心为O,在边AB上取一点D,延长OD至点E,使得A,O,B,E四点共圆.若OD=2,AD=3,BD=4,CD=5,证明：△ABE与△CDE的周长相等.证明：由A,O,B,E共圆得AD·BD=OD·DE,又OD=2,AD=3,BD=4,所以DE=6.……………10分由OA=OB得∠OAD=∠OEA,故△OAD∽△OEA,所以OA²=OD·OE=2×(2+6)=16,得OA=4.知OC=4,又CD=5,由知OC=4,又CD=5,故……………20分……………30分故EC=2CD=10.AB+AE+BE=7+6+8=21,CD+DE+EC=5+6+10=21,即△ABE与△CDE的周长相等.……………40分二.(本题满分40分)设m,n是给定的整数，m≥n≥3.求具有下述性质在n个蓝色的数y,,y₂,…,y。(允许相同),满足y₁+y₂+…+y₂-<y,·2解：答案是mn-n+1.对k<mn-n,可在上述例子中删去大于k的数，则得到不符合要求的例子.因此所求k≥mn-n+1.………………10分下面证明k=mn-n+1具有题述性质.假设可将1,2,…,mn-n+1中的每个数染为红色或蓝色，使得结论不成立.情形一：若1是红色的数，则红色的数均不超过m-1,否则可取一个………………20分故m,m+1,…,mn-n+1均为蓝色的数，此时取y₁=y₂=…=y₂-=m,y,=mn-n+1,有y₁+y₂+…+y₁-1=m(n-l)<mn-m+l≤mn-n+1=y₁,(*)与假设矛盾.………………30分情形二：若1是蓝色的数，则同情形一可知蓝色的数均不超过n-1,故n,n+1,…,mn-n+1均是红色的数.此时取x₁=x₂=…=Xm-1=n,xm=mn-n+1,与(*)类似，可得矛盾，综上，所求最小的正整数k=mn-n+1………………40分证明你的结论.系数为2k-2024,从而…………20分3S≤1010×1012-1011×44<10⁶,(1)a+b+c+d=2023;(2)ab+ac+ad+bc+bd+cd(a+b)(a+c)(a+d)=a²(a+b+c+d)+(abc+bcd+cda+dab)是2023的倍数，故a+b,a+c,a+d中至少有一个是7的倍数.……………10分由对称性，不妨设a+b是7的倍数，则c+d=2023-(a+b)也是7的倍数，ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)也是7的倍数，故结合(2)知ab+cd是7的倍a²+c²=a(a+b)+c(c+d)-(ab+cd)也是7的倍数.又平方数除以7的余数只能是0,1,2,4,因此a²,c²只能同时是7因此a+b,a+c,a+d中至少有两个是17的倍数.不妨设a+b,a+c都是17的ab+ac+ad+bc+bd+cd=(a+b