数字信号处理课件

<<数字信号处理>>

程佩青第三版课件第一章

离散时间信号与系统学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。1.1离散时间信号——序列信号是传递信息的函数。针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号：（1）连续时间信号 -----自变量取连续值，而函数值可连续可离散。当函数值是连续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。（2）离散时间信号 -----自变量取离散值，而函数值连续。（3）数字信号 -----自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离散化了的离散时间信号。离散时间信号是对模拟信号xa(t)进行等间隔采样获得的，采样间隔为T，得到：一、离散时间信号——序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T这里

n取整数。对于不同的

n值，xa(nT)

是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如二、常用序列1.单位抽样序列

(n)0

1/

t

(t)0(1)t

(t)1n0

(n)2.单位阶跃序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)(n)与u(n)之间的关系令n-k=m，有3.矩形序列RN(n)N为矩形序列的长度0nR4(n)1234.实指数序列，a为实数0n0<a<10na>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值摆动0n-1<a<00na<-15.正弦序列式中，ω为数字域频率，单位为弧度。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么Ω为模拟角频率，单位为弧度/秒。T为信号的采样周期，fs为信号的采样频率。6.复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。当

=0时，上式可表示成上式还可写成表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了。7.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：例：则称x(n)为周期序列，最小周期为N。一般正弦序列的周期性设那么如果则N，k均取整数式中，A为幅度，ω0为数字域频率，

为初相。正弦序列的周期性讨论：整数时，则正弦序列有周期，当k=1时，周期为有理数时，设=P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k为最小正整数，只有k=Q，即N=P时，所以正弦序列的周期为P无理数时，则正弦序列无周期。例如，用单位采样序列来表示任意序列三、序列的运算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n0x1(n)+x2(n)n0同序号的序列值逐项对应相加2.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)

·x2(n)同序号的序列值逐项对应相乘3.序列的移位当n0>0时，序列右移 ——延迟当n0<0时，序列左移 ——超前x(n)n0n0x(n-2)4.序列的翻转n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻转序列。x(-n)是以纵轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转。x(n)n05.尺度变换x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。

——抽取序列是序列相邻抽样点间补（m－1)个零值点，表示零值插值。

——插值序列6.累加（等效积分）7.差分运算

前向差分 后向差分8.卷积和等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。1.2线性移不变系统离散时间系统T[•]x(n)y(n)在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T[]表示，即1.2.1线性系统若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统。其中a、b为任意常数。设[例]是线性系统。证：所以，此系统是线性系统。[例]所代表的系统不是线性系统。证：但是所以，此系统不是线性系统。增量线性系统对增量线性系统，任意两个输入的差是两个输入差的线性函数1.2.2时不变系统（移不变系统）时不变系统T[•]x(n)y(n)若则n0为任意整数。输入移动任意位（如n0位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。[例]证：所以，此系统是时不变系统。[例]证：所以，此系统不是时不变系统。同理，可证明所代表的系统不是时不变系统。1.2.3线性时不变系统输入与输出

之间的关系T[•]

(n)h(n)一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统(linearshiftinvariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征。

单位取样响应，也称单位冲激响应，是指输入为单位冲激序列时系统的输出，一般用h(n)来表示：根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质设系统的输入用x(n)表示，而因此，系统输出为通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示： 线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：用单位取样响应h(n)来描述系统h(n)x(n)y(n)线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。例

已知x(n)和h(n)分别为：和a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的线性卷积。计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。解

参看图，分段考虑如下：(1)对于n<0；(2)对于0≤n≤4；(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；(5)对于(n-6)>4，即n>10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m)n图解说明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1)n<0n-6mh(n-m)n0(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04(3)4<n≤6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4)6<n≤1010(5)n>10n-6mh(n-m)n04(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04图解说明(2)在0≤n≤4区间上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在4<n≤6区间上n-6mh(n-m)n0460mx(m)4(4)在6<n≤10区间上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4综合以上结果，y(n)可归纳如下：卷积结果y(n)如图所示6ny(n)1004[例]设有一线性时不变系统，其单位取样响应为解：分段考虑如下：(1)对于n<0；(2)对于0≤n≤N－1；(3)对于n

N。(2)在0

n<N区间上(3)在nN区间上(1)(2)(3)y(n)例设有一线性时不变系统，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234对有限长序列相卷，可用竖乘法注：1.各点要分别乘、分别加且不跨点进位；2.卷和结果的起始序号等于两序列的起始序号之和。由上面几个例子的讨论可见，h(n)x(n)y(n)设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积满足以下运算规律：交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)结合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+h2(n)x(n)y(n)序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0：[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系统的输出y(n)。m(n)解：设级联的第一个系统输出m(n)1.2.4系统的因果性和稳定性在系统中，若输出y(n)只取决于n时刻，以及n时刻以前的输入，即称该系统是因果系统。对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：如因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。稳定系统对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|≤M(M为正常数)，有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。[例]设某线性时不变系统，其单位取样响应为式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：由于n<0时，h(n)=0，故此系统是因果系统。所以时，此系统是稳定系统。[例]设某线性时不变系统，其单位取样响应为式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：(1)讨论因果性由于n<0时，h(n)

0，故此系统是非因果系统。

(2)讨论稳定性所以时，此系统是稳定系统。1.3线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：连续时间线性时不变系统线性常系数微分方程离散时间线性时不变系统线性常系数差分方程求解差分方程的基本方法有三种：经典法求齐次解、特解、全解递推法求解时需用初始条件启动计算变换域法将差分方程变换到Z域进行求解[例]设差分方程为求输出序列设系统参数设输入为初始条件为解：依次类推延时延时a0x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的结构1.4连续时间信号的抽样连续时间信号离散时间信号采样内插信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；经过采样后信号内容会不会有丢失；如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。1.4.1采样S0tT2T0tP

(t)T

0txa(t)最高频率为fc

理想采样一、理想采样xa(t)P

(t)0txa(t)^0t0tT1T定义单位冲击函数t0

(t)(1)单位冲击函数有一个重要的性质：采样性若f(t)为连续函数，则有将上式推广，可得t0

(t-t0)二、频谱的周期延拓即即-1由于是周期函数可用傅立叶级数表示，即采样角频率系数对称性移频特性根据

0(

S)

S2

S-

S-2

S

S采样信号的傅氏变换为即 采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为

s。讨论：

S/2

C

S2S3S

0-

S(c)-C

C

S/2

0(a)最高截止频率

S/2

0-

S2S

S(b)称Nyquist采样率称折叠频率

C

S/2

S

0-S~称Nyquist范围采样定理：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率

s

2

C。由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：1.采样频率低2.连续信号的频谱没有被限带0

C

2C

3C

4C

可选

s=(3

4)

C

低通采样频域分析且在时，0

T

S/2-S/2G(j

)g(t)1.4.2采样的恢复时，0

0

0

时域分析g(t)时，0

T或称为内插函数采样内插公式采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息。tnT(n+1)T(n+2)T(n+3)T(n-1)T内插函数采样的内插恢复第二章

z变换和DTFT本章主要内容：

1、z变换的定义及收敛域

2、z变换的反变换

3、z变换的基本性质和定理

4、离散信号的DTFT5、z变换与DTFT的关系

6、离散系统的z变换法描述§2.1z变换的定义及收敛域信号和系统的分析方法有两种：

——时域分析方法

——变换域分析方法连续时间信号与系统——LTFT离散时间信号与系统——ZTFT一、ZT的定义

z是复变量，所在的复平面称为z平面二、ZT的收敛域对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。

级数收敛的充要条件是满足绝对可和1）有限长序列除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n2≤0，则收敛域不包括∞点如果n1≥0，则收敛域不包括0点如果n1<0<n2，收敛域不包括0、∞点2）右边序列因果序列的z变换必在∞处收敛在∞处收敛的z变换，其序列必为因果序列3）左边序列4）双边序列例1收敛域应是整个z的闭平面例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内§2.2z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)1、围数积分法求解（留数法） 若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：1、围数积分法求解（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而

其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：单阶极点的留数：思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何2、部分分式展开法求解IZT

：常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1若函数X(z)是z的有理分式，可表示为：利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z)的z反变换。例2 设利用部分分式法求z反变换。解：3、幂级数展开法求解（长除法）:一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的

x(n) 展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列例1ROC1:)1长除法示例解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数ROC2:)1解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式1、线性性§2.3

Z变换的基本性质和定理R1∩R2R|a|RR2、序列的移位3、z域尺度变换（乘以指数序列）4、z域求导（序列线性加权）Z变换的基本性质（续）5、翻褶序列1/RR6、共轭序列7、初值定理8、终值定理Z变换的基本性质（续）9、有限项累加特性ZT的主要性质参见书p.69页的表2-210、序列的卷积和11、序列乘法12、帕塞瓦定理§2.4

序列ZT、连续信号LT和FT的关系若：连续信号采样后的拉氏变换LT——抽样序列：当两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为对比：进一步讨论这一映射关系：1s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω

=Ω0正实轴ω=0实轴Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换 数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率W的关系为 在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即 所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p§2.5离散信号的付氏变换DTFT一、DTFT的定义变换对：称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。FT存在的充分必要条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。二、比较ZT和DTFT的定义：利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值例1、计算门序列的DTFT

(类似Sa(.)函数)(线性相位)解：DTFT幅频特性：相频特性：图示说明：)(wX0p2p2-pp-N=8Nw例2、已知(),计算其DTFT。由此可以得到FT的幅频特性和相频特性三、FT与DTFT的关系归一化利用FT与DTFT关系计算下列序列的DTFT例：解：1）2）3）§2.6DTFT的一些性质1、线性性：2、实序列：实偶性：实奇性：3、时移特性：4、乘以指数序列（调制性）5、序列线性加权6、序列翻褶7、序列共轭8、卷积定理：

(时域)

(频域)DTFT的主要性质参见书p.78页的表2-39、帕塞瓦尔定理：(ParsevalTheory)频域卷积在一周期内积分,称周期卷积。下面举例说明DTFT性质的使用。

计算下列积分I的值。解：根据利用时域卷积定理有：上式卷积n=0时就是积分I的值。§2.7周期性序列的DTFT1、复指数序列的傅里叶变换复指数序列ejw0n的傅里叶变换，是以w0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p思考，DTFT[cos(w0n+f)]、DTFT[sin(w0n+f)]2、常数序列的傅里叶变换常数序列的傅里叶变换，是以w=0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p3、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换周期为N的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在w=2p/N的整数倍上的一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为2p/N4、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换即：周期性序列（周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于

乘以，而是x(n)[的一个周期]的傅里叶变换X(ejw)在频域中w=2p/N的整数倍的各抽样点上的抽样值。e满足0<e<2p/N从w=0之前开始抽样；在w=2p之间结束抽样；此区间共有N个抽样值：0

kN-1——周期序列的DFS正变换和反变换周期序列的傅里叶级数（DFS）其中：§2.8Fourier变换的对称性质

共轭对称序列：共轭反对称序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：定义：其中：同样，x(n)的Fourier变换也可分解成：对称性质序列Fourier变换实数序列的对称性质序列Fourier变换实数序列的Fourier变换满足共轭对称性实部是ω的偶函数虚部是ω的奇函数幅度是ω的偶函数幅角是ω的奇函数§2.9离散系统的系统函数、系统的频率响应LSI系统的系统函数H(z)：

单位抽样响应h(n)的z变换其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)系统的频率响应：单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的DTFT1、若LSI系统为因果稳定系统 稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续H(z)须从单位圆到∞的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内1）因果：2）稳定：序列h(n)绝对可和，即而h(n)的z变换的Roc：3）因果稳定：Roc：2、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：取z变换则系统函数3、系统的频率响应的意义1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：2）LSI系统对正弦序列的稳态响应输出同频正弦序列幅度受频率响应幅度加权相位为输入相位与系统相位响应之和3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应其中：微分增量（复指数）：4、频率响应的几何确定法利用H(z)在z平面上的零极点分布频率响应：则频率响应的令幅角：幅度：零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定5、IIR系统和FIR系统无限长单位冲激响应（IIR）系统：单位冲激响应h(n)是无限长序列有限长单位冲激响应（FIR）系统：单位冲激响应h(n)是有限长序列IIR系统：至少有一个FIR系统：全部全极点系统（自回归系统，AR系统）：分子只有常数项零极点系统（自回归滑动平均系统，AR－MA系统）:

分子不止常数项收敛域内无极点，是全零点系统（滑动平均系统，MA系统）IIR系统：至少有一个有反馈环路，采用递归型结构FIR系统：全部无反馈环路，多采用非递归结构Homework：P83－1(1)(2)(3)3(1)7101418第三章

离散傅里叶变换主要内容离散傅里叶级数（DFS）离散傅里叶变换（DFT）抽样z变换——频域抽样理论§3.1引言傅里叶变换的几种形式：

时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换

FT§3.2傅里叶变换的几种可能形式

FS

时域周期化，频域离散化时域离散化，频域周期化。DTFT 但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。 因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)§3.3离散傅里叶级数DFS

(DiscreteFourierSeries)

连续周期信号:周期序列

(r为整数,N为周期)

周期序列的DFS正变换和反变换：其中：一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换可看作是对的一个周期做z变换然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角抽样得到K=01234567jImRe[z]|z|=1N=8DFS的图示说明2、序列的移位3、调制特性§3.4离散傅里叶级数的性质FS性1、线性：其中，为任意常数若则4、对偶性证：5、周期卷积和若则讨论:周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在)式中的卷积称为周期卷积05…054321…432154…543210…321043…432105…210532…321054…105421…210543…054310…105432…543212…123450…345011…111100…110067…012345

…-4-3-2-11086101412同样，利用对称性若则§3.5离散傅里叶变换

——有限长序列的离散频域表示在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT，即有限长序列的离散傅里叶变换另外一种写法是其中表示对n取模N运算(或模N的余数)。对周期信号而言,或。举例：设周期为N=6。则有周期序列和求余运算：或这是因为：(19=3×6+1)

同理或这是因为：(-2=-1×6+4)

同样：X(k)也是一个N点的有限长序列有限长序列的DFT定义式关于离散傅里叶变换(DFT)：序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。n为时域变量，k为频域变量。离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。x(n)的N点DFT是

x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；

x(n)的DTFT在区间[0,2π]上的N点等间隔抽样。例1、计算(N=12)的N点DFT.解：

N=4点的DFT？§3.6离散傅里叶变换的性质1、线性这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。时域序列的调制等效于频域的圆周移位2、圆周移位其中；同理可证另一公式。证：推论：从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出：当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位若则证：3、对偶性4、圆周共轭对称性其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：设N点复数序列证明：则同理可证明：序列DFT共轭对称性序列DFT实数序列的共轭对称性纯虚数序列的共轭对称性例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:五、ParsevalTheory若令y(n)=x(n)表明序列时域、频域能量相等六、圆周卷积和圆周卷积A：设则实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列。即圆周卷积B：设圆周卷积记为NN圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加NN两个N点序列的N点圆周卷积得到的结果仍为N点序列。mN-m1N-12N-2N-3

讨论1:圆周卷积的物理意义图示说明讨论2:圆周卷积与线性卷积：1)设有限长(N点)有限长(M点)则线性卷积有限长(N+M-1)2)而作长度为L的圆周卷积，即(周期卷积)其中L则(补零)存在交叠现象这就是利用DFT计算线性卷积的方法和要求，即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFT运算计算线性卷积。)(nxn01N=43M=6)(nyn015)(nfn018L=6Lmy))0((-m015L=6)(6nfn45L=8m017L=9m018)(8nfn027L=8)(nfLn01891=-+³MNL0Lmy))0((-Lmy))0((-讨论3:周期卷积、圆周卷积与线性卷积①周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷积是线性卷积的周期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。②作圆周卷积时，应先将两者“补零”至长度为L点的序列后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为L点的周期序列(即周期延拓)的。③线性卷积的DFT计算方法要求DFT点数L>=N+M+1。补L-N个零x(n)L点DFT补L-M个零h(n)L点DFTL点IDFTy(n)=x(n)*h(n)④物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与DFS系数运算的关系；圆周卷积是有限序列运算与DFT变换结果运算的关系（后面将说明这是有限序列运算与对应的频谱运算的关系）。七、线性相关与圆周相关线性相关：自相关函数：相关函数不满足交换率：相关函数的z变换：相关函数的频谱：圆周相关定理当时，圆周相关可完全代表线性相关类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系第四章

快速傅里叶变换

（FFT）主要内容DIT-FFT算法DIF-FFT算法IFFT算法Chirp-FFT算法线性卷积的FFT算法§4.1引言FFT:

FastFourierTransform1965年，Cooley-Turky发表文章《机器计算傅里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号处理等。DSP芯片实现。TI公司的TMS320c30，10MHz时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。典型应用：信号频谱计算、系统分析等系统分析频谱分析与功率谱计算§4.2直接计算DFT的问题及改进途径1、DFT与IDFT2、DFT与IDFT运算特点复数乘法复数加法一个X(k)NN–1N个X(k)(N点DFT)N2N(N–1)同理：IDFT运算量与DFT相同。实数乘法实数加法一次复乘42一次复加2一个X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N个X(k)(N点DFT)4N22N(2N–1)3、降低DFT运算量的考虑FFT算法分类:时间抽选法

DIT:Decimation-In-Time频率抽选法

DIF:Decimation-In-Frequency§4.3按时间抽取（DIT）的FFT算法（DecimationInTime）1、算法原理 设序列点数N=2L，L

为整数。若不满足，则补零将序列x(n)按n的奇偶分成两组：N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT记：………（1）（这一步利用：）再利用周期性求X(k)的后半部分将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。注：a.上支路为加法，下支路为减法；

b.乘法运算的支路标箭头和系数。用“蝶形结”表示上面运算的分解： 分解后的运算量：复数乘法复数加法一个N/2点DFT(N/2)2N/2(N/2–1)两个N/2点DFTN2/2N(N/2–1)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计运算量减少了近一半进一步分解由于，仍为偶数，因此，两个点DFT又可同样进一步分解为4个点的DFT。“蝶形”信流图表示

N点DFT分解为四个N/4点的DFT类似的分解一直继续下去，直到分解为最后的两类蝶形运算为止(2点DFT).如上述N=8=23，N/4=2点中：类似进一步分解1点DFTx(0)1点DFTx(4)X3(0)X3(1)进一步简化为蝶形流图：X3(0)X3(1)x(0)x(4)因此8点FFT时间抽取方法的信流图如下——FFT运算量与运算特点1．N=2L时，共有L=log2N级运算；每一级有N/2个蝶形结。2．每一级有N个数据中间数据），且每级只用到本级的转入中间数据，适合于迭代运算。3．计算量：每级N/2次复乘法，N次复加。（每蝶形只乘一次，加减各一次）。共有L*N/2=N/2log2N次复乘法；复加法L*N=Nlog2N次。与直接DFT定义式运算量相比(倍数)N2/(Nlog2N)。当N大时，此倍数很大。比较DFT参考P150表4-1图4-6可以直观看出，当点数N越大时，FFT的优点更突出。按时间抽取FFT蝶形运算特点1、关于FFT运算的混序与顺序处理（位倒序处理）由于输入序列按时间序位的奇偶抽取，故输入序列是混序的，为此需要先进行混序处理。混序规律：

x(n)按n位置进行码位（二进制）倒置规律输入，而非自然排序，即得到混序排列。所以称为位倒序处理。位倒序实现：（1）DSP实现采用位倒序寻址（2）通用计算机实现可以有两个方法：一是严格按照位倒序含义进行；二是倒进位的加N/2。倒位序自然序0000000010041001010220101106301100114100101551010113611011177111倒位序例 计算，。计算 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，问倒序前寄存器的数和倒序后的数据值？解：倒序前倒序 倒序为倒序后DITFFT中最主要的蝶形运算实现（1）参与蝶形运算的两类结点（信号）间“距离”（码地址）与其所处的第几级蝶形有关；第m级的“结距离”为

(即原位计算迭代）（2）每级迭形结构为蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移L–m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。（3）的确定：第m级的r取值：DIT算法的其他形式流图输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序输入输出均自然序相同几何形状输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序参考P154-155时间抽取、输入自然顺序、输出倒位序的FFT流图例用FFT算法处理一幅N×N点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？解当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为 次，仅为直接计算DFT所需时间的10万分之一。即原需要3000小时，现在只需要2分钟。§4.4按频率抽取（DIF）的FFT算法与DIT-FFT算法类似分解，但是抽取的是X(k)。即分解X(k)成奇数与偶数序号的两个序列。设：N=2L，L为整数。将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n的顺序分成前后两半：（DecimationInFrequency)一、算法原理下面讨论按k的奇偶将X(k)分成两部分：显然：令：用蝶型结构图表示为：x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2点DFTN/2点DFTx(0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X(7)N/2仍为偶数，进一步分解：N/2→N/4x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4点DFTN/4点DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)按照以上思路继续分解，即一个N/2的DFT分解成两个N/4点DFT，直到只计算2点的DFT，这就是DIF-FFT算法。2个1点的DFT蝶形流图

进一步简化为蝶形流图：1点DFTx3(0)1点DFTx3(1)X(0)X(4)X(0)X(4)x3(0)x3(1)二、按频率抽取FFT蝶形运算特点1）原位计算-1L级蝶形运算，每级N/2个蝶形，每个蝶形结构：

m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数2）蝶形运算对N=2L点FFT，输入自然序，输出倒位序，两节点距离：2L-m=N/2m第m级运算：蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移m-1位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。存储单元输入序列x(n):N个存储单元系数：N/2个存储单元三、DIT与DIF的异同基本蝶形不同DIT:先复乘后加减DIF:先减后复乘运算量相同都可原位运算DIT和DIF的基本蝶形互为转置§4.5IDFT的FFT算法

（FFT应用一）

一、从定义比较分析与DFT的比较：

1）、旋转因子WN-kn

的不同；

2）、结果还要乘1/N。二、实现算法——直接使用FFT程序的算法共轭FFT共轭乘1/N直接调用FFT子程序计算IFFT的方法：§4.6线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法

（FFT应用二）单位圆与非单位圆采样（a）沿单位圆采样;(b)沿AB弧采样螺线采样zk=AW-k

k=0,1,…,M-1Chirp-Z变换的线性系统表示由于系统的单位脉冲响应可以想象为频率随时间(n)呈线性增长的复指数序列。在雷达系统中,这种信号称为线性调频信号（ChirpSignal），因此，这里的变换称为线性调频Z变换。一、基本算法思路§4.7线性卷积的FFT算法

（FFT应用三）若L点x(n)，M点h(n)，则直接计算其线性卷积y(n)需运算量：若系统满足线性相位，即：则需运算量：FFT法：以圆周卷积代替线性卷积N总运算量：次乘法比较直接计算和FFT法计算的运算量讨论：1）当2）当

x(n)长度很长时，将x(n)分为L长的若干小的片段，L与M可比拟。1、重叠相加法则：输出：其中：可以用圆周卷积计算：选，上面圆周卷积可用FFT计算。N由于yi(n)长度为N，而xi(n)长度L，必有M-1点重叠，yi(n)应相加才能构成最后y(n)的。重叠相加法图形和上面的讨论一样，用FFT法实现重叠相加法的步骤如下:

①计算N点FFT，H(k)=DFT［h(n)］；②计算N点FFT，Xi(k)=DFT［xi(n)］；③相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)；④计算N点IFFT，yi(n)=IDFT［Yi(k)］；⑤将各段yi(n)（包括重叠部分）相加， 。重叠相加的名称是由于各输出段的重叠部分相加而得名的。例已知序列x[n]=n+2,0

n

12,h[n]={1,2,1}试利用重叠相加法计算线性卷积,取L=5。y[n]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}解:重叠相加法x1[n]={2,3,4,5,6}x2[n]={7,8,9,10,11}x3[n]={12,13,14}y1[n]={2,7,12,16,20,17,6}y2[n]={7,22,32,36,40,32,11}y3[n]={12,37,52,41,14}2、重叠保存法此方法与上述方法稍有不同。先将x(n)分段，每段L=N-M+1个点，这是相同的。不同之处是，序列中补零处不补零，而在每一段的前边补上前一段保留下来的（M-1）个输入序列值，组成L+M-1点序列xi(n)。如果L+M-1<2m，则可在每段序列末端补零值点，补到长度为2m，这时如果用DFT实现h(n)和xi(n)圆周卷积，则其每段圆周卷积结果的前（M-1）个点的值不等于线性卷积值，必须舍去。重叠保留法示意图重叠保留法示意图y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}x1[k]={0,0,2,3,4}x2[k]={3,4,5,6,7}x3[k]={6,7,8,9,10}y1[k]=x1[k]

h[k]={11,4,2,7,12}x4[k]={9,10,11,12,13}y2[k]=x2[k]

h[k]={23,17,16,20,24}y3[k]=x3[k]

h[k]={35,29,28,32,36}y4[k]=x4[k]

h[k]={47,41,40,44,48}x5[k]={12,13,14,0,0}y5[k]=x5[k]

h[k]={12,37,52,41,14}解:重叠保留法例已知序列x[n]=n+2,0

n

12,h[n]={1,2,1}试利用重叠保留法计算线性卷积,取L=5。语音信号消噪过程信号淹没在啸叫噪声中；(b)信号与噪声的功率谱；(c)去噪后的功率谱；(d)重构原语音信号FFT应用举例第五章

数字滤波器的基本结构主要内容理解数字滤波器结构的表示方法掌握IIR滤波器的基本结构掌握FIR滤波器的直接型、级联型、线性相位结构，理解频率抽样型结构了解数字滤波器的格型结构§4.1数字滤波器结构特点及表示1、数字滤波器的表示：差分方程和系统函数单位延时基本运算单元方框图流图加法器常数乘法器2、结构表示：方框图和信流图+1/z1/z)(nx0a1b-)(ny一阶离散系统方框图1a)(nx)(ny1/z1/z0a1a1b-一阶离散系统信流图3、实现方式：软件与硬件4、软件方式：通用计算机或专用计算机5、核心算法：乘加器6、典型结构——无限长单位冲激响应（IIR）滤波器有限长单位冲激响应（FIR）滤波器§5.2IIR滤波器的基本结构一、IIR滤波器的特点

1、电位冲激响应h(n)是无限长的（定义的由来）

2、系统函数H(z)在有限z平面上有极点存在；

3、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归型的。二、有限阶IIR的表达式：（其中至少有一个

ak≠0）三、IIR滤波器四种结构1、直接I型)(nx)(ny1/z1/z0b1b1/z1/z1/z...1/z1/z1/z1a2aNa2bNb结构特点：直接实现第一个网络实现零点第二个网络实现极点

N+M个时延单元2、直接II型:典范型1/z0b1b1/z1/z1/z2bMb1/z1/z1/z1/z1a2aNa)(nx)(ny

1/z1/z1/z1/z1/zb0b1b2b3bMa1a2a3aNx(n)y(n)结构特点：Max(N、M)个时延单元。直接型的共同缺点：系数ak，bk

对滤波器的性能控制作用不明显极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差运算的累积误差较大3、级联型(CascadeForm)将系统函数按零极点因式分解:结构：将分解为一阶及二阶系统的串联，每级子系统都用典范型实现。特点：方便调整极点和零点；但分解不唯一;实际中需要优化。4、并联型(ParalleForm)将因式分解的H(z)展成部分分式：组合成实系数二阶多项式：特点:方便调整极点，不便于调整零点；部分分式展开计算量大。1/z1/zM1bM2bM1aM2a1/z1/z11b21b11a21a1/z1/z0A1ALA)(nx)(ny结构：将H(z)分解为一阶及二阶系统的并联(部分分式展开)，每级子系统都用典范型实现。IIR滤波器结构表示举例例：用典范型和一阶级联型、并联型实现方程：解：正准型、一阶级联和并联的系统函数表示：图示如下：转置定理——对于一个信流图，如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入x(n)和输出有y(n)相互交换，则其系统函数H(z)仍不改变。直接II型的转置:§5.3FIR数字滤波器结构不存在极点(z=0除外)，系统函数在处收敛。系统单位冲击响应在有限个n值处不为零。结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。一、FIR的特点：二、FIR结构1、横截型(又称为直接型或卷积型，直接完成差分方程）X(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)z-1z-1z-1特点:N个延迟单元；不方便调整零点。将H(z)分解为二阶实系数因式的乘积。2、级联型结构：特点:便于调整零点.3、频率采样型结构：1）理论型：由以及频率采样表达的内插公式得：其中： 为梳状滤波器； (谐振器)其极点正好与零点对消。关于梳状滤波器说明梳状滤波器传输函数:梳状滤波幅频特性:梳状滤波相频特性:频率抽样型结构的优缺点:①便于控制滤波器频率响应，因为滤波器在处的频率响应值。②需要复数乘法运算;③理论上谐振器的极点正好与零点对消，但实际上的有限字长效应，使之不能对消，系统将不稳定。理论型频率采样型结构图示2）实际型(解决量化误差引入的不稳定)第一步:采样点修正为:Z平面采样点图(N=8)Z平面1-1jj-r将零极点移至半径为r的圆上第二步:内插公式为:实际型4、快速卷积结构L点DFTL点DFTXL点IDFTx(n)h(n)y(n)X(k)H(k)Y(k)结构图示为:设:有:5、线性相位FIR滤波器的结构FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，且满足：偶对称：或奇对称：即对称中心在(N-1)/2处则这种FIR滤波器具有严格线性相位。N为奇数时h(n)偶对称，取“+”h(n)奇对称，取“-”，且N为偶数时第六章

IIR滤波器的设计主要内容理解数字滤波器的基本概念了解最小相位延时系统理解全通系统的特点及应用掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法6.1引言数字滤波器：

是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：1、滤波器的基本概念（1）滤波器的功能滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。a）时域说明b）频域说明（2）四种基本的滤波器四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：（3）四种基本滤波器的数字表示低通高通带通带阻2、LP到其他滤波器的变换由LP实现的HPLP实现的BPLP实现的BRF3、滤波器的性能指标带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤波器的带宽（3dB带宽）通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度4、数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计三个步骤:(1)

按要求确定滤波器的性能参数；

(2)用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求；

(3)用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。5、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况 ：通带截止频率 ：阻带截止频率 ：通带容限 ：阻带容限阻带：过渡带：通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：阻带最小衰减：其中：当时，称为3dB通带截止频率6、表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的H(z)的极点：单位圆内的极点相位响应相位响应：群延迟响应相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内=常数， 则为线性相位滤波器7、IIR数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：即为求滤波器的各系数计算机辅助设计法

s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器6.2最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统LSI系统的系统函数：频率响应：模：相角：当位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2p位于单位圆外的零/极矢量角度变化为0令：单位圆内零点数为mi单位圆外的零点数为mo单位圆内的极点数为pi单位圆外的极点数为po则：全部极点在单位圆内：po=0，pi=N因果稳定系统1）全部零点在单位圆内：

2）全部零点在单位圆外：

为最小相位延时系统为最大相位延时系统n<0时，h(n)=0相位延时系统逆因果稳定系统1）全部零点在单位圆内：

2）全部零点在单位圆外：

全部极点在单位圆外：po=N，pi=0为最大相位超前系统为最小相位超前系统相位超前系统n>0时，h(n)=0最小相位延时系统的性质1）在相同的系统中，具有最小的相位滞后2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统4）在相同的系统中，唯一3）最小相位序列的最大：6.3全通系统对所有w，满足：称该系统为全通系统一阶全通系统：极点：零点：零极点以单位圆为镜像对称极点：零点：实系数二阶全通系统两个零点（极点）共轭对称极点：零点：零点与极点以单位圆为镜像对称

N阶数字全通滤波器极点：的根零点：的根全通系统的应用1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联其中：H1(z)为最小相位延时系统，为单位圆外的一对共轭零点把H(z)单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置： 构成Hmin(z)的零点。而幅度