选修1-2数学第2章-推理与证明单元测试卷一含答案

选修1-2数学第2章推理与证明单元测试卷(1)含答案

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一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分，)

1."干支纪年法"是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、

庚、辛、壬、癸被称为"十天干"，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

亥叫做"十二地支天干"以"甲〃字开始，"地支"以"子"字开始，两者按干支顺序相配,

组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅...癸酉，甲戌、乙亥、丙子...癸

未，甲申、乙酉、丙戌...癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无

尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的()

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

2.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位

数在20岁以下为"年轻型"人口；年龄中位数在20〜30岁为"成年型"人口；年龄中位数

在30岁以上为"老龄型”人口.

如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响.据此，对我国人口

年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型"人口；

②从2010年至2020年为"老龄型"人口；

③放开二孩政策之后我国仍为"老龄型"人口.

其中正确的是()

全面放开二孩政策对我国大□年龄中位数的影响

A.②③B.①③C.②D.①②

3.如图是一系列有机物的结构简图，图中的"小黑点”表示原子，两黑点间的"短线"表

示化学键，按图中结构，图(n)中的化学键有()

03⑪…

(1)(2)(3)

A.6n个B.(4?i+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个

4.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点第3层

每边有3个点……依此类推如果一个六边点形点阵共有169个点那么它的层数为()

C.7D.6

5.1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如

果用V,E和F表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：V-E+F=

2.已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有多少条棱（）

A.30B.14C.20D.26

6.苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算"做

出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过："对数倍增了天文学家的寿

命"，比如在下面的部分对数表中，8和1024对应的基指数分别为3和10,幕指数和为

13,而13对应的事8192,因此，8x1024=8192.根据此表，推算33554432X

262144的值对应的幕指数为（）

Xt•.23456、78910

y=2，2481632641282565121024

X11121314151617181920

y=2，204840968192163843276865536131072262144524288•1048576

X2122232425

y—2,2097152419430483886081677721633554432

A.41B.42C.43D.44

7.用反证法证明“若△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列，则8<铲时，"假设"

应为（）

K.B<-Q.B>-C.B<-D.B>-

2222

8.用反证法证明命题〃设实数a,b,c满足Q+b+c=l,则Q,b,c中至少有一个数不

小于记时假设的内容是（）

A.a,b,c都不小于1B.a,b,c都小于1

C.a,b,c至多有一个小于1D.a,b,c至多有两个小于1

试卷第2页，总15页

9.下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线;

已知直线b〃平面a,直线au平面a；所以直线b〃直线a,在这个推理中（）

A.大前提正确，结论错误

B.小前提与结论都是错误的

C.大、小前提正确，只有结论错误

D.大前提错误，结论错误

10.在初中的平面几何证明中有这样一段证明："因为所以41=42"（如图）,

这段证明的大前提是（）

B：21=42”

C."两直线平行，同位角相等"D."同位角相等，两直线平行"

11.命题”对于任意角8,cos40—sin）=cos20"的证明："cos"—sin40=（cos20—

sin20）（cos20+sii?。）=cos20-sin20=cos20”过程应用了（）

A.分析法B.综合法C.间接证明法D.反证法

12.观察下列各式：31=3,32=9,33=27,…，贝归?。?】的末位数字为（）

A.lB.3C.7D.9

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）

13.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,

算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按

纵式的数码摆出；十位、千位、十万位.…的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表

示为j=n三川.1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则31。勿64的运

算结果可用算筹表示为.

纵式：।IlinmimuTnmM

横式：一=三三三,上,生

i3456789

14.观察下列各式：

=40；

+玛=41；

+废+废=42；

照此规律，当neN*时，©n_i+己让1+C£-i+…+C疚3=.

15.用反证法证明命题："VLV3,遥不可能是等比数列"时，则证明的第一步假设应

为.

16.已知正三角形内切圆的半径r与它的高九的关系是：r=jh,把这个结论推广到空

间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体高八的关系是.

三、解答题(本题共计6小题，共计70分，)

17.(11分)观察下列各等式：

tanl0°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tanl0°=l

tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan200=l

tan33°tan44°+tan44°tanl3°+tan33°tanl30=l

(1)尝试再写出一个相同规律的式子；

(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式；

(3)并对你写出的(2)恒等式进行证明.

18.(11分)证明下列不等式.

(1)求证：当a、b、c为正数时，(a+b+c)*+£+》29.

(2)已知试用分析法证明：Vn+2-Vn+1<Vn+1-y/n.

19.(12分)设a,b为互不相等的正实数，求证：4(a3+b3)>(a+b)3.

20.(12分)在数列｛斯｝中，已知的=2,an+1=GN+).

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想数列｛1｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

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21.(12分)1682年，英国的天文学家哈雷发现一颗大彗星描绘的曲线和1531年，

1607年的彗星惊人地相似，便大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76

年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，

列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间.

22.(12分)

(1)用综合法证明：x2+y2+z2+3>2(x+y+z)；

(2)若实数?构成公差不为0的等差数列，请用反证法证明：a,b,c不可能构成等

差数列.

参考答案与试题解析

选修1-2数学第2章推理与证明单元测试卷(1)含答案

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分)

1.

【答案】

C

【考点】

进行简单的合情推理

【解析】

由简单的合情推理结合阅读，理解"干支纪年法"，通过运算可得解.

【解答】

因为公元元年是辛酉年，再过3年就是甲子年，而2026-3=2023,2023除以10余数

是3,2023除以12余数是7,所以是丙午年，

2.

【答案】

A

【考点】

进行简单的合情推理

【解析】

根据折线统计图即可判断.

【解答】

：①建国以来直至2000年为“成年型"人口，错误；

②从2010年至2020年为"老龄型"人口，正确，

③放开二孩政策之后我国仍为"老龄型"人口，正确，

3.

【答案】

D

【考点】

归纳推理

【解析】

根据图可知第一张图有6个化学键，从第二个起每一个比前一个多5个，可得通项.

【解答】

第一张图有6个化学键，从第二个起每一个比前一个多5个，

则第n个图有5n+l个，

4.

【答案】

B

【考点】

归纳推理

【解析】

分析可知规律，从第二层开始，每增加一层就增加六个点，即可得出结论.

【解答】

解：由题意知第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2x6,第4层的点数

为3x6,第5层的点数为4x6,…，第n(n22,neN*)层的点数为6(n—1),设一个

点阵有n(a>2,neN*)层，则共有的点数为1+6+6x2+…+6(n-1)=1+

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x(n-1)

=3n2—3n+1,由题意得3层—3n+1=169,

即(n+7)-(n-8)=0,所以n=8,故共有8层.

故选B.

5.

【答案】

A

【考点】

欧拉公式的应用

【解析】

【解答】

解：由题可知后=V+F-2=20+12-2=30.

故选4.

6.

【答案】

C

【考点】

类比推理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解:由表可知，33554432=225,262144=218,

33554432,262144的对应基指数分别为25,18,

基指数和为43.

故选C.

7.

【答案】

D

【考点】

反证法

【解析】

考虑命题的反面，即可得出结论.

【解答】

解：,•・小于的反面是大于等于，

•••"假设"应为B*.

故选D.

8.

【答案】

B

【考点】

反证法

【解析】

:反证法证明命题时，要假设结论不成立.

【解答】

用反证法证明命题"设实数a,b,c满足a+b+c=L则a,b,c中至少有一个数不小

于，'时的假设是"a，b,c都小于会.

9.

【答案】

D

【考点】

演绎推理

【解析】

演绎推理的错误有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻

辑结构错误，要判断推理过程的错误原因，可以对推理过程的大前提和小前提及推理

的整个过程，细心分析，不难得到正确的答案.

【解答】

解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直.

故大前提错误，结论错误.

故选D.

10.

【答案】

C

【考点】

演绎推理

【解析】

利用"两直线平行，同位角相等"，直接判定.

【解答】

l//m,得41=42",利用的"两直线平行，同位角相等",.

11.

【答案】

B

【考点】

分析法的思考过程、特点及应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：在证明过程中使用了大量的公式和结论，有平方差公式，同角的关系式，

所以在证明过程中，使用了综合法的证明方法.

故选B.

12.

【答案】

B

【考点】

归纳推理

【解析】

观察不难发现，每4个数为一个循环组，个位数字是3,9,7,1,依次进行循环，用

2021除以4,余数是几则与第几个的个位数相同.

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【解答】

解：因为31=3,32=9,32=27,34=81,35=243,36=729,

可以发现，得数的个位数字是以3,9,7,1依次进行循环的.

因为2021+4=505……1,

所以3202】的个位数字与3】的个位数字相同，是3.

故选B.

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）

13.

【答案】

n=f

【考点】

进行简单的合情推理

合情推理的作用

【解析】

根据题意，由对数的运算性质可得3i%64=729,结合算筹记数的方法分析可得答案.

【解答】

解：根据题意，31%64=36=729,

用算筹记数表示为n=/.

故答案为：TT=M.

14.

【答案】

【考点】

归纳推理

【解析】

根据所给的式子归纳出规律，按照此规律即可得到答案.

【解答】

解：根据所给的式子可得：等式的右边都是以4为底数的幕的形式，

且指数是等式左边最后一个组合数的上标，

当neN*时,Ck+%+C“i+...+C^i=4f

故答案为：4f

15.

【答案】

"五,V3,时是等比数列"

【考点】

反证法

【解析】

写出命题"鱼，V3,有不可能是等比数列"的否定为，即为所求.

【解答】

解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，

而命题"VLV3,而不可能是等比数列"的否定为：

"y[2,V3,而是等比数列

故答案为：企，V3,花是等比数列.

16.

【答案】

1

r=-h

4

【考点】

类比推理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解:球心到正四面体一个面的距离即球的半径r,

连接球心与正四面体的四个顶点，

把正四面体分成四个高为r的三棱锥，

所以4x?Sxr=Nsx/i,

所以r=：九，

4

（其中S为正四面体一个面的面积，无为正四面体的高）.

故答案为：

4

三、解答题(本题共计6小题，共计70分)

17.

【答案】

tan30°tan450+tan450tanl5°+tan30°tanl5°

Fx6——

=O+lxtan(45°-30°)+0

返

=3+3=6+(2-VJT(2-V6)=i,

故tan30°tan45°+tan450tanl5°+tan30°tanl5°=l.

K

a+6+丫

若7,则tanatan。+tan£tany+tan£tany=l.

,兀、

sin(--Y)

K,兀、cosY1

COS(~T--T)

tan(2—y)=乙-sinT=tanT,又

试卷第10页，总15页

兀1

tan(a+P)=tan(-T)"

tana+tanB>

tan(a+0)xtany=1-tanatanB=3,

整理得tanatang+tan/?tany+tan/?tany=l.

【考点】

归纳推理

【解析】

(1)根据所给的三个等式,可猜想并证明tan30°tan45°+tan45°tanl5°+tan30°tanl5"

=1;

c兀

“a+8+Y=-r-

(2)若N,贝！Jtanatan/?+tan^tany+tan£tany=l.

(3)利用诱导公式及两角和的正切公式，即可证明(2)的猜想是正确的.

【解答】

tan300tan45°+tan45°tanl5°+tan30°tanl5°

k愿XX6Aa-

=O+lxtan(45°-30°)4-0

渣琏

返石逅宿返我

=丁+'/+3x1丁=工+(2-V?T(2-V6)=i,

fetan30°tan45°+tan45°tanl5°+tan30°tanl5°=l.

。兀

a+8+y=-=-

若।,则tanatan£+tan^tany+tanStany=l.

sin(-y--7)

兀―(2L_y}cosY1

tan(2-y)=c°s'2=sinT=tanY,又

九1

tan(a+6)=tanH-7)=~~~

4tanr,

_tanO_+tan_P_><

tan(a+£)xtany=1-tanatanB=3,

整理得tanatan夕+tan/?tany+tan/?tany=l.

18.

【答案】

证明：(1)左边=3+舄+今+/+今+《+?)

因为：a、b、c为正数

所以：左边23+2府+2口+2阵=3+2+2+2=9

7bayjbc-Jca

'1•(a+b+c)(；+£+》29

(2)要证V?i+2—Vn+1<Vn+1—近成立，

需证5+2+Vn<2Vn+1

需证(8+2+Vn)2<(2Vn+l)2

需证zi+1>y/n2+2n

需证(n+l)2>n2+2n

需证?I2+2n+1>n2+2n,

只需证1>0

因为l>0显然成立，所以原命题成立

【考点】

不等式的证明

综合法与分析法

【解析】

(1)将不等式左边展开，根据a、氏c为正数，利用基本不等式可证得(a+b+

£1)(，+:+>>9成立：

(2)移项将不等式化为阮+低<2而不I,两边平方整理后，可得n+l>

Vn2+2n,比较(n+与M+2n的大小可得答案.

【解答】

证明：(1)左边=3+《+JJ+《+》

因为：a、b、c为正数

所以：左边23+2”+2”+2口=3+2+2+2=9

7baybcylca

(a+b+c)(i+^+^)>9

(2)要证+2-Vn+1<Vn+1-gi成立，

需证、九+2+Vn<2y/n+1

需证(Jn+2+Vn)2<(2<n+l)2

需证九+1>y/n2+2n

需证(n+l)2>n24-2n

需证M+2n+1>n2+2n,

只需证1>0

因为l>0显然成立，所以原命题成立

19.

【答案】

证明：因为Q>0,b>0,所以要证4(Q3+力3)>(Q+匕)3,

223

只要证4(Q+b)(a—ab+b)>(a+6),

即要证4(M-ab+b2)>(a4-b)2,

只需证3(a—b)2>0,

试卷第12页，总15页

而aHb,故3(a—b)2>0成立.

4(a3+d3)>(a+b)3.

【考点】

不等式的证明

分析法的思考过程、特点及应用

【解析】

利用分析法，从结论入手，寻找结论成立的条件，即可得到证明.

【解答】

证明：因为a>0,b>0,所以要证4(a3+川)>(a+b)3,

只要证4(a+b)(a2—ab+b2)>(a+b)3,

即要证4®2-ab+b2)>(a+b)2,

只需证3(a-b)2>0,

而a#b,故3(a-b)2>0成立.

4(a3+h3)>(a+b)3.

20.

【答案】

(1)解：根据递推公式可求得:

猜想数列｛即｝的通项公式为即=

(2)下面用数学归纳法证明：

证明：①当n=1时，由题意知的=2,

显然满足的=*2；

②假设当九=k时猜想成立,

则当n=/c+l时，ak+1=

#1)7+3

2(k+l)-l'

知当n=k+1时猜想也成立，

综合①②可知，对neN*猜想都成立,

即数列｛册｝的通项公式为a”=

【考点】

数列递推式

数学归纳法

归纳推理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)解：根据递推公式可求得:

。2=和3=即4=后，

猜想数列Sn｝的通项公式为a”=后学;

（2）下面用数学归纳法证明：

证明：①当n=l时，由题意知的=2,

显然满足%=后芋=2；

②假设当n=/c时猜想成立,

则当九=/c+l时，ak+1=

k

_l2+3_/2（"+I）T+!

y12kyj2（k+i）-1，

知当71=k+1时猜想也成立，

综合①②可知，对n€N*猜想都成立,

即数列｛aj的通项公式为即=后半•

【答