专题03 空间向量求角度与距离10种题型归类 （原卷版）

专题03空间向量求角度与距离10种题型归类一、巩固提升练【题型一】异面直线所成的角【题型二】直线与平面所成的角【题型三】二面角的平面铰【题型四】异面直线探索性点【题型五】线面角探索性点【题型六】二面角探索性点【题型七】空间向量求点到面的距离【题型八】翻折型：求异面直线所成的角【题型九】翻折型：求直线与平面所成的角【题型十】翻折型：二面角二、能力培优练热点好题归纳知识点与技巧：向量角度：角度公式：（1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角）（2）、直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，）（3）、二面角（法向量的方向角，）判断正负方法：观察法；同进同出互补，一进一出相等；向量计算点到距离公式（棱锥等的高）【题型一】异面直线所成的角1.（2023秋·高二课时练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求：(1)λ的值；(2)异面直线PC与所成角的余弦值．2.（2023春·云南红河·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，侧面PAC⊥底面ABC，，△PAC是边长为2的正三角形，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.

(1)证明：直线l⊥平面PAC；(2)设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的角为θ，求当AQ为何值时，3.（2023·全国·高二专题练习）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．【题型二】直线与平面所成的角知识点与技巧：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.1.（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.2.（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，M是棱PD上靠近点P的三等分点．

(1)证明：平面MAC；(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，，，求l与平面MAC所成角的正弦值．【题型三】二面角的平面角1/（2023秋·全国·高二期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.2.（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面.(1)当时，求点的轨迹长度；(2)当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值.【题型四】异面直线探索性点1.（2022秋·北京昌平·高二校考阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

(1)求证平面；(2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是.2.（2021秋·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是AB的中点．(1)求直线到平面的距离．(2)在线段AB上找一点，使得与CP所成角为60°，求的值．3.．（2022春·江苏南通·高二统考开学考试）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.【题型五】线面角探索性点1.（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.

(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.2.（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，平面ABCD，，‖，‖，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．

(1)求证：‖平面CPM；(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求线段QN的长．3.．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一点.

(1)求证：；(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【题型六】二面角探索性点1.（2022秋·广东深圳·高三校联考期中）三棱柱中，侧面是矩形，，.

(1)求证：面面ABC；(2)若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由.2.（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，且平面，.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，且满足.若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.3.（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图，在梯形中，AB，四边形为矩形，且平面.

(1)求证：平面平面；(2)点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【题型七】空间向量求点到面的距离1.（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.

(1)求与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面夹角大小；(3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离.2.（2023春·江西新余·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.3.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，.

(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.【题型八】翻折型：求异面直线所成的角1.（2022秋·河南商丘·高二校考阶段练习）如图1，是平行四边形，，．如图2，把平行四边形沿对角线AC折起，使与成角，

(1)求的长；(2)求异面直线与所成的角的余弦值.2.（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.

(1)求证：平面BCD；(2)求异面直线BC与AD所成的角；【题型九】翻折型：直线与平面所成的角1.（2023秋·湖北宜昌·高二长阳土家族自治县第一高级中学校考阶段练习）如图1，四边形是梯形，，，是的中点，将沿折起至，如图2，点在线段上.

(1)若是的中点，求证：平面平面；(2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值.2.（2023秋·福建宁德·高二校考开学考试）如图所示，在等边中，，，分别是，上的点，且，是的中点，交于点．以为折痕把折起，使点到达点的位置（），连接，，．

(1)证明：；(2)设点在平面内的射影为点，若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．【题型十】翻折型：二面角1.（2023·全国·高二假期作业）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求锐二面角的大小.2.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是边AB，AC的中点，现将沿着DE折起，使点A到达点P的位置，连接PB，PC，得到四棱锥P-BCED，如图2所示，设平面平面PBC=l.(1)求证：平面PBD；(2)若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD夹角的正弦值.培优练1．（2022秋·全国·高二期中）在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.

(1)求与平面所成角的大小；(2)在线段上是否存在点（不与端点重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由.2．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）用文具盒中的两块直角三角板(直角三角形和直角三角形)绕着公共斜边翻折成二面角，如图和，，，，，将翻折到，使，为边上的点，且.

(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的大小.3．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，四棱锥中，，，，，，为线段中点，线段与平面交于点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求四棱锥的体积.4．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．

(1)证明：；(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．5．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.6．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且.

(1)证明：.(2)若，，，点M在直线上，求直线AB与平面所成角的正弦值的最大值.7．（2023秋·全国·高二阶段练习）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧