直线的点斜式方程

【课题：】直线的点斜式方程

【教学目的：】

知识目标：在直角坐标平面内，已

知直线上一点和直线的斜率或已知

直线上两点，会求直线的方程;

给出直线的点斜式方程，

能观察直线的斜率和直线经过

的定点

陵向3斜月截标占方：通程过的直过线渡的，点训斜练学式生方由程

一般到特殊的处理问题方法;

通过直线的方程特征观察直

线的位置特征，培养学生的数

形结合能力.

德育目标：通过直线方程的几

种形式培养学生的美学意识•

【教学重点：】由于斜截式方程

是点斜式方程的特殊情况，教学

重点应放在

推导直线的斜截式方程

上・实质上它也是整个直线方程

理论

的基础。

【教学难点：】在推导出直线的

点斜式方程后，说明得到的就是

直线的方程，

即直线上每个点的坐标都

是方程的解；反过来，以这个方

程

的解为坐标的点在直线

上.

【授课类型：】新授课

【课时安排：】1课时

【教具：1

【教学过程：】

iC复习引入:

iC讲解新课:

(1)点斜式

点P1（X1，y）直线是确定的，也

就是可求的，怎样求直线1的方程

（图1-24）?

设点P(x,y)是直线1上小同十

Pi(X],yj的任意一■点，根据经过

两点的斜率公式得

r-H

即y-yi二k(X-xJ(2)

程(2),因此，点Pi不在方程(1)表

示的图形上而在方程(2)表示的图

形上，方程(1)不能称作直线1的

方程.

/IJ|，/7—PL1_|H<Jp-7

明以这个方程的解为坐标的点都

在直线1上，所以这个方程就是过

点P「斜率为k的直线1的方

程.（实质上是证明了直线的方程

与方程的直线的关系）

这个方程是由直线上一点和直线

的斜望确定的，叫做直线方程的

点斜式.

注：当直线的斜率为0°时（图1.

25）,k=0,直线的方程是y=y「

直线的斜率不存在，它的方程不

能用点斜式表示.但因1上每一点

的横坐标都等于X1，所以它的方

程是x二x「

已知直线1在y轴上的截距为b,斜

率为b,求直线的方程.

\rJ7'll------1Q—I1-J-l-I---IA^^4—

一点(0,b)及直线的斜率k,求直

线的方程，是点斜式方程的特殊

情况，代入点斜式方程可得：

也就是y=kx+b

—P-MI1/I1-1-•I1^^I—115I/I

程.为什么叫斜截式方程？因为

它是由直线的斜率和它在y轴上

的截距确定的.

-------1/

的表小形式，这样一1次函数中k

和b的几何意义就是分别表示直

线的斜率和在y轴上的截距.

中有十分重要的运用，但上述两

种直线方程的形式都要求有斜率,

故运用它们时往往要先对斜率的

存在与否进行讨论，而这正是最

容易错的地方。

典型范例

错例剖析

4、课后作业:

5、能力提高:

•£©已知直线y=kx+b(kWO)经过点(』)，求证直

线不可能经过两个

有理点_（所谓的有理点即横纵坐

标均为有理数的点）

6、高考链结:

【板书设计：】

【课后反思：】

【课题：】直线的两点式方程

磔

玲

r-

P2(X2,y2),(x^x2),直线的位置

是确定的，也就是直线的方程是

可求的，请同学们求直线1的方

程.

当丫1制2时，为了便于记忆，我

们把方程改写成

这个方程是由直线上两点确定的,

故叫做直线的两点式方程.

HI—IA^^41I—Q_17'FPd|IU

（X1=X2或丫产丫2）时，可直接写出方

程；（2）要记住两点式方程，只要

记住左边就行了，右边可由左边

见y就用x代换得到，足码的规律

完全一样.

ird

试用两点式求方程:

已知直线1在x轴和y轴上的截距分

别是a和b(a/),b^O),求直线1的

方程.

线的方程问题,由学生自己完

成

解：因为直线1过A(a,0)和B(0,

b)两点，将这两点的坐标代入两

点式，得

也就是

学生也可能用先求斜率，然后用

点斜式方程求得截距式.

这个方程是由直线在X轴和y轴上

的截距确定的，叫做直线方程的

截距式.

程；(2)将直线的方程化为截距式

后，可以观察出直线在x轴和y轴

上的截星巨，这一点常被用来作图;

(3)与坐标轴平行和过原点的直线

不能用截距式表示即如果有一个

的截距为零则不能用截距式.

典型范例

错例剖析

4、课后作业:

5、能力提高:

⑴已知直线过点P(3,4)且与

x,y轴的正半轴相交于A、B,求

使AAOB面积最小时的直线方程。

6、高考链结:

【板书设计：】

【课后反思：】

【课题：】直线的一般式方程

【教学目的：】

知识目标：掌握直线方程的一

般形式及其运用

）。八/q1-1-VI•JI1/7/—L/、/J、7

进一步强化学生的对应概念；通

过对几个典型例题的研究，培养

学生灵活运用知识、简化运算的

能力.

WLLPI<I_Iz，7|一，7r|1▲Iy

几种形式的特点的分析，培养学

生看问题一分为二的辩证唯物主

义观点.

ATI、IQ八、、孑71=—'I—IA

线有一定的局限性，只有直线的

一般式能表示所有的直线，教学

中要讲清直线与二元一次方程的

对应关系.

【教学难点：】

【授课类型：】新授课

【课时安排：】1课时

【教具：1

【教学过程：】

一工复习引入：

―17rFH|7HI—IA^^49—79UI

能表示与坐标轴平行的直线，又

不能表示过原点的直线.与X轴

垂直的直线可表示成X=Xo，与X轴

平行的直线可表示成y=yo。它们

都是二元一次方程.

我”问：直线的方程都可以写成

二元一次方程吗？反过来，二元

7诉你礼程都表示直线吗？

JI<，，口z|—―I—L/7——>~*'17'/Q、I/~丁

一条直线都有倾斜角a.当

(#90°时，直线有斜率，方程可

写成下面的形式：y=kx+b

当a=90°时，它的方程可以写成

X=x0的形式.

看成是二元一次方程.这样，对

于每一条直线都可以求得它的一

个二元一次方程，就是说，直线

的方程都可以写成关于x、y的一

次方程.

反过来，对十X、y的一次方程的

一般形式Ax+By+C=O其中A、B

不同时为零.

(1)当B，0时，方程(1)可化为即为

直线的斜截式方程

(2)当BHW，由十A、B不同时可

零，必有A#),方程可化为它

表示一条与y轴平行的直线•

这样，我们乂有：关十X和y的一

次方程都表示一条直线.我们把

方程写为：Ax+By+C=O

这个方程（其中A、B不全为零）叫

做直线方程的一般式•

引导学生思考：直线与二元一次

方程的对应是什么样的对应？

直线与二元一次方程是一对多的,

同一条直线对应的多个二元一次

方程是同解方程.

注：如果求解直线的方程没有特

别说明要写成一般式。

典型范例

解：直线的点斜式是

化成一般式得

・

0

H

3

I—

"

E

+

x寸

把常数次移到等号右边，再把方

程两边都除以12,就得到截距式

IJIF，7

般式也是不唯一的，因为方程的

两边同乘以一个非零常数后得到

的方程与原方程同解，一般方程

可作为最终结果保留，但须化为

各系数既无公约数也不是分数；

⑶直线方程的斜截式与截距式如

果存在的话是唯一的，如无特别

要求，可作为最终结果保留.

例2把直线1的方程x-2y+6=0化

成斜截式，求出直线1的科率和在

x轴与y轴上的截距，并画图.

解：将原方程移项，得2y=x+6,

两边除以2得斜截式：

4

II

根据直线过点A(-6,0)、B(0,3),

在平面内作出这两点连直线就是

所要作的图形(图1-28).

I—IA^^47々、I—IA^^4.Qk-L-l/、/QrQ，］L

它上面的一点确定，也可由直线

上的两点确定，利用前一点作图

比较麻烦，通常我们是找出直线

在两轴上的截距，然后在两轴上

找出相应的点连线.

例3证明：三点A(l,3)、B(5,

7)、C(10,12)在同一条直线上.

证法一直线AB的方程是:

化简得y=x+2.

将点C的坐标代入上面的方程,

等式成立.

・・・A、B、C三点共线.

所以A、B、C三点共线.

VIABI+IBCI=IACb

・・・A、C、C三点共线.

讲解本例题可开拓学生思路，培

养学生灵活运用知识解决问题的

能力.

例4直线x+2y-10=0与过A(1，

3)、B(5,2)的直线相交于C,

所成的