复合函数的零根探究

复合函数的零根探究例1.已知函数

f(x)=,求函数y=f(f(x))+1的零根个数。例2.已知函数y=（k≠0）,若函数y=f(f(x))+1的零点个数是4，则k的取值范围为例3.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f(x),若对任意x∈（0，+∞）都有f(f(x)+)=3,则方程f(x)=2+的解集为例4.已知函数f(x)=x+-2，如果关于x的方程f(||)+t()=0有三个相异的实数根，求t的范围。例5．已知定义在R上的函数y=f(x)存在零点，且对任意m，n∈R都满足f(mf(m)+f(n))=+n，若关于x的方程|f(f(x))-3|=1-(a>0，a≠1)恰有三个不同的根，求a的取值范围。例6。已知函数y=f(x)是定义域R的偶函数，当x≥0时，f(x)=，若关于x的方程式[f(x)]2+af(x)+=0，a,b∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是例7.(2015年南通二模第19题第三问）设，函数．当时，求函数零点的个数．8。设定义在R上的函数＝若关于x的方程＋＋c＝0有3个不同的实数解，，，则＋＋＝．复合函数的零根探究对于函数y=f(x)与y=g(x)称函数y=f(g(x))为函数y=f(x)对y=g(x)的复合函数,可以看作由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成，对于函数y=f(x),我们把方程f(x)=0的实数根x叫做函数y=f(x)的零点。复合函数和零点都是高中函数的重要内容，这部分内容一直是学生难以理解和难以掌握的内容，下面就复合函数的零点问题作一探究。已知函数

f(x)=,求函数y=f(f(x))+1的零根个数。分析一：函数y=f(x)为分段函数，用分段方法求出y=f(f(x))的表达式，进而求解。解法一：(1)当x0时f(x)=x+1,y=f(f(x))+1=f(x+1)+1,①当x+1≤0即x≤－1时y=f(x+1)+1=x+1+1=x+2=0,所以＝－2；②当x+1>0即-1<x≤0时，y=f(x+1)+1＝+1＝0，所以＝。110xy图（1）-1（2）当x>0时f(x)=,y=f(f(x))+1=f()+1,①当0即0＜x≤1时y=f()+1=+2=0,所以＝；②当＞0即x>1时y=f()+1=+1=0,所以。综上所述函数y=f(f(x))+1的零根有4个。110xy图（1）-1分析二：可以作出y=f(x)图象，用数形结合的方法解决此问题。解法二：作出函数y=f(x)的图象，如图（1）所示由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1，由图象知：f(x)=-1时x=-2或x=,由f(x)=-2或f(x)=结合图象知各有两个解，综上所述函数y=f(f(x))+1的零根有4个。1k0x图（2）-1y1k0x图（2）-1y的取值范围为分析：由于本题为填空题，可采用图象法解决。解：（1）先画出k>0时y=f(x)的图象，如图（2）所示，①若，其中，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有2个不同的实根；当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有1个实根，从而方程有3个不同的实根；②若，其中，由①知，方程有3个不同的实根；③若，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有1个实根；当时，，记，因为对称轴，，且，，14分记，则故为上增函数，且，，所以有唯一解，不妨记为，且，若，即，方程有0个实根；若，即，方程有1个实根；若，即，方程有2个实根，所以，当时，方程有1个实根当时，方程有2个实根；当时，方程有3个实根．综上，当时，函数的零点个数为7；当时，函数的零点个数为8；当时，函数的零点个数