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文档简介
《人教版九年上册全教案》
第二十一章二次根式
教材内容
1.本元教学的主要内容:
二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最:次根式.
2.本元在教材中的地位和作用:
二次根式是在学完了八年下册第十七章《反比例正函数》'第十八章《勾股定理及其
用》等内容的基之上学的,它也是今后学其他数学知的基.
教学目
1.知与技能
(1)理解二次根式的概念.
(2)理解(aNO)是一个非数,()2=a(a>0),=a(a>0).
(3)掌握♦-(a>0.b>0),--;
=(a>0,b>0),=(a>0,b>0).
(4)了解最二次根式的概念并灵活运用它二次根式行加成.
2.程与方法
(1)先提出,学生探'分析,生共同,得出概念.再概念的内涵行分
析,得出几个重要,并运用些重要行二次根式的算和化.
(2)用具体数据探究律,用不完全法得出二次根式的乘(除)法定,并运用
定行算.
(3)利用逆向思,得出二次根式的乘(除)法定的逆向等式并运用它行化.
(4)通分析前面的算和化果,抓住它的共同特点,出最二次根式的概念.
利用最二次根式的概念,来相同的二次根式行合并,达到二次根式行算和化的目
的.
3.情感、度与价
通本元的学培学生:利用定准确算和化的的科学精神,探索二次根式的
重要,二次根式的乘除定,展学生察'分析'的能力.
教学重点
1.二次根式(a>0)的内涵.(a>0)是一个非数;()2=a(a>0)
=a(a>0)及其运用.
2.二次根式乘除法的定及其运用.
3.最二次根式的概念.
4.二次根式的加成运算.
教学点
1.(a>0)是一个非数的理解;等式()2=a(a>0)及=a(a>0)
的理解及用.
2.二次根式的乘法、除法的条件限制.
3.利用最二次根式的概念把一个二次根式化成最二次根式.
教学
1.潜移默化地培学生M具体到一般的推理能力,突出重点,突破点.
2.培学生利用二次根式的定和重要行准确算的能力,培学生一不苟的科
学精神.
元划分
本元教学需11,具体分配如下:
21.1二次根式3
21.2二次根式的乘法3
21.3二次根式的加3
教学活''小2
21.1二次根式
第一
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目
理解二次根式的概念,并利用(aK))的意解答具体目.
提出,根据出概念,用概念解决.
教学重点
1.重点:形如(aNO)的式子叫做二次根式的概念;
2.点与:利用“(aK))”解决具体.
教学程
-'引入
(学生活)同学伽完成下列三:
1:已知反比例函数丫=,那它的象在第一象限横'坐相等的点的坐是
2:如,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,ZC=90°,那AB的是
3:甲射6次,各次中的数如下:879978,那甲次射的方差是那
S=.
老点:
1:横'坐相等,即*=丫,所以X2=3.因点在第一象限,所以x=,所以所求
点的坐(,).
2:由勾股定理得AB=
3:由方差的概念得$=.
二'探索新知
很明'',都是一些正数的算平方根.像一些正数的算平方根的式
子,我就把它称二次根式.因此,一般地,我把形如(aNO)的式子叫做二次根
式,“"称二次根号.
(学生活)一:
1.-1有算平方根?
2.0的算平方根是多少?
3.当a<0,有意?
老点:(略)
例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、、、&>0)
''(x>0.y>0).
分析:二次根式足两个条件:第一,有二次根号"”;第二,被方数是正数
或0.
解:二次根式有:'(x>0)'-'(x>0,y>0);不是二次根
式的有:'''^
例2.当x是多少,在数范内有意?
分析:由二次根式的定可知,被方数一定要大于或等于0,所以3x-lK),
才能有意.
解:由3x-l>0,得:x>
当疮,在数范内有意.
三、巩固
教材P1'2'3.
四'用拓展
例3.当x是多少,+在数范内有意?
分析:要使+在数范内有意,必同足中的±0和
中的x+l#O.
解:依意,得
由①得:x>-
由②得:xAl
当XN-且洋-1十在数范内有意.
例4⑴已知y=++5,求的.(答案:2)
⑵若+=0,求a'MM+bxx”的.(答案:)
五'小(学生活,老点)
本要掌握:
1.形如(aNO)的式子叫做二次根式,""称二次根号.
2.要使二次根式在数范内有意,必足被方数是非数.
六'布置作
1.教材Ps巩固1'合用5.
2.用作.
3.后作:《同步》
第一作
1.下列式子中,是二次根式的是()
A.-B.C.D.x
2.下列式子中,不是二次根式的是()
A.B.C.D.
3.已知一个正方形的面是5,那它的是()
A.5B.C.D.以上皆不
二'镇空
1.形如的式子叫做二次根式.
2.面a的正方形的.
3.数平方根.
三'合提高
1.某工厂要制作一批体In?的品包装盒,其高0.2m,按需要,底面做成正
方形,底面是多少?
2.当x是多少,+x2在数范内有意?
3.若+有意,
4.使式子有意的未知数*有()个.
A.0B.1C.2D.无数
5.已知a'b数,且+2=b+4,求a'b的.
第一作答案:
—'1.A2.D3.B
二'1.(a>0)2.3.没有
三'1.底面X,02x2=1,解答:x=
2.依意得:
当x>-且x/0,+x?在数范内没有意.
3.
4.B
5.a=5,b=-4
21.1二次根式(2)
第二
教学内容
1.(aK))是一个非数;
2.)2=a(a>0).
教学目
理解(aK))是一个非数和()M(a>0),并利用它行算和化.
通二次根式的概念,用推理的方法推出(aK))是一个非数,用具体数据
合算平方根的意出()2=a(a>0);最后运用解.
教学重点
1.重点:(aNO)是一个非数;()2=a(a>0)及其运用.
2.点':用分思想的方法出(aK))是一个非数;用探究的方法出
)2=a(a>0).
教学程
-'引入
(学生活)口答
1.什叫二次根式?
2.当a>0,叫什?当a<0,有意?
老点(略).
二、探究新知
-:(学生分,提解答)
(a>0)是一个什数呢?
老点:根据学生和上面的,我可以得出
(a>0)是一个非数.
做一做:根据算平方根的意填空:
()2=;()2=;()';()2=;
()J;()';()2=.
老点:是4的算平方根,根据算平方根的意,是一个平方等于4的非
数,因此有()2=4.
同理可得:()2=2,()2=9,()M,()2=)2=
)2=0,所以
()J(a>0)
例1算
1.()22.(3)23.()24.()2
分析:我可以直接利用()(a>0)的解.
解:()2=,(3)2=3?.()2=32.5=45,
()1,()2=
三'J入固
算下列各式的:
2
)(L()2()2(4)2
四'用拓展
例2算
1.()2(x>0)2.()23.()2
4.()2
分析:⑴因x>0,所以x+l>0;(2)a2>0;(3)a2+2a+l=(a+1)*0;
(4)4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2>0.
所以上面的4都可以运用()2=a(a>0)的重要解.
解:⑴因x>0,所以x+l>0
)2=x+l
(2)a2>0,()2=a2
(3)---a2+2a+l=(a+1)2
又:(a+1)2>0,•,•a2+2a+l>0.二=a2+2a+l
(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2-2X-3+32=(2X-3)2
又:(2x-3)2>0
4x2-12x+9>0,()2=4x2-12x+9
例3在数范内分解下列因式:
(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3
分析:(略)
五'小
本掌握:
1.(aWO)是一个非数;
2.()2=a(a>0);反之:a=()2(a>0).
六'布置作
1.教材Ps巩固2.(1)'(2)P,7.
2.用作.
3.后作:《同步》
第二作
1.下列各式中^、、、,二次根式的个
数是().
A.4B.3C.2D.1
2.数a没有算平方根,a的取范是().
A.a>0B.a>0C.a<0D.a=0
二'填空
I.(-1=.
2.已知有意,那是一个数.
三'合提高
I.算
(1)()2(2)-()2(3)()2(4)(-3)2
(5)
2.把下列非数写成一个数的平方的形式:
(1)5(2)3.4(3)(4)x(x>0)
3.已知+=0,求xy的.
4.在数范内分解下列因式:
(1)x2-2(2)x4-93x2-5
第二作答案:
—'1.B2.C
二'1.32.非数
三'1.(1)()2=9(2)-()2=-3(3)()1x6=
(4)(-3)2=9x=6(5)-6
2.(1)5=()2⑵3.4=()2
(3)=()2(4)x=()2(x>0)
3.xy=34=81
4.(1)x2-2=(x+)(x-)
(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+)(x-)
⑶略
21.1二次根式(3)
第三
教学内容
=a(a>0)
教学目
理解=a(a>0)并利用它行算和化.
通具体数据的解答,探究=a(a>0),并利用个解决具体.
教学重点
1.重点:=a(a>0).
2.点:探究.
3.:清aK),=2才成立.
教学程
-'引入
老口述并板收上两的重要内容;
1.形如(aNO)的式子叫做二次根式;
2.(a>0)是一个非数;
3.(尸a(a>0).
那,我猜想当抡0,=@是否也成立呢?下面我就来探究个
二、探究新知
(学生活)镇空:
(老点):根据算平方根的意,我可以得到:
=2;=0.01;=;=;
因此,一般地:=a(a>0)
例1化
(1)(2)(3)(4)
分析:因⑴9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52
(4)(-3)2=31所以都可运用=a(a>0)去化.
解:⑴==3(2)==4
(3)==5(4)==3
三、巩固
教材P72.
四'用拓展
例2埴空:当哙0,=;当a<0,=并根据一性回答
下列.
(1)若=a,a可以是什数?
(2)若=-a,a可以是什数?
(3)>a,a可以是什数?
分析:•••=a(a>0),要埴第一个空格可以根据个第二空格就不行,
形,使”()初中的数是正数,因,当好0,,那-a>0.
(1)根据求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)
(2)可知=|a|,而|a|要大于a,只有什候才能保呢?a<0.
解:⑴因=a.所以aK);
(2)因=-a,所以aMO;
(3)因当a*0=a,要使>a,即使a>a所以a不存在;当avO,
=-a,要使>a,即使-a>a,a<0上,a<0
例3当x>2,化-
分析:(略)
五'小
本掌握:=a(a>0)及其运用,同理解当a<0,=-a的用拓展.
六'布置作
1.教材P821.13'4'6'8.
2作作
■
作
后
步
同
3.:
第
三
作
一
、
白
勺是
A.0B.C.4D.以上都不
2.a>0,,比它的果,下面四个中正确的是().
A.=>-B.>
C.<<-D.-
二、镇空
1.-=
2.若是一个正整数,正整数m的最小是.
三'合提高
1.先化再求:当a=9,求a+的,甲乙两人的解答如下:
甲的解答:原式=a+=a+(1-a)=1;
乙的解答:原式=a+=a+(a-1)=2a-l=17.
两解答中,的解答是的,的原因是.
2.若|1995-a|+=a,求a-19952的.
(提示:先由a-2000K),判断1995-a的是正数是数,去掉)
3.若-3MXM2,化|x-2|++°
答案:
一1.C2.A
二'1.-0.022.5
三1甲甲没有先判定1-a是正数是数
2.由已知得a-2000*0,a*2000
所以a-1995+=a,=1995,a-2000=19952,
所以a-19952=2000.
3.10-x
21.2二次根式的乘除
第一
教学内容
(a>0,b>0),反之(a>0,b>0)及其运用.
教学目
理解(a>0,b>0),(a>0.b>0),并利用它行
算和化
由具体数据,律,出•=(a>0,b>0)并运用它行算;利用逆
向思,得出=■(a>0,b>0)并运用它行解和化.
教学重点
重点:,=(a>0,b>0),=(a>0,b>0)及它的运用.
点:律,出,=(a>0.b>0).
:要清(avO,b〈O)=,如=或
==x
教学程
-'引入
(学生活)同学完成下列各.
1.填空
(1)X=.=;
(2)x=.=.
(3)x=,=.
参考上面的果,用“>'<或=”填空.
x,x,x
2.利用算器算填空
(1)x,(2)x
(3)x,(4)x
⑸X
老点(正学生中的)
二'探索新知
(学生活)3'4个同学上台律.
老点:(1)被方数都是正数;
(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,并且把两个二次根式中的数相乘,
作等号另一二次根式中的被方数.
一般地,1次根式的乘法定
•=(a>0,b>0)
反来:=(a>0,b>0)
例L算
⑴x(2)x(3)x(4)x
分析:直接利用(a>0,b>0)算即可.
解:⑴x=
(2)x==
(3)x=9
(4)x==
例2化
(1)(2)(3)
(4)(5)
分析:利用(a>0,b>0)直接化即可.
解:⑴x=3x4=12
⑵X=4x9=36
⑶X=9x10=90
(4)-x=xx=3xy
(5)=x=3
三、巩固
(1)算(学生,老点)
①x②3x2③^
⑵化:;;;;
教材P”全部
四'用拓展
例3.判断下列各式是否正确,不正确的予以改正:
(1)
⑵X=4xXx=4=8
解:(1)不正确.
改正:x=2x3=6
⑵不正确.
改正XX=4
五、小
本掌握:⑴•=(a>0,b>0),(a>0,b>0)及
其运用.
六'布置作
1.本P|51,4,5,6.⑴⑵.
2.用作.
3.后作:《同步》
第一作
1.若直角三角形两条直角的分cm和cm,那此直角三角形斜是
A.3cmB.3cmC.9cmD.27cm
2.化a的果是().
A.B.C.D.-
3.等式成立的条件是()
A.x之1B.x之-1C.-iMxMlD.x之1或xM-1
4.下列各等式成立的是().
A.4X2=8B.5X4=20
C.4X3=7D.5X4=20
二'埴空
1.=.
2.自由落体的公式S=gt2(g重力加速度,它的10m/s2),若物体下落的高度
720m,下落的是.
三'合提高
1.一个底面30cmx30cm方体玻璃容器中装水,将一部分水例入一个底面正
方形'高10cm桶中,当桶装水,容器中的水面下降了20cm,桶的底面是多少厘
米?
2.探究程:察下列各式及其程.
(1)2
:2X
⑵3
:3=x
同理可得:4
5,……
通上述探究你能猜出:a(a>0),并你的
答案:
一'1.B2.C3.A4.D
二'1.132.12s
三、1.:底面正方形桶的底面X,
X2x10=30x30x20,X2=30X30X2,
x=x=30.
2.a=
:a
21.2二次根式的乘除
第二
教学内容
-(a>0.b>0),反来=(aN),b>0)及利用它行算和化.
教学目
理解=(a>0,b>0)和(a>0,b>0)及利用它行运算.
利用具体数据,通学生活,律,出除法定,并用逆向思写出逆向等式及
利用它行算和化.
教学重点
1.重点:理解=(a>0.b>0)(a>0,b>0)及利用它行算
和化.
2.点:律,出二次根式的除法定.
教学程
一、引入
(学生活)同学完成下列各:
1.写出二次根式的乘法定及逆向等式.
2.填空
⑴
⑵
⑶
(4)
律:
3.利用算器算埴空:
(1)=,(2)(3)=.(4)
律:;;;°
每推荐一名学生上台述运算果.
佬点)
二'探索新知
才同学都都很好,上台的同学也回答得十分准确,根据大家的和回答,我可
以得到:
一般地,二次根式的除法定:
=(a>0,b>0),
反来,=(a>0.b>0)
下面我利用个定来算和化一些目.
例L算:(D⑵⑶(4)
分析:上面4小利用(a>0,b>0)便可直接得出答案.
解:⑴===2
(2)==x=2
(3)===2
(4)===2
例2.化:
(1)(2)(3)(4)
分析:直接利用=(aN).b>0)就可以达到化之目的.
解:⑴=
(2)=
(3)=
(4)=
三、巩固
教材P141.
四'用拓展
例3.已知,且x偶数,求(1+x)的.
分析:式子=,只有a>0,b>0才能成立.
因此得至IJ9-XW0且x-6>0,即6VxM9,又因x偶数,所以x=8.
解:由意得,即
6<x<9
•••x偶数
x=8
二原式=(1+x)
=(1+x)
=(1+x)=
当x=8,原式的==6.
五'小
本要掌握=(a>0,b>0)和=(a>0.b>0)及其运用.
六'布置作
1.教材%21.22'7'8'9.
2.用作.
3.后作:《同步》
第二作
1.算的果是().
A.B.C.D.
2,下列运算程:
数学上将把分母的根号去掉的程称作“分母有理化”,那,化的果是(
).
A.2B.6C.D.
二、填空
1.分母有理化:(1)=;(2)=;(3)=.
2.已知x=3,y=4,z=5,那的最后果是.
三'合提高
1.有一房梁的截面是一个矩形,且矩形的与之比:1,用直径3cm
的一木做原料加工房梁,那加工后的房染的最大截面是多少?
2.算
(1)•(-)4-(m>(),n>0)
(2)-3+()X(a>0)
答案:
—'1.A2.C
二'1•⑴;(2);(3)
2.
三、1.:矩形房梁的x(cm),xcm,依意,
得:(x)2+x2=(3
4x2=9x15,x=(cm),
(cm2).
2.(1)原式=・
(2)原式二-2=-2=-a
21.2二次根式的乘除(3)
第三
教学内容
最二次根式的概念及利用最二次根式的概念行二次根式的化运算.
教学目
理解最二次根式的概念,并运用它把不是最二次根式的化成最二次根式.
通算或化的果来提出最二次根式的概念,并根据它的特点来最后果是否足
最二次根式的要求.
重点
1.重点:最二次根式的运用.
2.点:会判断位次根式是否是最二次根式.
教学程
-'引入
(学生活)同学完成下列各(三位同学上台板)
1.算⑴,(2),(3)
老点:=,==
2.在我来看本章引言中的:如果两个塔的高分是hikm,h2km,那它的
播半径的比是__________.
它的比是
二'探索新知
察上面算1的最后果,可以些式子中的二次根式有如下两个特点:
1.被方数不含分母;
2.被方数中不含能得尽方的因数或因式.
我把足上述两个条件的二次根式,叫做最二次根式.
那上中的比是否是最二次根式呢?如果不是,把它化成最二次根式.
学生分,推荐3~4个人到黑板上板.
老点:不是.
例1.⑴;(2)乂3)
例2.如,在Rt^ABC中,NC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的.
解:因AB2=AC2+BC2
所以AB==6.5(cm)
因此AB的6.5cm.
三、1凡固
教材Pu2'3
四'用拓展
例3.察下列各式,通分母有理数,把不是最二次根式的化成最二次根式:
同理可得:=-,……
队算果中找出律,并利用一律算
(+++...)(+D的.
分析:由意可知,本所的是一分母有理化的式子,因此,分母有理化后就可以
达到化的目的.
解:原式=(-1+-+-+........+-}X(+1)
=(-D(+D
=2002-1=2001
五'小
本掌握:最二次根式的概念及其运用.
六'布置作
1.教材%21.23'7'10.
2.用作.
3.后作:《同步》
第三作
1.如果(y>0)是二次根式,那,化最二次根式是().
A.(y>0)B.(y>0)C.(y>0)D.以上都不
2.把(a-1)中根号外的(a-1)移入根号内得().
A.B.C.-D.-
3.在下列各式中,化正确的是()
A.=3B.=±
C.=a2D.=x
4.化的果是()
A.-B.-C.-D.-
二'埴空
1.化=__________.(xNO)
2.a化二次根式号后的果是__________.
三'合提高
1.已知a数,化:-a下面的解答程,判断是否正确?若不正
确,写出正确的解答程:
解:-a=a-a•=(a-1)
2.若x'y数,且y=,求的.
答案:
一、1.C2.D3.C4.C
二、1.x2.-
三'1.不正确,正确解答:
因,所以avO,
原式=-a'=--a•=-a+=(1-a)
2.*.*x-4=0,x=±2,但•.,x+2=¥0,x=2,y=
21.3二次根式的加减(1)
第一
教学内容
二次根式的加戚
教学目
理解和掌握二次根式加减的方法.
先提出,分析,在分析中,渗透二次根式行加成的方法的理解.再,用
它来指根式的算和化.
重点
1.重点:二次根式化最根式.
2.点:会判定是否是最二次根式.
教学程
-'引入
学生活:算下列各式.
(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)x+2x+3y;(4)3a2-2a2+a3
教点:上面目的果,上是我以前所学的同合并.合并就是字母不,系
数相加感
二'探索新知
学生活:算下列各式.
(1)2+3(2)2-3+5
⑶+2+3(4)3-2+
老点:
(1)如果我把当成x,不就化上面的
2+3=(2+3)=5
⑵把当成y;
2-3+5=(2-3+5)=4=8
⑶把当成z;
+2+
=2+2+3=(1+2+3)=6
(4)看x,看y.
3-2+
=(3-2)+
因此,:次根式的被方数相同是可以合并的,如2与表面上看是不相同的,
但它可以合并?可以的.
(板)3+=3+2=5
3+=3+3=6
所以,二次根式加戚,可以先将二次根式化成最二次根式,再将被方数
相同的二次根式行合并.
例1.算
(1)+⑵
分析:第一步,将不是最二次根式的化最二次根式;第二步,将相同的最二次
根式行合并.
解:(1)+=2+3=(2+3)
⑵=4+8=(4+8)=12
例2.算
⑴3-9+3
⑵)+
解:⑴3-9+3=12-3+6=(12-3+6)15
⑵+)+()=++
=4+2+2=64-
三'J又固
教材PI91、2.
四、用拓展
例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求+y2)-(X2-5x)的.
分析:本首先将已知等式行形,把它配成完全平方式,得(2x-1)2+(y-
3)2=0,R|Ix=,y=3.其次,根据二次根式的加减运算,先把各化成最二次根式,
再合并同二次根式,最后代入求.
解:4x2+y2-4x-6y+10=0
'."4X2-4X+1+y2-6y+9=0
(2x-l)2+(y-3)2=0
x=,y=3
原式二+y2-x2+5x
=2x+-x+5
=x+6
当x=,y=3,
原式=X+6=+3
五'小
本掌握:(1)不是最二次根式的,化成最二次根式;(2)相同的最二次根
式行合并.
六'布置作
1.教材21.31'2'3'5.
2.作作.
3.后作:《同步》
第一作
1.以下二次根式:①;②;③;④中,与是同二次根式的
是().
A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④
2.下列各式:①3+3=6:②=1;③+==2;@
=2,其中的有().
A.3个B.2个C.1个D.0个
二'埴空
1.在3-2中,与是同二次
根式的有.
2.算二次根式5-3-7+9的最后果是_________■
三、合提高
1.已知*2.236,求()-(+)的.(果精确到
0.01)
2.先化,再求.
(6x+)-(4x+),其中x=,y=27.
答案:
一、1.C2.A
二、1.2.6-2
三1.原式二4%X2.236乂).45
2,原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)
当x=,y=27,原式二・
21.3二次根式的加成(2)
第二
教学内容
利用二.次根式化的数学思想解用.
教学目
运用二次根式'化解用.
通,将二次根式化成被方数相同的最二次根式,行合并后解用.
重点
清如何解答用既是本的重点,又是本的点、点.
教学程
一、引入
上,我已了二次根式如何加感的,我把它将谢个:第一步,先二次根
式化成最二次根式;第二步,再将被方数相同的:次根式行合并,下面我三道例
以做巩固.
二'探索新知
例1.如所示的RtZkABC中,NB=90°,点P以点B始沿BA以1厘米/秒的
速度向点A移;同,点Q也以点B始沿BC以2厘米/秒的速度向点C移.:几秒
后4PBQ的面35平方厘米?PQ的距离是多少厘米?(果用最:次根式表示)
分析:x秒后APISQ的面35平方厘米,那PB=x,BQ=2x,根据三角形面公
式就可以求出x的
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