新人教版九年级上册全册教案

《人教版九年上册全教案》

第二十一章二次根式

教材内容

1.本元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减;二次根式的乘除；最：次根式.

2.本元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年下册第十七章《反比例正函数》'第十八章《勾股定理及其

用》等内容的基之上学的，它也是今后学其他数学知的基.

教学目

1.知与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解(aNO)是一个非数，()2=a(a>0),=a(a>0).

(3)掌握♦-(a>0.b>0),--;

=(a>0,b>0),=(a>0,b>0).

(4)了解最二次根式的概念并灵活运用它二次根式行加成.

2.程与方法

(1)先提出，学生探'分析，生共同，得出概念.再概念的内涵行分

析，得出几个重要，并运用些重要行二次根式的算和化.

(2)用具体数据探究律，用不完全法得出二次根式的乘(除)法定，并运用

定行算.

(3)利用逆向思，得出二次根式的乘(除)法定的逆向等式并运用它行化.

(4)通分析前面的算和化果，抓住它的共同特点，出最二次根式的概念.

利用最二次根式的概念，来相同的二次根式行合并，达到二次根式行算和化的目

的.

3.情感、度与价

通本元的学培学生：利用定准确算和化的的科学精神，探索二次根式的

重要，二次根式的乘除定，展学生察'分析'的能力.

教学重点

1.二次根式(a>0)的内涵.(a>0)是一个非数；()2=a(a>0)

=a(a>0)及其运用.

2.二次根式乘除法的定及其运用.

3.最二次根式的概念.

4.二次根式的加成运算.

教学点

1.(a>0)是一个非数的理解；等式()2=a(a>0)及=a(a>0)

的理解及用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最二次根式的概念把一个二次根式化成最二次根式.

教学

1.潜移默化地培学生M具体到一般的推理能力，突出重点，突破点.

2.培学生利用二次根式的定和重要行准确算的能力，培学生一不苟的科

学精神.

元划分

本元教学需11,具体分配如下：

21.1二次根式3

21.2二次根式的乘法3

21.3二次根式的加3

教学活''小2

21.1二次根式

第一

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目

理解二次根式的概念，并利用(aK))的意解答具体目.

提出，根据出概念，用概念解决.

教学重点

1.重点：形如(aNO)的式子叫做二次根式的概念；

2.点与：利用“(aK))”解决具体.

教学程

-'引入

（学生活）同学伽完成下列三：

1:已知反比例函数丫=,那它的象在第一象限横'坐相等的点的坐是

2:如，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那AB的是

3：甲射6次，各次中的数如下：879978,那甲次射的方差是那

S=.

老点：

1：横'坐相等，即*=丫，所以X2=3.因点在第一象限，所以x=,所以所求

点的坐（，）.

2:由勾股定理得AB=

3:由方差的概念得$=.

二'探索新知

很明'',都是一些正数的算平方根.像一些正数的算平方根的式

子，我就把它称二次根式.因此，一般地，我把形如（aNO）的式子叫做二次根

式，“"称二次根号.

（学生活）一：

1.-1有算平方根？

2.0的算平方根是多少？

3.当a<0,有意？

老点：(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、&>0)

''(x>0.y>0).

分析：二次根式足两个条件：第一，有二次根号"”；第二，被方数是正数

或0.

解：二次根式有：'(x>0)'-'(x>0,y>0)；不是二次根

式的有：'''^

例2.当x是多少，在数范内有意？

分析：由二次根式的定可知，被方数一定要大于或等于0,所以3x-lK),

才能有意.

解：由3x-l>0,得：x>

当疮，在数范内有意.

三、巩固

教材P1'2'3.

四'用拓展

例3.当x是多少，+在数范内有意？

分析：要使+在数范内有意，必同足中的±0和

中的x+l#O.

解：依意，得

由①得：x>-

由②得：xAl

当XN-且洋-1十在数范内有意.

例4⑴已知y=++5,求的.（答案:2）

⑵若+=0,求a'MM+bxx”的.（答案：）

五'小（学生活，老点）

本要掌握：

1.形如（aNO）的式子叫做二次根式，""称二次根号.

2.要使二次根式在数范内有意，必足被方数是非数.

六'布置作

1.教材Ps巩固1'合用5.

2.用作.

3.后作：《同步》

第一作

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-B.C.D.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.B.C.D.

3.已知一个正方形的面是5,那它的是（）

A.5B.C.D.以上皆不

二'镇空

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面a的正方形的.

3.数平方根.

三'合提高

1.某工厂要制作一批体In?的品包装盒，其高0.2m,按需要，底面做成正

方形，底面是多少？

2.当x是多少，+x2在数范内有意？

3.若+有意，

4.使式子有意的未知数*有（）个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知a'b数，且+2=b+4,求a'b的.

第一作答案：

—'1.A2.D3.B

二'1.(a>0)2.3.没有

三'1.底面X,02x2=1,解答：x=

2.依意得：

当x>-且x/0,+x?在数范内没有意.

3.

4.B

5.a=5,b=-4

21.1二次根式（2）

第二

教学内容

1.（aK））是一个非数；

2.)2=a(a>0).

教学目

理解(aK))是一个非数和()M(a>0),并利用它行算和化.

通二次根式的概念，用推理的方法推出(aK))是一个非数，用具体数据

合算平方根的意出()2=a(a>0);最后运用解.

教学重点

1.重点：(aNO)是一个非数；()2=a(a>0)及其运用.

2.点':用分思想的方法出(aK))是一个非数；用探究的方法出

)2=a(a>0).

教学程

-'引入

(学生活)口答

1.什叫二次根式？

2.当a>0,叫什？当a<0,有意？

老点(略).

二、探究新知

-:(学生分，提解答)

(a>0)是一个什数呢？

老点：根据学生和上面的，我可以得出

(a>0)是一个非数.

做一做：根据算平方根的意填空：

()2=；()2=；()'；()2=；

()J；()'；()2=.

老点：是4的算平方根，根据算平方根的意，是一个平方等于4的非

数，因此有()2=4.

同理可得：()2=2,()2=9,()M,()2=)2=

)2=0,所以

()J(a>0)

例1算

1.()22.(3)23.()24.()2

分析：我可以直接利用()(a>0)的解.

解：()2=,(3)2=3?.()2=32.5=45,

()1,()2=

三'J入固

算下列各式的：

2

)(L()2()2(4)2

四'用拓展

例2算

1.()2(x>0)2.()23.()2

4.()2

分析：⑴因x>0,所以x+l>0;(2)a2>0;(3)a2+2a+l=(a+1)*0;

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4都可以运用()2=a(a>0)的重要解.

解：⑴因x>0,所以x+l>0

)2=x+l

(2)a2>0,()2=a2

(3)---a2+2a+l=(a+1)2

又：(a+1)2>0,•,•a2+2a+l>0.二=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2-2X-3+32=(2X-3)2

又：(2x-3)2>0

4x2-12x+9>0,()2=4x2-12x+9

例3在数范内分解下列因式：

(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3

分析：(略)

五'小

本掌握：

1.(aWO)是一个非数；

2.()2=a(a>0);反之：a=()2(a>0).

六'布置作

1.教材Ps巩固2.(1)'(2)P,7.

2.用作.

3.后作：《同步》

第二作

1.下列各式中^、、、,二次根式的个

数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算平方根，a的取范是().

A.a>0B.a>0C.a<0D.a=0

二'填空

I.(-1=.

2.已知有意，那是一个数.

三'合提高

I.算

(1)()2(2)-()2(3)()2(4)(-3)2

(5)

2.把下列非数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)(4)x(x>0)

3.已知+=0,求xy的.

4.在数范内分解下列因式：

(1)x2-2(2)x4-93x2-5

第二作答案：

—'1.B2.C

二'1.32.非数

三'1.(1)()2=9(2)-()2=-3(3)()1x6=

(4)(-3)2=9x=6(5)-6

2.(1)5=()2⑵3.4=()2

(3)=()2(4)x=()2(x>0)

3.xy=34=81

4.(1)x2-2=(x+)(x-)

(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+)(x-)

⑶略

21.1二次根式(3)

第三

教学内容

=a(a>0)

教学目

理解=a(a>0)并利用它行算和化.

通具体数据的解答，探究=a(a>0),并利用个解决具体.

教学重点

1.重点：=a(a>0).

2.点：探究.

3.:清aK),=2才成立.

教学程

-'引入

老口述并板收上两的重要内容；

1.形如(aNO)的式子叫做二次根式；

2.(a>0)是一个非数；

3.(尸a(a>0).

那，我猜想当抡0,=@是否也成立呢？下面我就来探究个

二、探究新知

(学生活)镇空：

（老点）：根据算平方根的意，我可以得到：

=2;=0.01；=；=；

因此，一般地：=a(a>0)

例1化

(1)(2)(3)(4)

分析：因⑴9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52

(4)(-3)2=31所以都可运用=a(a>0)去化.

解：⑴==3(2)==4

(3)==5(4)==3

三、巩固

教材P72.

四'用拓展

例2埴空：当哙0,=；当a<0,=并根据一性回答

下列.

(1)若=a,a可以是什数？

(2)若=-a,a可以是什数？

(3)>a,a可以是什数？

分析：•••=a（a>0）,要埴第一个空格可以根据个第二空格就不行,

形，使”（）初中的数是正数，因，当好0,,那-a>0.

(1)根据求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)

(2)可知=|a|,而|a|要大于a,只有什候才能保呢？a<0.

解：⑴因=a.所以aK);

(2)因=-a,所以aMO;

(3)因当a*0=a,要使>a,即使a>a所以a不存在；当avO,

=-a,要使>a,即使-a>a,a<0上，a<0

例3当x>2,化-

分析：(略)

五'小

本掌握：=a(a>0)及其运用，同理解当a<0,=-a的用拓展.

六'布置作

1.教材P821.13'4'6'8.

2作作

■

作

后

步

同

3.：

第

三

作

一

、

白

勺是

A.0B.C.4D.以上都不

2.a>0,,比它的果，下面四个中正确的是().

A.=>-B.>

C.<<-D.-

二、镇空

1.-=

2.若是一个正整数，正整数m的最小是.

三'合提高

1.先化再求：当a=9,求a+的，甲乙两人的解答如下：

甲的解答：原式=a+=a+(1-a)=1;

乙的解答：原式=a+=a+(a-1)=2a-l=17.

两解答中，的解答是的，的原因是.

2.若|1995-a|+=a,求a-19952的.

(提示：先由a-2000K),判断1995-a的是正数是数，去掉)

3.若-3MXM2，化|x-2|++°

答案：

一1.C2.A

二'1.-0.022.5

三1甲甲没有先判定1-a是正数是数

2.由已知得a-2000*0,a*2000

所以a-1995+=a,=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3.10-x

21.2二次根式的乘除

第一

教学内容

(a>0,b>0),反之(a>0,b>0)及其运用.

教学目

理解(a>0,b>0),(a>0.b>0),并利用它行

算和化

由具体数据，律，出•=(a>0,b>0)并运用它行算；利用逆

向思，得出=■(a>0,b>0)并运用它行解和化.

教学重点

重点：,=(a>0,b>0),=­(a>0,b>0)及它的运用.

点：律，出,=(a>0.b>0).

：要清(avO,b〈O)=，如=或

==x

教学程

-'引入

(学生活)同学完成下列各.

1.填空

(1)X=.=；

(2)x=.=.

(3)x=,=.

参考上面的果，用“>'<或=”填空.

x,x,x

2.利用算器算填空

(1)x,(2)x

(3)x,(4)x

⑸X

老点(正学生中的)

二'探索新知

(学生活)3'4个同学上台律.

老点：(1)被方数都是正数；

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把两个二次根式中的数相乘,

作等号另一二次根式中的被方数.

一般地，1次根式的乘法定

•=(a>0,b>0)

反来：=(a>0,b>0)

例L算

⑴x(2)x(3)x(4)x

分析：直接利用(a>0,b>0)算即可.

解：⑴x=

(2)x==

(3)x=9

(4)x==

例2化

(1)(2)(3)

(4)(5)

分析：利用(a>0,b>0)直接化即可.

解：⑴x=3x4=12

⑵X=4x9=36

⑶X=9x10=90

(4)-x=xx=3xy

(5)=x=3

三、巩固

(1)算(学生，老点)

①x②3x2③^

⑵化：；；；；

教材P”全部

四'用拓展

例3.判断下列各式是否正确，不正确的予以改正：

(1)

⑵X=4xXx=4=8

解：(1)不正确.

改正：x=2x3=6

⑵不正确.

改正XX=4

五、小

本掌握：⑴•=(a>0,b>0),(a>0,b>0)及

其运用.

六'布置作

1.本P|51,4,5,6.⑴⑵.

2.用作.

3.后作：《同步》

第一作

1.若直角三角形两条直角的分cm和cm,那此直角三角形斜是

A.3cmB.3cmC.9cmD.27cm

2.化a的果是（）.

A.B.C.D.-

3.等式成立的条件是（）

A.x之1B.x之-1C.-iMxMlD.x之1或xM-1

4.下列各等式成立的是（）.

A.4X2=8B.5X4=20

C.4X3=7D.5X4=20

二'埴空

1.=.

2.自由落体的公式S=gt2（g重力加速度，它的10m/s2）,若物体下落的高度

720m,下落的是.

三'合提高

1.一个底面30cmx30cm方体玻璃容器中装水，将一部分水例入一个底面正

方形'高10cm桶中，当桶装水，容器中的水面下降了20cm,桶的底面是多少厘

米？

2.探究程：察下列各式及其程.

(1)2

:2X

⑵3

:3=x

同理可得：4

5,……

通上述探究你能猜出：a(a>0),并你的

答案：

一'1.B2.C3.A4.D

二'1.132.12s

三、1.:底面正方形桶的底面X,

X2x10=30x30x20,X2=30X30X2,

x=x=30.

2.a=

:a

21.2二次根式的乘除

第二

教学内容

-(a>0.b>0),反来=(aN),b>0)及利用它行算和化.

教学目

理解=(a>0,b>0)和(a>0,b>0)及利用它行运算.

利用具体数据，通学生活，律,出除法定，并用逆向思写出逆向等式及

利用它行算和化.

教学重点

1.重点：理解=(a>0.b>0)(a>0,b>0)及利用它行算

和化.

2.点：律，出二次根式的除法定.

教学程

一、引入

(学生活)同学完成下列各：

1.写出二次根式的乘法定及逆向等式.

2.填空

⑴

⑵

⑶

(4)

律：

3.利用算器算埴空：

(1)=,(2)(3)=.(4)

律：；；；°

每推荐一名学生上台述运算果.

佬点)

二'探索新知

才同学都都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的和回答，我可

以得到：

一般地，二次根式的除法定：

=(a>0,b>0),

反来，=(a>0.b>0)

下面我利用个定来算和化一些目.

例L算：(D⑵⑶(4)

分析：上面4小利用(a>0,b>0)便可直接得出答案.

解：⑴===2

(2)==x=2

(3)===2

(4)===2

例2.化：

(1)(2)(3)(4)

分析：直接利用=(aN).b>0)就可以达到化之目的.

解：⑴=

(2)=

(3)=

(4)=

三、巩固

教材P141.

四'用拓展

例3.已知,且x偶数，求(1+x)的.

分析：式子=,只有a>0,b>0才能成立.

因此得至IJ9-XW0且x-6>0,即6VxM9,又因x偶数，所以x=8.

解：由意得，即

6<x<9

•••x偶数

x=8

二原式=(1+x)

=(1+x)

=(1+x)=

当x=8,原式的==6.

五'小

本要掌握=(a>0,b>0)和=(a>0.b>0)及其运用.

六'布置作

1.教材%21.22'7'8'9.

2.用作.

3.后作：《同步》

第二作

1.算的果是().

A.B.C.D.

2,下列运算程：

数学上将把分母的根号去掉的程称作“分母有理化”，那，化的果是(

).

A.2B.6C.D.

二、填空

1.分母有理化：(1)=；(2)=;(3)=.

2.已知x=3,y=4,z=5,那的最后果是.

三'合提高

1.有一房梁的截面是一个矩形，且矩形的与之比：1,用直径3cm

的一木做原料加工房梁，那加工后的房染的最大截面是多少？

2.算

(1)•(-)4-(m>(),n>0)

(2)-3+()X(a>0)

答案：

—'1.A2.C

二'1•⑴；(2)；(3)

2.

三、1.:矩形房梁的x(cm),xcm,依意,

得：(x)2+x2=(3

4x2=9x15,x=(cm),

(cm2).

2.(1)原式=・

(2)原式二-2=-2=-a

21.2二次根式的乘除(3)

第三

教学内容

最二次根式的概念及利用最二次根式的概念行二次根式的化运算.

教学目

理解最二次根式的概念，并运用它把不是最二次根式的化成最二次根式.

通算或化的果来提出最二次根式的概念，并根据它的特点来最后果是否足

最二次根式的要求.

重点

1.重点：最二次根式的运用.

2.点：会判断位次根式是否是最二次根式.

教学程

-'引入

(学生活)同学完成下列各(三位同学上台板)

1.算⑴，(2),(3)

老点：=,==

2.在我来看本章引言中的：如果两个塔的高分是hikm,h2km,那它的

播半径的比是__________.

它的比是

二'探索新知

察上面算1的最后果，可以些式子中的二次根式有如下两个特点：

1.被方数不含分母；

2.被方数中不含能得尽方的因数或因式.

我把足上述两个条件的二次根式，叫做最二次根式.

那上中的比是否是最二次根式呢？如果不是，把它化成最二次根式.

学生分，推荐3~4个人到黑板上板.

老点：不是.

例1.⑴；(2)乂3)

例2.如，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的.

解：因AB2=AC2+BC2

所以AB==6.5(cm)

因此AB的6.5cm.

三、1凡固

教材Pu2'3

四'用拓展

例3.察下列各式，通分母有理数，把不是最二次根式的化成最二次根式：

同理可得：=-,……

队算果中找出律，并利用一律算

(+++...)(+D的.

分析：由意可知，本所的是一分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以

达到化的目的.

解：原式=(-1+-+-+........+-}X(+1)

=(-D(+D

=2002-1=2001

五'小

本掌握：最二次根式的概念及其运用.

六'布置作

1.教材%21.23'7'10.

2.用作.

3.后作：《同步》

第三作

1.如果(y>0)是二次根式，那，化最二次根式是().

A.(y>0)B.(y>0)C.(y>0)D.以上都不

2.把(a-1)中根号外的(a-1)移入根号内得().

A.B.C.-D.-

3.在下列各式中，化正确的是()

A.=3B.=±

C.=a2D.=x

4.化的果是()

A.-B.-C.-D.-

二'埴空

1.化=__________.(xNO)

2.a化二次根式号后的果是__________.

三'合提高

1.已知a数，化：-a下面的解答程，判断是否正确？若不正

确，写出正确的解答程：

解：-a=a-a•=(a-1)

2.若x'y数，且y=，求的.

答案:

一、1.C2.D3.C4.C

二、1.x2.-

三'1.不正确，正确解答：

因，所以avO,

原式=-a'=--a•=-a+=(1-a)

2.*.*x-4=0,x=±2,但•.,x+2=¥0,x=2,y=

21.3二次根式的加减(1)

第一

教学内容

二次根式的加戚

教学目

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出，分析，在分析中，渗透二次根式行加成的方法的理解.再，用

它来指根式的算和化.

重点

1.重点：二次根式化最根式.

2.点：会判定是否是最二次根式.

教学程

-'引入

学生活：算下列各式.

(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)x+2x+3y;(4)3a2-2a2+a3

教点：上面目的果,上是我以前所学的同合并.合并就是字母不，系

数相加感

二'探索新知

学生活：算下列各式.

(1)2+3(2)2-3+5

⑶+2+3(4)3-2+

老点：

(1)如果我把当成x,不就化上面的

2+3=(2+3)=5

⑵把当成y;

2-3+5=(2-3+5)=4=8

⑶把当成z;

+2+

=2+2+3=(1+2+3)=6

(4)看x,看y.

3-2+

=(3-2)+

因此，：次根式的被方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的,

但它可以合并？可以的.

(板)3+=3+2=5

3+=3+3=6

所以，二次根式加戚，可以先将二次根式化成最二次根式,再将被方数

相同的二次根式行合并.

例1.算

(1)+⑵

分析：第一步,将不是最二次根式的化最二次根式；第二步,将相同的最二次

根式行合并.

解:(1)+=2+3=(2+3)

⑵=4+8=(4+8)=12

例2.算

⑴3-9+3

⑵)+

解：⑴3-9+3=12-3+6=(12-3+6)15

⑵+)+()=++

=4+2+2=64-

三'J又固

教材PI91、2.

四、用拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求+y2)-(X2-5x)的.

分析：本首先将已知等式行形，把它配成完全平方式,得(2x-1)2+(y-

3)2=0,R|Ix=,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各化成最二次根式,

再合并同二次根式，最后代入求.

解:4x2+y2-4x-6y+10=0

'."4X2-4X+1+y2-6y+9=0

(2x-l)2+(y-3)2=0

x=,y=3

原式二+y2-x2+5x

=2x+-x+5

=x+6

当x=,y=3,

原式=X+6=+3

五'小

本掌握：（1）不是最二次根式的，化成最二次根式；（2）相同的最二次根

式行合并.

六'布置作

1.教材21.31'2'3'5.

2.作作.

3.后作：《同步》

第一作

1.以下二次根式：①；②；③；④中，与是同二次根式的

是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3=6:②=1；③+==2;@

=2，其中的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二'埴空

1.在3-2中，与是同二次

根式的有.

2.算二次根式5-3-7+9的最后果是_________■

三、合提高

1.已知*2.236,求()-(+)的.(果精确到

0.01)

2.先化，再求.

(6x+)-(4x+)，其中x=,y=27.

答案：

一、1.C2.A

二、1.2.6-2

三1.原式二4%X2.236乂).45

2,原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)

当x=,y=27,原式二・

21.3二次根式的加成(2)

第二

教学内容

利用二.次根式化的数学思想解用.

教学目

运用二次根式'化解用.

通，将二次根式化成被方数相同的最二次根式，行合并后解用.

重点

清如何解答用既是本的重点，又是本的点、点.

教学程

一、引入

上，我已了二次根式如何加感的，我把它将谢个：第一步，先二次根

式化成最二次根式；第二步，再将被方数相同的：次根式行合并，下面我三道例

以做巩固.

二'探索新知

例1.如所示的RtZkABC中，NB=90°,点P以点B始沿BA以1厘米/秒的

速度向点A移；同，点Q也以点B始沿BC以2厘米/秒的速度向点C移.：几秒

后4PBQ的面35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（果用最：次根式表示）

分析：x秒后APISQ的面35平方厘米，那PB=x,BQ=2x,根据三角形面公

式就可以求出x的