非线性系统的李导数运算

第二章李导数李括号运算与分布为了尽快的涉及非线性系统的几何理论，我们将以较短的篇幅介绍李导数的概念与李括号运算。2.1向量场若f(x)是n维函数向量，即f(x，…,x)TOC\o"1-5"\h\z11 nf(X,...,x)2 1 nf(x,...,x)n1 n它的每一^分量f(x)都是变量x二(x,....,x)T的函数。从几何观点i 1n看，即是对状态空间中每一个点(对应一个状态)对应一个确定的向量即映射f:Rn―>Rn。即可以想象从每一个点x“发射”出一个向量，因而从整体上看形成一个由向量构成的场。2.2李导数2.2李导数给定一个光滑的标量函数h(x)和一个向量场f(x)，则可以定义标量函数沿向量场的导数称为李导数,或称为h对f的李导数。它是一个新的标量函数记为Lh。f设h(x):Rn >R为一光滑标量函数；f(x):Rn——>Rn为Rn上的一个光滑的向量场；g(x):Rn——>Rn为Rn上的另一个光滑的向量场；Lh(x)-挈.f(x)-(警,霁，…,型).f(x)TOC\o"1-5"\h\zf ox ox ox ox1 2 n—dh(x).f(x)— 或记为Vh(x).f(x)。ox ii—1 i同理有：Lh(x)=Vh(x)-g(x)=dh(x)-g(x)—工°h(x).g(x)=...g dx ii—1 i多重李导数可以递归地定义为：

LLh(x)=L(Lh(x))=色土竺”.g(x)gf gfLkh(x)二L(L-1LLh(x)=L(Lh(x))=色土竺”.g(x)gf gfdxd(Lkh(x))LLkh(x)=L(Lkh(x))= f •g(x)gf gf dx又定义：Lh(x)=h(x)；同理：Loh(x)=h(x)fg上标”0”意味着不求导，因为Lh(x)=L(Loh(x))适合递归式子。李括号运算若f(x)与g(x)为Rn上的两个向量场,两同维的向量f(x),g(x)的李括号运算定义为：[f，g](x)占.f-f.g=Vg.f-Vf.gdx dx或记为adg，它是一^新的向量场。dg=dxdgi

ddg=dxdgi

dx

埜

dx1dgi

dx

dg2

dx2dxndgdxndgndx2dg ndx1同理可知f也是一个nxn的矩阵。dxJacobian阵。李括号运算也可以多次重复进行，例如：dgndxnnxn矩卩车它们分别称为流形映射到g和f的[f,[f,g]],...,[f[f,...[f,g]]]或ad(adg),...,ad(ad...(adg))也可采用递归记法：ff ff fadkg(x)=[f,adk-1g](x) k>1

当k=1时adg(x)=[f,ad0g(x)](x)=[f,g](x)ff因而可以定义： adog(x)=g(x)李括号运算具有下列性质在R域上是双线性的，即若f,f,g,g是向量场，且r,r是实数，则121212有: [rf+rf,g]=r[f,g]+r[f,g]2222[f,rg+rg]=r[f,g]+r[f,g]2222是斜可交换的,即:[f，g]=-[g，f]⑶满足Jacobian恒等式，即若f,g,p是向量场，则[f，[g，p]]+[g，[p，f]]+[p，[f，g]]=0协向量场的微分运算对于一个向量场f,常常采用与其对偶的协向量场①，两者都定义在Rn的开集V上，但f是列向量场，而3是行向量场，即①(x)=[①(x),①(x),...,①(x)]。它是Rn空间的对偶空间，记为(Rn)*。2 n定义一种新的运算，称为协向量场3沿向量场f的李导数，即(T'TQ3TQxL①(x)=d：®,f)=[—f +3(x)Q3TQxQx其中上标"T"表示转置。以上三种运算可以统一起来统称为李导数，只是：Lh(x)是指光滑标量函数沿向量场的李导数，得到的仍是一个标量f函数。adg(x)是光滑的向量场沿向量场的李导数，得到的是一个新的向f量场。L3(x)是协向量场沿向量场的李导数，得到的是一个新的协向量场。这三种李导数有下列关系：

L®g；'=：：L畀，g-；+®，[f，g]；其中f,g表示向量场；3表示协向量场；表示内积。2.6运算法则以上三种李导数运算,经过简单的推导，可以得到下列运算规则:(1)如果f是一^向量场，a,九为实值函数，则L九(x)=(L九(x))a(x)若f,g是向量场，a,卩是实值函数，则[af,Pg](x)=a(x)卩(x)[f,g](x)+(L卩(x))a(x)g(x)-(La(x))卩(x)f(x)fg若f,g是向量场，九是实值函数，则L 九(x)二LL九(x)-LL九(x)[f,g] fg gf⑷若f是向量场，3是协向量场，a,卩是实值函数，.则LafLaf+(LP(x))a(x)3(x)若f是向量场，九是实值函数，则Ld九(x)=dL九(x)

ff(5)若f,g是向量场,3是协向量场，则L g：(x)=(L^3(x),g(x).：+：：3(x),[f,g](x)；：此式即上述已提到的三种李导数之间的关系。2.7分布(Distributions)(1)分布的意义定义在Rn开集U上的光滑向量场f可以直观地看作是一种光滑映射，即对于U上每一点x赋以n维光滑向量f(x)。现在假设定义在同样的开集U上有d个光滑的向量场f1，…,fd，并且注意到在U中任意给定的点x,向量f](x)，…,fd(x)张成了一个向量空间，该向量空间是f(x)内被定义的那个向量空间(即Rn)的子空间。若f(x)，…,尢(x)是光滑的，则对开集UGRn上的每一点x来说，1d子空间由某些光滑的向量场来张成，于是称它为光滑分布。所以分布是在某种意义下的子空间的集合，也是向量场的集合，记为△=spanf],…，fd}要注意△记分布整体，而记A(x)记△在x点上的“值”(即某一个子空间)从分布是一个向量空间，一个Rn的子空间的观点出发，则可列出分布的一些特性。(2)分布的一些特性：(I)如果A】和A2是分布，则A】+A2也是分布，称为分布的和，即若 A1(x)=spanf】(x),…，fd(x)}A(x)=span(g1(x),...,ge(x)}当x指定时，上两式均表示子空间。因此(A]+A2)()=spanf(x…，fd[x),g(x), ge[x)}也表示某子空间。故A=A1+A2二spanif】，…,f,g,…,g}d】e同理若A1和A2是分布，则a1nA2也是分布，称为分布的交，即由下式确定(a1na2)Q=a(x)na2[x)包容：若对所有x,有A](x)二A2(x),记为A1=A2称为A1包容A2。所以若对所有x,f(x)gA(x),则称向量场f属于分布A，记feA。若一个矩阵F，它具有n行，每一行的各项均是x的光滑函数,则它的每一列就可看成是光滑的向量场。这种矩阵就可表示成由它的列张成的光滑分布。其在每一点x上的“值”就是矩阵F在x点上的“象”,即A(x)=Im(F(x))分布在点x处的维数就是A(x)子空间的维数，显然若分布被看成

是某矩阵F的列所张成的子空间的集合，则分布在点x处的维数就是矩阵F(x)的秩。若一个分布它在U中任何x上的维数不变，即dim(A(x))=const ， xeU则称分布是非奇异的，否则称变维分布。若在某点xo处及其xo的邻域Uo上分布是非奇异的，则称x0为正则点，否则称奇异点两个光滑分布的和仍是光滑分布，而两个光滑分布的交不一定是光滑的。可由反例说明：Ai=span|ij A2=span(A{AA2)(r)= 若xx丰0所以(A]PlA2)(x)=A1(x)=A2(x)=spanl卜,若xx=0所以A与A的交是不光滑的，因为不可能在R2上找到一个光滑的向量场，12它除了x=0的线上不为零之外，其余各处均为零。1(3)对合分布(I)定义：若T和t是属于分布A的任意两个向量场，且由t和t1212构成的李括号It,t］所得到的向量场仍然属于分布A，则这样的分布12tt]eAtt]eA12即：当且仅当teA,teA=12称△为对合分布。(II)判别对合分布的方法：考虑非奇异分布A，则A中的任意两个向量场t,teA均可12表示成T1(x)=fc.(x)f.(x).=1爲(x)=fdi(x)f.(x)i=1其中A(x)=spa则可容易推导得：L,t Xx)eA 等价于[i, fjlxi=1其中A(x)=spa则可容易推导得：L,t Xx)eA 等价于[i, fjlx)eA (对所有1<i,j<d)ij所以有：当且仅当S f.h)eA(对所有1<i,j<d)分布A是对合的。因此实际上只要证明对非奇异分布ranfd(x)]=rankIf3 fd(¥)[/,/•Kx)]对所有x和所有1<i,j<d成立(111)一些推论①一维分布总是对合分布：因为A=spanf},f是非零向量场则由因而f，f]=f-f -f=0dx dxranf}=1rankf,f,f»=rankf,o}=1rankf}=rank{f,f,f»=1故结论得证②二维分布不一定是对合的考虑在R3空间中的二维分布A=s〃af丿}「2x2-Tf1(x)=1, f2(x)=00_x2_1f-f2由于S，f2]唱-0=00000001100=0_x2_1000所以有rankf1,所以有rankf1,f2)=2rankf1?f2f訂2»=rank2x2101000=3X21_因而该分布不是对合的。③两个对合分布的和不一定是对合的；(可由上面的例子说明，因为一维分布是对合的，但两个一维分布的和不一定对合)，但两个对合分布的交仍是对合分布。(IV)对偶分布(协分布)在很多情况下，为了应用的方便起见，常常采用所谓对偶分布或协分布。上面提到分布A是用列向量场来定义的。而对偶分布是用其对偶物行向量场来定义的，所以对于某一给定的点X，协分布是对偶空间的一个子空间。若叫,W2,…,叫表示一组行向量场(即协向量场)则协分布表示为Q=spab，...,叫}对于U中给定的点X，协分布是中的一个子空间，记为Q(x)=spa )•…,®d(x)}所以如果给定一个分布A，则对于U中的每一个点X，有A(x)，它是Rn的子空间；aC)的所有零化向量的集合构成了对偶空间特定的子空间，即它是A。)的正交补，是Qn)的子空间。即可用式子表示成A丄(x)={『wQn):V①*,U＞二0,对所有uGA(x)}A丄(x)也称为△(X)的零化子。式中V①*,U＞表示行向量3*与列向量V的内积。类似的，若给定一个协分布Q,则协分布Q的正交补Q丄可表示成0丄G)={VGRn:V①*,u＞二0,对所有W*GQ(X)}

要注意的是由此构成的协分布可能失掉光滑性，即原分布是光滑的，而其正交补不一定保证也是光滑的。2.8Frobenius定理考虑偏微分方程CGRn)即若已知即若已知span^dk、,dk2…,dk”_d其中： 1<j<n-d九.(x)是需要求解的未知函数jf1(x)，…,fd(x)是已知向量场所以竺®是未知函数的偏导数，是一个行向量。现在要问此偏微分方程是否有解。以上问题如果用几何的观点来叙述，则表示如下：一^非奇异的d维分布A:A=spaf],…,fd}定义在Rn的开集U上，对于U上的每一点x0及其邻域U0，f/x),…,乙6)是定义在U0上的光滑向量场。如果在U0上定义的(n-d)个实光滑函数，人G)九…九d(x)1 2 n-d能使span^dk,d九2…,d、_d}=A丄，那末就称这个分布A是完全可积的。或者具体一点说就是矩阵FG)的列所张成的分布是完全可积的。现在的问题是在什么条件下分布A是完全可积的？Frobenius定理：一个分布当且仅当它是对合的，则是完全可积的。该定理的证明应分两部分，即需证明条件的必要性与充分性。必要性：即若这样的解k.存在，(即A是完全可积的)来推导出A是对合的。nd则有色 f.(x)=：. dkfl =0xgU0,1<j<n—d,1<i<d

采用李导数记号即：l右.(x]=o再由李括号运算法则可得：L[fi,f叫C)=LfLfk.(X)_ 勺x]=0由于上式中的两项为零。故有fk]■=L[fi,f)=0_碍,fk甲!「碍,fk必2。)d九]d2卫fi,f几—dC)d九dn—d{d{dXl?d九2…,d九 }=A丄1 2 n-d因为已知span所以所有[f,fk]一定是A中的一个向量，根据对合分布的判别法则可知A是对合的。充分性：充分性可以从构造上来证明，即若条件满足,偏微分方程的n-d个独立函数是如何一定能被构造出来的。因为分布A=spanif[，…,fd}对应的子空间A(x)是非奇异的，且其维数为d，于是总可以找到另外的同样定义在开集U0上的向量场集合f，…f，它是原来A(x)向量场集合的补集，即在每一点xGU0,d+1 n有span{f(x),…f(x),f(x),…f(x)}=Rn1 d d+1 n并假设向量场中的函数均是光滑的，再令0f(x0)是常微分方程tx=f(x)在x(0)=x0初始条件下的解。即x(t)=0f(x0)，它是x和t的tp光滑函数，换句话说，它满足一0f(x)=f(0f(x))，0f(x)=x。0f(x)ptt t 0 t可以称为流函数。因此，对任意给定的x0，以及x0的领域U0上的任意x，总可以找到充分小的t，使下列映射关系成立，0f:xT0f(x)它是一个局部微分同胚映射〔所以其逆映射也存在，即0f】】=0f。因t —t此对于充分小的t，S,有0f(x)=0f(0f(x))成立。这样偏微分方程的t+s ts解可以用向量场f,…,f的流函数的恰当组合来构成，这些流函数是1n

TOC\o"1-5"\h\z0f1(x),f2(x),・・・，0f(x)。现在来考虑映射，F:UTRn(z，…,z)t1 t2 tn £ 1_