《函数极限通论》课件

《函数极限通论》ppt课件目录contents函数极限的基本概念函数极限的运算性质函数极限的应用无穷小量与无穷大量函数极限的求解方法函数极限的深入理解01函数极限的基本概念函数极限的直观描述函数在某点的极限是指当自变量趋近于该点时，函数值趋近于一个确定的常数。函数极限的数学定义对于函数$f(x)$，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$varepsilon$，都存在相应的正数$delta$，使得当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-A|<varepsilon$，则称$A$为函数$f(x)$在点$x_0$处的极限。函数极限的等价描述函数在某点的极限也可以通过描述函数值与常数之间的“距离”来定义。函数极限的定义123函数在某点的极限是唯一的，即对于任意给定的正数$varepsilon$和$delta$，都存在唯一的常数$A$满足上述条件。唯一性函数在某点的极限存在时，该点的函数值必定是有界的。有界性对于任意给定的正数$varepsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)|<varepsilon$。局部有界性函数极限的性质函数极限的存在性如果函数在某点的左侧和右侧分别存在极限，则该点处的函数极限也存在。夹逼定理如果存在两个函数$g(x)$和$h(x)$，满足当$xtox_0$时，有$g(x)leqf(x)leqh(x)$，且$g(x)$和$h(x)$都以同一个常数为其极限，则函数$f(x)$在该点处也存在极限。连续函数的性质连续函数在其定义域内的每一点都存在极限，并且其极限值就是该点的函数值。单侧极限存在定理02函数极限的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的极限运算性质。极限的四则运算法则通过具体函数例子，演示如何运用极限的四则运算法则进行计算。应用举例强调在运用极限的四则运算法则时，需要注意的前提条件，如函数的极限必须存在等。注意事项极限的四则运算复合函数的极限定义介绍复合函数的极限概念，以及如何对复合函数求极限。应用举例通过具体复合函数的例子，演示如何运用复合函数极限的运算法则进行计算。复合函数极限的运算法则阐述复合函数极限的运算法则，包括链式法则、乘积法则等。极限的复合运算连续性的定义解释函数在某点连续的概念，以及连续性的性质。连续性与极限的关系阐述连续性与极限之间的联系，说明函数在某点连续必须满足的条件。应用举例通过具体连续函数的例子，演示如何判断函数的连续性。极限的连续性03函数极限的应用通过函数极限，我们可以计算某些表达式的极限值，例如计算数列的极限、函数的极限等。在解决一些实际问题时，如求瞬时速度、曲线下面积等，可以利用函数极限来逼近求解。利用函数极限求值解决实际问题计算极限值利用函数极限证明不等式利用极限的保序性通过比较函数在某点的极限值，可以证明某些不等式。利用极限的连续性利用函数在某点的极限值，可以证明某些连续性不等式。通过研究函数在某点的极限值，可以判断函数的单调性。研究函数的单调性通过研究函数在某点的极限值，可以判断函数的连续性。研究函数的连续性利用函数极限研究函数的性质04无穷小量与无穷大量无穷小量是趋于0的变量在自变量的某个变化过程中，无论这个变化过程多么漫长，无穷小量都始终保持小于任何正数，并且趋于0。无穷小量具有“消失性”在自变量的变化过程中，无穷小量可以忽略不计，其值可以视为0。无穷小量具有“等价性”在自变量的同一变化过程中，任何两个无穷小量都等价，即它们趋于0的速度是一样的。010203无穷小量的定义与性质无无穷大量具有“增长性”在自变量的变化过程中，无穷大量可以无限增长，其值可以视为无穷大。无穷大量具有“等价性”在自变量的同一变化过程中，任何两个无穷大量都等价，即它们趋于无穷大的速度是一样的。无穷大量是趋于无穷大的变量在自变量的某个变化过程中，无论这个变化过程多么漫长，无穷大量都始终保持大于任何正数，并且趋于无穷大。无穷大量的定义与性质无穷小量与无穷大量是互为倒数的关系在自变量的同一变化过程中，如果一个变量是无穷小量，那么它的倒数就是无穷大量；反之亦然。无穷小量与无穷大量具有“对立统一性”无穷小量与无穷大量在自变量的同一变化过程中既相互对立又相互依存，它们的存在和变化是相互制约的。无穷小量与无穷大量的关系05函数极限的求解方法总结词直接代入法是求解函数极限的一种基本方法，适用于一些简单的极限问题。详细描述直接代入法是将自变量代入函数表达式中，计算出函数值，然后观察当自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势，从而得出极限。这种方法适用于一些简单的极限问题，如常数函数的极限、幂函数的极限等。直接代入法VS夹逼法是通过比较函数值与两个夹逼函数的极限，来确定原函数的极限。详细描述夹逼法是通过构造两个夹逼函数，使得原函数位于这两个夹逼函数之间，并且知道这两个夹逼函数的极限。然后根据夹逼定理，原函数的极限等于这两个夹逼函数的极限中的较小值或较大值。这种方法适用于一些较为复杂的极限问题，如分式函数的极限、三角函数的极限等。总结词夹逼法总结词单调有界定理法是通过证明函数单调有界，然后利用单调有界定理求出函数的极限。要点一要点二详细描述单调有界定理法是通过证明函数在某区间内单调递增或递减，并且有上界或下界，然后利用单调有界定理求出函数的极限。这种方法适用于一些较为复杂的极限问题，如复合函数的极限、幂级数的极限等。在使用单调有界定理法时，需要注意证明函数单调有界的条件，以及应用单调有界定理的步骤和注意事项。单调有界定理法06函数极限的深入理解通过几何图形直观理解函数在某点的极限状态。函数极限的几何意义是指通过绘制函数的图形，观察函数值在某点的变化趋势，从而理解函数在该点的极限状态。在图形上，函数极限表现为函数值趋近于某一点或无穷大时的变化趋势。总结词详细描述函数极限的几何意义总结词将函数极限与物理现象进行类比，加深理解。详细描述函数极限的物理意义是指将函数极限的概念与实际物理现象进行类比，通过物理现象来解释函数极限的概念。例如，可以将函数极限与物体运动的速度和加速度的变化趋势进行类比，加深对函数极限的理解。函数极限的物理意义函数极限在数学分析中的