第12章-二叉树模型

第八章二叉树模型单步二叉树模型与无套利定价风险中性定价两步二叉树模型及其推广卖出期权的定价美式期权的定价Deltau和d的选取支付股息的股票期权的定价2一个简单的二叉树模型当前的股票价格为$203个月后股票价格变为$22或$18StockPrice=$18StockPrice=$22Stockprice=$203StockPrice=$18OptionPrice=$0StockPrice=$22OptionPrice=$1Stockprice=$20OptionPrice=?买入期权一份买入期权在3个月后的执行价为$21.

4考虑如下的组合: D

份股票的多头； 1份买入期权的空头

当22D–1=18D，即D=0.25，组合是无风险的。22D–118D构建一个无风险组合5组合的估值

(假定无风险利率为12%)无风险的组合是: 0.25份股票的多头；

1份买入期权的空头这一组合在三个月之后的价值为：

22*0.25–1=4.50组合的现值为：

4.5e–0.12*0.25=4.36706期权的定价组合是：

0.25份股票的多头

1份买入期权的空头

总价值为4.367股票的价值为

5.000(=0.25*20)因此，期权的价值为

0.633(=5.000–4.367)7推广

假定期权的期限为T，且该期权的价值依赖于股票的价格。S0u

ƒuS0d

ƒdS0ƒ8推广（续）考虑一个包含了D份股票多头和1份期权空头的组合。

组合是无风险的，当S0uD

–ƒu

=S0dD

–ƒd

，也就是S0uD

–ƒuS0dD

–ƒd9推广（续）组合在T时刻的价值为：S0uD

–ƒu组合的现值为：(S0uD–ƒu)e–rT当前组合现值的另一个表述为：S0D–f因此有：

ƒ=S0D–(S0uD

–ƒu

)e–rT

10推广（续）将D带入上述方程，可得

ƒ=[pƒu+(1–p)ƒd]e–rT

其中，

11将p看成一个概率我们很自然的就会将p和1-p

看成是向上变动和向下变动的概率。但是，需要注意的是，在上一个公式中，我们并没有涉及到股票价格上涨或下跌的概率。例如，当股票价格上涨的概率为0.5和当股票价格上涨的概率为0.9时，我们得到的欧式期权价格是一致的。我们很自然的会认为，当股票价格上涨的概率增大时，期权的价格应当上升；反之，应当下降。造成注意现象的原因是，我们并不是在一个绝对的条件下对期权进行定价，我们是根据股票价格来计算期权的价格的。而未来股票的涨跌概率实际上已经包括在股票价格之中了。因而，我们不需要再次考虑股票的价格了。

将p看成一个概率因此，期权的价值等于风险中性世界里的预期收益按照无风险利率进行贴现的值。S0u

ƒuS0d

ƒdS0ƒp(1

–p)13风险中性定价当股价上升或下降的概率分别为p和1-p时，T时刻预期的股价为S0erT。这表明股票价格获得了一个无风险收益。

E(ST)=pS0u+(1-p)S0dE(ST)=pS0(u-d)+S0dE(ST)=S0erT二叉树的结果表明，在为期权定价时，我们可以假定预期收益是无风险的，且以无风险利率进行贴现。这就是所谓的风险中性定价。14再论二叉树模型的例子

因为p是假定股票能够获得一个无风险收益时的概率，因此，我们有

20e0.12*0.25=22p+18(1–p)

解之得，

p=0.6523此外，我们还可以使用如下公式，S0u=22

ƒu=1S0d=18

ƒd=0S0

ƒp(1

–p)15使用风险中性定价方法给期权定价

期权的价值为：

e–0.12*0.25(0.6523*1+0.3477*0)

=0.633S0u=22

ƒu=1S0d=18

ƒd=0S0ƒ0.65230.347716股票预期收益的无关性当我们为依赖于某一资产的期权定价时，真实世界上升和下降的概率并不重要。例如，假设现实世界里股票的期望收益为16%，P*为现实世界股票价格上涨的概率。那么，

22p*+18(1-p*)=20e0.16*3/12p*=0.7041现实世界里，期权的期望收益为，

p*1+(1-p*)*0=0.7041显然，这一结果与无套利定价方法得出的结果相悖。17两步二叉树

每一步的步长为3个月K=21,r=12%20221824.219.816.218买入期权的定价

B结点的价值为

e–0.12´0.25(0.6523´3.2+0.3477´0)=2.0257A结点的价值为

e–0.12´0.25(0.6523´2.0257+0.3477´0)=1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF19一个卖出期权的例子K=52,步长

=1yrr=5%

504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF20美式期权的定价

美式期权的定价过程是从树的末尾出发以倒推的形式推算到树的起点，在树的每一个节点都需要检验提前形式期权是否为最优。在树的最后节点上，期权的价格等于欧式期权的价格。505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF21DeltaDelta(D)为期权价格的变化同股票价格变化之间的比率，它是当我们卖出一份期权时，为构造无风险组合而需要持有的标的股票数量。节点和节点之间的D并不相同。选择u和d在实际中，为了描述股票价格异动而构造的二叉树，我们会选择u和d来使树形与股票价格的波动率相吻合。为了说明这一问题，我们假设股票（在现实世界中）的期望收益为，波动率为。二叉树上移动一步的步长为DtS0uS0dS0P*(1

–p*)S0uS0dS0p(1

–p)选择u和d在现实世界中，第一步期末股票价格的期望是。在二叉树上，相应的价格为p*S0u+(1-p*)S0d，为了使股票价格的收益期望值与二叉树的参数一致，则上式必须等于，即在二叉树上，股票收益的协方差应当为p*u2+(1-p*)d2-[p*u+(1-p)*d]2为了使股票价格的波动率与二叉树的参数一致，必须是上式等于，因此有24选择u和d

Cox,Ros