统计学公式及例题

统计学公式及例题汇报人：AA2024-01-25目录CONTENTS描述统计学基础概率论基础推断统计学基础方差分析回归分析时间序列分析01描述统计学基础CHAPTER中位数将一组数据从小到大排序后，位于中间位置的数。若数据量为奇数，则中位数是中间那个数；若为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。众数一组数据中出现次数最多的数。集中趋势度量01一组数据中最大值与最小值的差，公式为：$R=x_{max}-x_{min}$极差02各数值与其平均数差值的平方和的平均数，公式为：$s^2=frac{sum(x_i-bar{x})^2}{n-1}$方差03方差的平方根，公式为：$s=sqrt{frac{sum(x_i-bar{x})^2}{n-1}}$标准差离散程度度量偏态与峰态偏态系数描述数据分布偏态程度和方向的统计量。公式为：$SK=frac{nsum(x_i-bar{x})^3}{(n-1)(n-2)s^3}$峰态系数描述数据分布峰态程度和形状的统计量。公式为：$K=frac{n(n+1)sum(x_i-bar{x})^4}{(n-1)(n-2)(n-3)s^4}-frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}$02概率论基础CHAPTER123在一定条件下，并不总是发生的结果叫做事件。事件分为必然事件、不可能事件和随机事件。事件表示某一事件发生的可能性大小的数值叫做该事件的概率。概率的取值范围在0和1之间，包括0和1。概率如果每个样本点发生的可能性相等，则事件A发生的概率等于事件A包含的样本点数与样本空间包含的样本点数之比。古典概型事件与概率条件概率与独立性在事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，记作P(A|B)。条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。事件的独立性如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。即P(AB)=P(A)P(B)。乘法公式对于任意两个事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。如果事件A和B相互独立，则乘法公式简化为P(AB)=P(A)P(B)。条件概率随机变量随机试验的每一个可能结果可以用一个实数来表示，这个实数就叫做随机变量。随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,...,xn，且取各个值的概率分别为p1,p2,...,pn，则称列表{X=xi,P=pi,i=1,2,...,n}为离散型随机变量X的分布律或概率分布。连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x，有F(x)=∫f(t)dt（积分下限为-∞，上限为x），则称f(x)为X的概率密度函数或密度函数。随机变量及其分布03推断统计学基础CHAPTER抽样分布的概念抽样分布是指从总体中随机抽取一定数量的样本，由这些样本的统计量所形成的分布。常见的抽样分布有t分布、F分布和卡方分布。F分布用于比较两个总体方差是否相等的检验，是两个卡方分布的比值。F分布的形状与两个自由度有关。卡方分布卡方分布是多个独立同分布的标准正态随机变量的平方和的分布。在假设检验中，卡方检验常用于检验总体分布是否与理论分布一致。t分布当总体分布为正态分布，但总体标准差未知时，样本均值经标准化处理后的分布服从t分布。t分布的形状与自由度有关，自由度越大，t分布越接近正态分布。抽样分布参数估计评价点估计量的标准有无偏性、有效性和一致性。评价区间估计的标准有置信水平和区间宽度。评价标准用样本统计量来估计总体参数的方法。常见的点估计有样本均值、样本比例和样本方差等。点估计根据样本统计量的抽样分布，构造一个包含总体参数的置信区间，并给出该区间包含总体参数的概率。置信区间由置信水平和样本数据共同确定。区间估计基本思想假设检验的基本思想是小概率原理，即认为在一次试验中，小概率事件是不可能发生的。如果发生了小概率事件，则拒绝原假设。步骤假设检验的步骤包括建立假设、构造检验统计量、确定拒绝域、计算p值和作出决策。两类错误在假设检验中，可能会犯两类错误，即第一类错误（弃真）和第二类错误（取伪）。需要合理控制两类错误的概率，以保证检验结果的可靠性。010203假设检验04方差分析CHAPTER03MSw组内均方01公式F=MSb/MSw02MSb组间均方单因素方差分析步骤2.构造检验统计量1.提出假设单因素方差分析3.作出统计决策例题：某公司想了解不同销售策略对销售额的影响，将销售人员随机分为4组，分别采用不同的策略。收集到数据后，进行单因素方差分析。单因素方差分析公式F=MSb1/MSw1和F=MSb2/MSw2MSb1,MSb2不同因素的组间均方MSw1,MSw2不同因素的组内均方双因素方差分析双因素方差分析0102031.提出假设2.构造检验统计量步骤3.作出统计决策例题：研究不同品种和不同施肥量对农作物产量的影响。将试验田分为4个区组，每个区组内随机排列4个品种和3个施肥量。收集到数据后，进行双因素方差分析。双因素方差分析032.Tukey法（TukeyHSD法）01方法021.LSD法（最小显著差法）多重比较方法多重比较方法多重比较方法01步骤021.选择合适的多重比较方法2.计算各处理间的差异显著性03多重比较方法3.作出统计决策例题：对5种不同品牌的手机进行用户满意度调查，收集到数据后，进行多重比较，了解各品牌之间的差异显著性。05回归分析CHAPTER公式Y=a+bXY因变量X自变量一元线性回归a截距b斜率最小二乘法求解通过最小化误差平方和来估计参数a和b的值。假设检验检验自变量X和因变量Y之间是否存在显著的线性关系。一元线性回归公式：Y=a+b1X1+b2X2+...+bnXn多元线性回归多元线性回归因变量Y自变量X1,X2,...,Xna截距b1,b2,...,bn斜率最小二乘法求解通过最小化误差平方和来估计参数a,b1,b2,...,bn的值。假设检验检验多个自变量与因变量Y之间是否存在显著的线性关系。多元线性回归非线性模型常见非线性模型求解方法假设检验非线性回归简介二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。通常使用迭代算法（如牛顿法、梯度下降法等）来求解非线性回归模型的参数。检验非线性模型是否显著地拟合数据，以及模型的参数是否显著。当因变量与自变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线、指数、对数等复杂形态时，需要使用非线性模型进行拟合。06时间序列分析CHAPTER时间序列定义按时间顺序排列的一组数据，反映现象随时间变化的发展过程。要点一要点二时间序列特点动态性、连续性、规律性、随机性。时间序列概念及特点平稳时间序列定义统计特性不随时间推移而变化的序列。用过去时间点的数据预测未来时间点的数据，公式为Xt=c+∑(φi*Xt-i)+εt。用过去时间点的随机干扰项的线性组合来表达当前时间点的预测值，公式为Xt=μ+εt+∑(θi*εt-i)。结合自回归和移动平均模型的特点，公式为Xt=c+∑(φi*Xt-i)+εt+∑(θi*εt-i)。自回归模型（AR）移动平均模型（MA）自回归移动平均模型（ARMA）平稳时间序列模型非平稳时间序列定义统计特性随时间推移而变化的序列。差分自回归移动平均模型（ARIMA）对非平稳时