高一数学集合间的基本关系1

1．1.2集合间的根本关系1．集合的表示方法有

、．2．元素与集合间的关系用符号

或

表示．3．两个集合相等是指．列举法描述法∈∉构成集合的元素相同概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中

元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.A

B(或B____A)1．子集、真子集、集合相等的概念任意一个⊆⊇真子集如果集合A⊆B，但存在元素

，则称集合A是集合B的真子集.A

B(或B

A)集合相等如果

，那么就说集合A与集合B相等.A＝Bx∈B且x∉AA⊆B且B⊆A2.空集(1)定义：

的集合，叫做空集．(2)用符号表示为：

.(3)规定：空集是任何集合的．3．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的_______，即

.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么

.不含任何元素子集子集A⊆AA⊆CØ1．能否把“A⊆B〞理解成“A是B中局部元素组成的集合〞？【提示】不能．这是因为当A＝Ø时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以上述理解是错误的．2．包含关系{a}⊆A与附属关系a∈A有什么区别？【提示】两者的区别是(1)从符号上看，“⊆〞表示的是两个集合之间的关系，“∈〞表示的是元素与集合之间的关系；(2){a}是有一个元素的集合，而a通常表示一个元素；(3){a}⊆A表示{a}是A的一个子集，而a∈A表示a是A的一个元素．【答案】－1(1)两个集合相等，那么所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与相矛盾的情形．(2)假设两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，假设均一致，那么两集合相等．1.设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，假设A＝B，求a的值．写出满足{a，b}A⊆{a，b，c，d}的所有集合A.【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①集合{a，b}，{a，b，c，d}；②集合A满足{a，b}A⊆{a，b，c，d}；③求集合A.解答此题可根据子集、真子集的概念求解．【解析】由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键．(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象．(3)集合中含有n个元素，那么此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意空集Ø和集合本身易漏掉．2.假设{a，b}⊆A{a，b，c，d}，写出所有集合A.【解析】由题意知A是集合{a，b，c，d}的真子集又A包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，最多含有3个元素．故满足条件的集合有{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①集合A是一个定集合，可以在数轴上标出其取值范围；②集合B是一个动集合，其范围随参数m的变化而变化．解答此题可先求出集合A中变量x的取值范围，此时需注意对参数m进行讨论，然后借助于数轴分析A⊆B成立的条件．(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝〞用实心点表示，不含“＝〞用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集〞这一“陷阱〞，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．3.本例中，假设将“B⊆A〞改为“A⊆B〞，其他条件不变，那么实数m的取值范围是什么？【解析】显然A≠Ø，又A⊆B，∴B≠Ø，如下图，1．子集、空集的概念的理解(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“局部元素〞所组成的集合。如A＝Ø，那么集合A不含B中的任何元素．(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}．(3){0}与Ø的区别：{0}是含有一个元素的集合，Ø是不含任何元素的集合．因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø＝{0}，Ø∈{0}．3．两集合相等的证明假设A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；假设A、B是无限集时，欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可．【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及BA，忽略了集合为Ø的可能，而漏掉解．因此题目假设出现包含关系时，应首先想到有没有出现Ø的可能．聚星平台vcg49wfv有脱缰呢！〞耿英说：“你们看，这河水看起来也多像一群野马哇，不断地翻滚咆哮着！俺可知道了，为什么爷爷和奶奶叫咱们站远点儿瞧。咱们离得这么远呢，这看得久了，俺都有些腿发软了呢！〞耿老爹指着河面对耿正兄妹三人说：“你们仔细看看，这黄河是不是比堤岸下面的地面高出一些啊？〞三人仔细观看一番，都说好似是这么回事儿呢！耿正奇怪地说：“怎么会是这样呢？在咱们老家那一带，凡有水流过，地面都会被冲成沟渠的哇！〞耿英也说：“是哇，这河水应该比地面低一些才对哩！〞耿直自言自语地念叨：“这是为什么啊？〞看到三个娃儿都在用心琢磨，耿老爹很快乐，有意进一步启发他们，就又问：“那你们说，这水为什么不清澈呢？〞耿正说：“肯定是里边有泥沙啦！〞耿英也说：“所以俺说洗不了衣裳嘛！〞耿直撇撇嘴说：“这个连俺都知道呢！〞耿老爹笑了，说：“如果水里边泥沙太多呢？〞兄妹三人恍然大悟！耿正脱口而出：“就会在水下形成很多淤泥！〞耿英接着哥哥的话说：“淤泥越积越多，河道就抬高了，河水自然也就高了！〞耿直眼珠子滴溜溜一转，大声说：“那河堤也得越垒越高才能拦住河水哇！〞耿老爹满意地笑了，说：“所以啊，人们历来就将黄河称为悬河呢。说的就是，这是一条悬在地面之上的大河啊！想想看，滔滔的河水在高处流，而人是住在低处的。这样的一条大河一旦决了堤，那要不像是一群脱缰的野马才怪呢！〞兄妹三人听了，吃惊地直倒吸凉气。远远地望到在滔滔波浪中漂过来一个瓜皮小船儿，船头船尾各站着一个人在用力地撑篙摇橹。再仔细看时，发现船上还坐着两个人，小小的船舱里还放了一些什么东西。一会儿，小船儿飘荡过来了，在距离耿家父子四人百步之外靠西的一个简易小渡口上，站在船尾的人用力撑住小船。船上坐着的两个人特别麻利地跳上了岸，船头摇橹的人弯腰拿起船舱里的东西递给他们。然后，瓜皮小船儿就掉转船头向南岸飘荡而去了。再看那两个上了岸的人，他们已经背起东西快步往西走去了。远远望去，那里好似也有一个小村庄呢。耿直吃惊地瞪大眼睛说：“俺的娘耶，他们怎么这么大的胆子哇，就不怕掉到水里！这么大的水，还翻滚着呢。这要掉进去了，肯定就没命了哇！〞耿老爹说：“住在