高考数学总复习 6-5 课时跟踪练习 文（含解析）

课时知能训练一、选择题1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－1B．4n－3C．n2D．3n－12．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值eq\f(\r(3),2)a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值()A.eq\f(\r(6),3)aB.eq\f(\r(6),4)aC.eq\f(\r(3),3)aD.eq\f(\r(3),4)a3．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图6－5－1那么下列图形中，图6－5－2可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(2)(4)D．(1)(4)4．在△ABC中，若AB⊥AC，AC＝b，AB＝a，则△ABC的外接圆半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，BC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝()A.eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)B.eq\f(\r(a2＋b2＋c2),3)C.eq\f(\r(3,a3＋b3＋c3),2)D.eq\f(\r(3,a3＋b3＋c3),3)5．(2012·南昌模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图6－5－3他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378二、填空题6．(2012·肇庆模拟)观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．7．把正整数1,2,3,4,5,6…按某种规律填入下表.261014145891213…371115按照这种规律连续填写，2011出现在第________行第________列．8．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝1，则eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2010,f2009)＋eq\f(f2012,f2011)＝________.三、解答题9．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假．sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝eq\f(3,2)；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝eq\f(3,2)；sin215°＋sin275°＋sin2135°＝eq\f(3,2).10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，试求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和Sn.11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．答案及解析1．【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.【答案】C2．【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为eq\f(\r(3),4)a2，正四面体的体积为eq\f(\r(2),12)a3，则有eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝eq\f(\r(2),12)a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.【答案】A3．【解析】由题意知，A是“|”，B是大正方形，C是“—”，D是小正方形，∴A*D为小正方形中有竖线，即为(2)，A*C为“＋”，即为(4)．【答案】C4．【解析】从结构形式上看，A、D都符合类比推理的要求，但题中要求的是正确结论，所以还需要验证或证明．事实上，我们将四面体S－ABC以SA，SB，SC为三边可以补成一个长方体，四面体的外接球半径为长方体对角线长的一半，所以选A.【答案】A5．【解析】由图形的规律可知，第n个三角形数为1＋2＋3…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，第n个正方形数为n2，其中A、B、C都是正方形数，分别令它们等于eq\f(nn＋1,2)求n，知1225是三角形数．【答案】C6．【解析】由所给等式可知，等式左边为(n＋2)2－n2，等式右边是首项为8，公差为4的等差数列，故第n个等式的右边为4(n＋1)，故这个等式为(n＋2)2－n2＝4(n＋1)．【答案】(n＋2)2－n2＝4(n＋1)7．【解析】依题意知，这些数所出现的位置是以4为周期重复性地连续填入相应的位置；且从1开始的连续四个整数共填了3列．注意到2011＝4×502＋3，因此2011所填的位置与3所填的位置相对应，即应填在第三行；2011所填的位置应是第502×3＋2＝1508列，即2011出现在第3行第1508列．【答案】3,15088．【解析】∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，∴f(x＋1)＝f(x)·f(1)，即eq\f(fx＋1,fx)＝f(1)＝1.∴eq\f(f2,f1)＝eq\f(f4,f3)＝…＝eq\f(f2010,f2009)＝eq\f(f2012,f2011)＝1，∴eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2010,f2009)＋eq\f(f2012,f2011)＝1006×1＝1006.【答案】10069．【解】猜想：sin2(α－eq\f(π,3))＋sin2α＋sin2(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(3,2).证明∵左＝(sinαcoseq\f(π,3)－cosαsineq\f(π,3))2＋sin2α＋(sinαcoseq\f(π,3)＋cosαsineq\f(π,3))2＝eq\f(3,2)(sin2α＋cos2α)＝eq\f(3,2)＝右，∴待证式成立．10．【解】(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋eq\o(2,\s\do4(\f(n,2)个2))＋3＋3＋…＋eq\o(3,\s\do4(\f(n,2)个3))＝eq\f(5,2)n；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f(5,2)(n－1)＋2＝eq\f(5,2)n－eq\f(1,2).综上所述：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)nn为偶数,\f(5,2)n－\f(1,2)n为奇数)).11．【证明】如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥A