机电控制工程基础第二章

第二章控制系统的数学模型12自动控制原理课程的任务与体系结构

第一节控制系统的微分方程第二节非线性数学模型的线性化第三节拉氏变换与反变换第四节传递函数第五节传递函数的方块图3

为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。

系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

时域模型：微分方程复域(s域)模型：传递函数第二章

控制系统的数学模型4建立数学模型的方法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。(内部工作机制确定)人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。内部工作机制不了解系统模型输入输出误差5实验法解析法

合理的数学模型是指所建立的数学模型既有准确性，又有简化性。一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的动态本质又能简化分析计算的工作。除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般应尽可能采用线性定常数数学模型描述控制系统。6

第一节控制系统的微分方程

工程中的控制系统，不管它是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的、化学的，其运动规律都可以用微分方程加以描述。系统r(t)c(t)线性定常系统微分方程的一般形式不出现变量高次项和交叉项定常系统：系数是常量7非线性时变系统一、建立数学模型的一般步骤

1.根据基本的物理、化学定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程。

2.确定系统的输入与输出量，消去其余的中间量，写成标准化形式，从而求得系统输出与输入的微分方程。8二、控制系统微分方程的列写例1质量——阻尼——弹簧系统

弹簧力阻尼力输出量位移y(t)图2－1质量—阻尼—弹簧系统输入量外力f(t)9根据牛顿第二定律整理得为二阶常系数线性微分方程10

例2R——L——C电路图2－2R―L―C电路

输入电压

输出电压11消去中间变量i

可得为二阶常系数线性微分方程根据基尔霍夫定律12例3齿轮传动链图2—3齿轮传动链输入量轴I的输入转矩输出量轴I的角位移轴I、II轴I、II上总转动惯量轴I轴I、II上粘性阻尼系数轴I的轴I、II的角位移齿轮I、II齿数齿轮II对I的阻力转矩齿轮I对II的阻力转矩齿轮的传动比13各轴转矩平衡方程得得14整理得写成

折算到轴I上的总的转动惯量

折算到轴I上的总的粘性阻尼系数其中15若输出量为则方程变为16例4电枢控制式直流电动机

图2－4电枢控制式直流电动机原理图输入量电枢电压输出量电动机角速度—激磁电流为恒值—电动机产生的转矩—电枢电流—电枢回路总电感—电枢回路总电阻—电动机轴上的等效转动惯量—电动机轴上的等效粘性阻尼系数—负载转矩—电枢绕阻的反电势—电动机反电势系数—电动机的转矩系数绕阻等效电阻17电动机产生的转矩反电势安培定律楞次定律电枢回路电压平衡方程克希霍夫定律电机轴上的转矩平衡方程牛顿定律主动力矩：电动机产生的转矩粘性摩擦力矩负载转矩18整理得消去中间变量令19得：当时负载转矩电枢电压一般电枢电感较小，可以忽略不计，20总输出为角位移，上式变成21

比较以上四例可以看出，物理本质不同的系统，可以有相似的数学模型。以上几例得到的方程均为线性常系数微分方程，它们的一个重要性质是具有齐次性和叠加性。

事实上，绝对的线性元件和线性系统是不存在的，所有的元件和系统在不同程度上都存在着非线性性质。非线性系统一般不能应用叠加原理，数学上处理也比较困难。为了便于研究，对一些可以进行线性化处理的系统转化成线性系统进行分析和研究。

222．小偏差法假设系统在平衡点附近工作一元函数为输出量为输入量

第二节非线性数学模型的线性化常用的线性化方法有以下两种：1．忽略弱的非线性因素如果元件的非线性因素弱，或不在系统线性工作范围内，非线性因素可忽略。

例如:例1和例3忽略了干摩擦、齿轮传动中的间隙；例4忽略了电枢反应、涡流和磁滞的影响23图2－5某系统的非线性特性24如果函数在平衡点A（x,y）处连续可微，则可在A点附近展开成泰勒级数

由于很小，略去上式中二阶以上高阶项，得即——增量形式的线性化方程25是在点（x,y）的导数

表示当x由点移到其附近x点时切线的增量

由此可见，线性化方程是以切线的增量近似代替曲线的增量。因此，小偏差线性化的方法，从几何意义上来说，就是在工作点附近的一个小范围内，用切线来代替曲线。如果把坐标原点取在平衡点A处，系统的初始条件就等于零,即这时线性方程变成26但应该理解到，线性化的微分方程是从平衡点算起的增量方程。二元函数在系统工作点附近，也可将其展开成泰勒级数，即

其中，27略去高次项得——二元函数的线性化方程为在工作点处对的偏导数为在工作点处对的偏导数28例5通过滑阀节流口的流量公式

设滑阀的工作点为可得

流量系数滑阀面积梯度阀芯位移油液密度节流口压力降29线性化方程30注意下列几点：1）必须明确系统平衡工作点对不同的工作点，线性化的结果不同因不同工作点的切线斜率不同2）线性化是在系统平衡点附近小范围内进行3）对于某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦特性等，当它们对系统影响很小时，可忽略不计31微分方程解微分方程f(t)代数方程F(s)解代数方程L求解微分方程321复数有关概念

（1）复数、复函数复数复函数例1（2）模、相角（3）复数的共轭模相角第三节拉氏变换与反变换一、拉氏变换的定义以时间t

为自变量的实变函数f(t)，它的定义域是当时，f(t)=0，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为

式中，s为复变数（、均为实数）F(s)是函数f(t)的拉氏变换，是一个复变函数，通常也称F(s)为f(t)的象函数

f(t)为F(s)的原函数

拉氏反变换为34二、几种典型函数的拉氏变换

1.单位阶跃函数1（t）

352.指数函数

363.正弦函数和余弦函数

3.正弦函数和余弦函数

384.单位脉冲函数

且

39405.单位速度函数

6.单位加速度函数

417.t的幂函数

简单常用函数的拉氏变换和反变换可查表2—1。42三、拉氏变换的主要定理

1.叠加性质（线性性质）

(1)齐次性设则（a

常数）

(2)叠加性设则

式中a和b为常数4344（2）微分定理证明：0初条件下有：3.积分定理设

则式中，是积分在t=0时刻的值。

当初始条件为零时，

45对于多重积分是

当初始条件为零时，则有

例：解：464.延迟定理设，且t<0时，

则

函数为原函数沿时间轴的轴向平移。如图2-6所示

图2－6平移函数5.位移定理设

则位移定理在工程上很有用处，它可以简化一些复杂的拉氏变换运算。

例如486.终值定理它表明原函数在时的数值。设且存在，则既原函数的终值等于s乘以象函数的初值。这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。49证明：507.初值定理它表明原函数在时的数值，即既原函数的初值等于s乘以象函数的终值。

518.相似定理设，则有式中，a为常数52四、应用拉氏变换解线性微分方程图2－7拉氏变换求解微分方程示意图

53根据定义计算拉氏反变换，要进行复变函数积分，一般很难直接计算，通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数

1．部分分式法在控制理论中，常遇到的象函数是s的有理分式，即54为了将写成部分分式，首先将的分母因式分解，则有式中是的根的负值，称为的极点。按照这些根的性质，可以分为以下几种情况来研究：

极点中含有重极点时极点为各不相同的实数时含有共轭复数极点时55

（1）的极点为各不相同的实数时式中是待定系数56再根据拉氏反变换的叠加定理，求原函数

由于57例6求的原函数。

将写成部分分式形式，则有解:58所以59

（2）含有共轭复数极点时如果有一对共轭复数极点、，其余极点均为各不相同的实数极点。将展开成

60式中A1和A2通过用令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联列求解，即得A1、A2两个常数。而求得乘以上式的两边61例7求的原函数。

解:将F(s)

的分母因式分解,得将写成部分分式形式，则有62则

63利用方程两边实部、虚部分别相等得：

解之得

64得

所以

查表2-1中第17序号式，65（3）中含有重极点时，设有r个重根将上式展开成部分分式

66式中的求法与单实数极点情况下相同的求法如下：67因为则

68解将展开成部分分式

例8求的原函数。

69上式中各项系数为

70所以

则

712．用拉氏变换求解线性微分方程

1）代入初始条件，对微分方程中的每一项进行拉氏变换，经过整理，得到输出变量的拉氏变换表达式。2）用部分分式法求拉氏反变换，得到微分方程的时域解。72例2-10设某控制系统的微分方程为若求73零初始条件时74稳态分量终值定理75第四节传递函数

在初始条件一定时，拉氏变换与微分方程有对应的关系。既然微分方程可以表示系统或元件的运动特性，拉氏变换也可以表示。引入系统在复数域的数学模型——传递函数。

一、定义

传递函数，即线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统微分方程的一般形式为

76式中c(t)为系统的输出量；r(t)为系统的输入量；

以及为系统的结构参数所决定的实常数。

设初始条件为零，对上式进行拉氏变换，可得系统的传递函数的一般形式77传递函数的标准型1）首1标准型：分子分母最高次项系数化为12）尾1标准型：分子分母尾项系数化为1尾项系数不一定是常数项系统的放大系数也称系统的增益78例：将其化为首1型、尾1标准型，并确定增益增益K=279二、特征方程、零点和极点令系统传递函数的分母等于零，即有

——系统的特征方程，其根为系统特征根

特征方程决定着系统的动态过程。根据多项式定理，系统传递函数的一般形式可以写成

传递函数的零点传递函数的极点80

显然，系统传递函数的极点就是系统的特征根。

零点和极点的数值完全取决于系统诸参数和，即取决于系统的结构参数。

一般地说，零点和极点可为实数或复数，也可为零。若为复数，必共轭成对出现。

81

把传递函数的零、极点表示在复平面上，称为传递函数的零、极点分布图。图中零点用“o”,极点用“x”表示。

零、极点分布图82例：已知某系统在0初始条件下的单位阶跃相应为求：（1）系统的传递函数（2）系统的增益（3）系统的特征根（4）画出对应的零极点图（5）求系统的单位脉冲响应解：83增益画出对应的零极点图系统的特征根求系统的单位脉冲响应84三、关于传递函数的几点说明

传递函数的概念只适用于线性定常系统,是复函数。传递函数中各项系数值完全决定于系统的结构参数，表达了系统的固有特性，与外加信号的大小和形式无关。由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统（或元件）的运动情况。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，而不能反映系统内部的特性。5)传递函数一般分为复变量S

的有理形式，分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即。这是因为系统中总包含着惯性元件以及受到能源功率的限制之故。85四．典型环节及其传递函数组成控制系统的元件千差万别，它们具有不同的结构类型、工作原理和功用,但描述它们动态特性的数学模型有时却具有相同的性质。例如：L-R-C电路，m-k-B动力滑台，齿轮传动系统典型环节——具有相同数学模型的部分许许多多的元件，经过典型环节归并后，只有为数不多的几种一个元件可以是几个典型环节，也可能是几个元件是一个典型环节。86表2－2典型环节表序号环节名称数学表达式12345678比例环节积分环节微分环节惯性环节振荡环节一阶微分环节二阶微分环节延迟环节871．放大（比例）环节

微分方程

K——放大系数或增益传递函数

例：各类放大器测速发电机输入角速度ω

输出电压u882．积分环节

微分方程

传递函数

例：液压缸

图2——8积分环节例输入流量q(t)

输出活塞位移y(t)忽略压缩、泄漏

89A——活塞有效作用面积

903.微分环节

微分方程

传递函数

例：离心测速机

图2—9微分环节例输入输出输入输出测速发电机91输出飞锤的位置y(t)，输入角位移θ(t)测速发电机输出电压u(t)

输入若为发电机转角θ(t)924.惯性环节微分方程传递函数T——时间常数例：RC无源网络输入输出93得T=RC——电路的时间常数惯性环节若则单位阶跃响应不是瞬时达到稳态响应具有惯性，惯性环节由此得名由于响应是非周期增长的，故也称非周期环节945.一阶微分环节微分方程传递函数T——时间常数例：RC无源网络

输入输出95其中966.振荡环节

微分方程

传递函数

T——时间常数

——阻尼比

97另一种标准形式——无阻尼固有频率98例如例2－1质量－阻尼－弹簧系统(振荡环节)

微分方程传递函数99式中100又比如例2－2无源RLC网络微分方程传递函数式中7.二阶微分环节

微分方程传递函数T——时间常数——阻尼比实际中，很难见到二阶微分环节，它是一种数学抽象。1018.延迟环节

微分方程——纯延迟时间传递函数应用拉氏变换的延迟定理102例延迟环节常见于液压、气动系统中，施加输入后，往往由于管道长度而延迟了信号传递的时间。

典型环节与元部件之间并不存在一一对应的关系。一个控制元件的传递函数，可能是几个典型环节的组和一个典型环节，也可能代表几个实际元部件的组合

例：放大环节可以是几级放大器串联的总增益另外，同一元件在不同的系统中的作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。103工作原理图方框图元部件微分方程元部件传递函数微分方程组系统结构图系统微分方程系统传递函数LLL消去中间变量结构等效化简MASON系统模型及其建立过程104第五节传递函数的方块图及运算

方块图又称动态结构图。采用方块图，更便于求传递函数，直观形象，且表达了各信号之间的联系，有助于了解元件参数对系统动态性能的影响。一、方块图符号

1.方块图单元1052.加点法（又称比较点）1063.引出点

同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。任何控制系统都可以由上述符号组成的方块图来表示。107二、系统方块图的绘制根据由微分方程组得到的拉氏变换方程组，对每个子方程都用基本符号表示，并将各个图形正确地连接起来，即为方块图(结构图)。例2—11试绘制例2—4所述电枢控制直流电动机的方块图。

图2－4电枢控制式直流电动机原理图绕阻等效电阻输入量电枢电压输出量电动机角速度108例4电枢控制式直流电动机

绕阻等效电阻电机转矩反电势电枢回路电压平衡方程电机轴上的转矩平衡方程109

根据单元方块图，由单元方块图可得到该直流电动机的方块图如图2—16所示。2—16110例2—12试绘制图2—17所示无源网络的方块图解先列写出该网络的微分方程

111由（2）（4）,消去

公式（6）带入（1）,得：

由公式（3）得：

112

根据这两个关系式可画出它的方块图单元如图2—18a、b所示。然后再根据信号流向将各传递方块图连接起来，便可得到网络的方块图。值得指出的是，一个系统或者一个元件、一个网络，其方块图不是唯一的，可以绘出不同的形式，但经过变换后求出的总传递函数应该是完全相同的。113方块图的另一种画法114115116工作原理图方框图元部件微分方程元部件传递函数微分方程组系统结构图系统微分方程系统传递函数LLL消去中间变量结构等效化简MASON系统模型及其建立过程117三、方块图的等效变换

等效——对方块图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出之间总的数学关系应保持不变。系统环节之间一般有三种基本连接方式，即串联、并联和反馈连接。串联连接特点：前一个环节的输出量是后一个环节的输入量。

图2-20环节的串联连接

118得

等效传递函数由此得n——相串联环节数1192.并联连接特点：所有环节的输入量是共同的，连接后的输出量为各环节输出量的代数和。图2-21环节的并联连接120于是得

由此得

n——并联环节的个数

1213.反馈连接

图2-22环节的反馈连接消去E(s)、B(s)得

122上式中分母上的加号对应于负反馈；上式中分母上的减号对应于正反馈。单位反馈系统，H(s)=1，此时用上述三种基本法则，可求出系统的传递函数。

得闭环传递函数

123例2-12如图2-18124

图2-19例2-12网络方框图的另一形式125

可以看出，虽然图2—18和图2—19的方块图形式不同，但求出的传递函数是相同的。

由于实际系统一般较为复杂,在系统的方块图中常出现传输信号的相互交叉，这样，就不能直接应用上述三种等效法则对系统化简。通常需要移动比较点或引出点，以消除信号的相互交叉。在对比较点或引出点作移动时，同样需要遵守等效法则。

表2—3列出了方块图的等效变换的基本法则。表中没有给出比较点和引出点交换的法则，因为它们的交换往往会使方块图变得复杂，所以在一般的情况下，两者不宜交换位置。

126表2-3方块图的等效变换法则127比较点前移11比较点引出点之间的移动128

例2—13用简化方块图的方法,求图2—23a所示系统的传递函数。解本题的解法之一是把图中的比较点b向前移到比较点a之前,如图2—23b所示。然后从内环到外环逐步化简，最后求得该系统的传递函数为

129130图2-23方框图的化简131上式可写成如下通式式中，n为反馈回路数；P为前向通道传递函数，即从输入到输出的通道上各传递函数之积;为第条反馈回路的传递函数，注意，负反馈时为负值。

但是，应该指出，该公式只适用于有一条前向通道，且所有反馈回路都相互接触时的场合。132例2-14用化简方块图的方法，求图2－24a所示系统的传递函数。133图2-24方框图的化简134

解对于本题，将加法点a跨越方块左移，将引出点b跨越方块右移，并在反馈通道中串联方块后，就可根据串联和反馈运算法则，很容易地逐步化简到图2-24d所示，故得该系统的总的传递函数为

135例2-15用化简方块图的方法，求传递函数136??137138139例2-16用化简方块图的方法，求传递函数

140?141142?143例2-17144145146147148149四、梅逊公式

对于连接关系比较复杂的系统方块图，利用梅逊公式可由方块图直接求取系统的传递函数。特征式为反馈回路传递函数（负反馈时为负值）为两个反馈回路相互不接触时，该两反馈回路的传递函数之积为三个反馈回路相互不接触时，该三反馈回路的传递函数之积为第k条前向通道传递函数；为从中去掉与第k条前向通道相接触的相关项后的余项。150前向通道条数151例2-18利用梅逊公式求传递函数C(s)/R(s)IⅡⅢⅣ--]+前向通道条数去掉与第k条前向通道相接触的相关项后的余项。例2-19利用梅逊公式，求图2-25所示系统的传递函数。152前向通道:回路数：上述这五个反馈回路均相互接触，所以没有互不接触的反馈回路，即

153又因为所有五个反馈回路均与两条前向通道接触，所以

系统的传递函数为

例2-16利用梅逊公式计算例2-14中系统的总的传递函数。

解该系统有一条前向通道，即；有三个反馈回路：这三个回路中有两个相互不接触，所以该回路中154又因为所有三个反馈回路均与前向通道接触，所以求得该系统的传递函数为

155例2-17利用梅逊公式求图2-26所示系统的传递函数

前向通道传递函数：156余子式：特征式：157例2-18利用梅逊公式求传递函数

前向通道传递函数：余子式：特征式：158例2-19利用梅逊公式求传递函数前向通道:反馈回路：五控制系统的传递函数

设控制系统的方块图如图2-27所示。图中R(s)为参考输入，N(s)为干扰信号。参照该图，给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。图2-27闭环系统典型方框图159

1．前向通道传递函数

从参考输入到输出的通道称为前向通道，前向通道上的各传递函数之积称为前向通道传递函数。即

式中G(s)为前向通道传递函数。1602.开环传递函数系统的开环传递函数定义为前向通道传递函数G(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积，即

应当指出，系统的开环传递函数不是指开环系统的传递函数。以后在分析闭环传递函数的性能时，并不一定要求取系统的闭环传递函数。在许多场合，可以利用开环传递函数G(s)H(s)来分析闭环系统的性能。161

3.求参考输入R(s)作用下的闭环传递函数

当仅考虑输入R(s)与输出关系时，可令N(s)=0，为在R(s)作用下的输出。于是由图2—27可知，在参考输入R(s)