轴对称与等腰三角形-2020-2021学年八年数学上学期高频突破（人教版）（解析版）

考点轴对称与等腰三角形

知识框架

釉对称图形与轴对称的概念

轴对称图形的性质

线段的垂直平分线的性质和判定

基础知识点画轴对称图形

对称点的坐标特征

等腰（等边）三角形的概念、性质定理和判定

等腰三角形“三线合一”

’判断轴对称图形

轴对称性质的应用（折叠）

线段的垂直平分线性质的应用

重难点题型等腰三角形的性质

复杂的尺规作图

利用轴对称性质求最值

等腰（等边）三角形与全等三角形综合题

基础知识点

知识点1-1轴对称图形与轴对称的概念

1）轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图

形。这条直线就是它的对称轴.

注：①对称轴必须是一条直线例：太极图不是对称图形

△必必

②对称图形是一幅图例I不是I是

③轴对称，对称轴可将图形分为两个全等部分，但被对称轴分为全等两个部分的图形不一定是对称图形。

（即仅翻折，平移、旋转不可）

例：

3）轴对称：将一个图形沿某一条直线折叠，它能与另一图形重合。我们称这两个图形关于这条直线（成轴）

对称。这条直线叫作对称轴。折叠后重合的点叫作对应点

注：①对称轴必须是直线；②对称图形是两幅图形；③轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不

一定轴对称

1.（2020•河北河间初二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日〜2022年02月20日

在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，

下列四个图案是历届会徽图案上所的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（）

【答案】D

【解析】A□不是轴对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选A

【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键.

2.（2020•湖北武汉初三二模）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（）

A晦"C“履

【答案】C

【解析】根据轴对称图形的概念可知选项A不是轴对称图形；选项B,不是轴对称图形；

选项C是轴对称图形；选项D不是轴对称图形.故选C.

【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键.

3.（2020•广东高州•初二期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

AB（§）CD令

【答案】D

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫

做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【解析】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、是轴对称图形，故D符合题意.故选D.

【点睛】本题考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

4.（2019•山西浑源•初二期中）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一.剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上

给人以透空的感觉和艺术享受.下列四幅剪纸图案中，是轴对称图形的是（）

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的定义即可得.

【解析】A、不是轴对称图形，此项不符题意；B、是轴对称图形，此项符合题意；

C、不是轴对称图形，此项不符题意；D、不是轴对称图形，此项不符题意；故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键.

知识点1-2图形轴对称的性质

1）垂直平分线（中垂线）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线

2）中垂线的画法：（尺规）

原理：VAC=BC=BD=AD.,.AACD^ABCD.,.ZACO=ZBCO---AACO^ABCO

AO=OB且NCOA=/COB=90。，CD为AB的中垂线

3）画2个轴对称图形，连接对应点，寻找规律

①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线

4）确定对称轴的方法：找出一组对应点，连线后作中垂线即为对称轴（轴对称图形或抽对称的两个图形都

适用）

1.（2020•全国初二课时练习）如图，已知口45。和口。所关于某直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

【答案】能，具体见解析

【分析】利用关于宜线/成轴对称的性质作出AD的垂直平分线进而得出答案.

【解析】如图，

（1）连接40：（2）分别以A，。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点.

2

（3）作直线MN.MN即为所求.

【点睛】本题主要考查了画对称轴，根据关于直线对称的对应点的性质得出是解题关键.

2.（2020•广东揭阳•初二期末）如图，A4BC与△A'3'C'关于直线/对称，且NA=78°,NC'=48°,则B8

的度数为（）

【答案】B

【分析】由轴对称的性质求出NC,再根据三角形的内角和定理求出NB即可.

【解析】：AABC与AA'3'C'关于直线/对称，NC'=48°，；.NC=NC'=48°,

ZA=78°ZB=180°-ZA-ZC=180°-78°-48°=54°.故选:B.

【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形的内角和定理，能据成轴对称图形的特征进行求解是解答的关键.

3.（2020•北京北师大实验中学初二期中）如图，直线MN是四边形的对称轴，点P是直线MN上

的点，下列判断错误的是（）

A.AM=BMB.ZMAP=ZMBPC.ZANM=4BNMD.AP=BN

M

【答案】D

【分析】根据轴对称图形的性质即可判断.

【解析】•.•直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，

:.AM=BM，AMAP=AMBP，ZANM=/BNM,故选D.

【点睛】此题主要考查轴对称图形的性质，熟知轴对称图形的性质是解题的关键.

4.（2020•全国初二课时练习）如图，直线AO是三角形ABC的对称轴，点E，b是线段AD上的两点.若

BD=2,AQ=3,则图中阴影部分的面积是.

【答案】3

【分析】根据轴对.称的性质，由AD是三角形ABC的对称轴得到AD垂直平分BC,则AD1BC,BD=DC,

根据三角形的面积公式得到SEFB=SE“，得到S阴影部分=5ABD，代入计算即可.

【解析】：直线A。是三角形ABC的对称轴，二垂直平分BC，即ADLBC,BD=DC,

SEFB=SEFC,**.S阴影部分—SABr）=—BD-AD=]x2x3=3.故得:案为3.

【点睛】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应

点的连线段被对轴轴垂直平分.也考查了三角形的面积公式.

5.（2020•陕西富平•初二期末）如图，若AABC与AA'8'C'关于直线对称，BB'交MN下点、O,则下

列说法不一定正确的是（）

A.AC=ACB.BO=BOC.AA±MND.AB=B'C'

【分析】根据轴对称的性质解答.

【解析】：AABC与AA'B'C关于直线MN对称，BB'交MN于点0,

AAC^AC，80=80，A4'_LMN,AB=AB<BC=B'C'，故选：D.

【点睛】此题考查了轴对称的性质：关于轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对应点的连线垂

直于对称轴.

知识点1-3线段的垂直平分线的性质和判定

1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

PA=PB

2）判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点

外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等

1.（2020•普洱市思茅区第四中学初三二模）尺规作图要求：I、过直线外一点作这条直线的垂线；II、作

线段的垂直平分线；

III、过直线上一点作这条直线的垂线；IV、作角的平分线.

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是（）

A.①-M②-n,③-I,④-inB.①-w,②-in,③-n,④-1

c.①-n,②-w,③-in,iD.①-w,②-i,③-n,④-in

【答案】D

【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条

直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案.

I、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；

Ik作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；

III、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；

N、作角的平分线，观察可知图①符合，

所以正确的配对是：①-IV,②-I,③-II,@-111,故选D.

【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键.

2.（2020•贵州印江•初二期末）如图，在A/BC中，BC=Scm,N8的垂直平分线交48于点。，交边ZC于

点、E,ASCE的周长等于18cm,则ZC的长等于（）

A.6cmB.ScmC.10cmD.\2cm

【答案】c

【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论.

【解析】是边的垂直平分线，.•./E=8£.

.♦.△8CE的周长nSC+BE+CEnBC+XE+CEnBC+NCnlg.又,：BC=8,.,.JC=IO（cm）.故选C.

【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于掌握计算公式.

3.（2020•湖南雨花•初二期末）如图，在中，8c的垂直平分线分别交工C,8c于点。，E.若4ABC

A.14B.18C.20D.26

【答案】A

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到。8=〃C,BC=2BE=8,根据三角形的周长公式计算即可.

【解析】是8c的垂直平分线，...08=。。，BC=2BE=8,

•.•△45C的周长为22,：.AB+BC+AC^22,：.AB+AC^\4,

：./XABDm^z=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=14,故选A.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等是解题的关键.

4.(2019•河北安平•初二期末)在AABC中，ZBAC=115°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则/

EAG的度数为()

A.50°B.40°C.30°D.25°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理求出NB+NC,根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,GA=GC,根据

等腰三角形的性质计算即可.

【解析】：/BAC=1I5。，.•.NB+NC=65。，：DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，.\EA=EB，GA=GC,

/.ZEAB=ZB,ZGAC=ZC,AZEAG=ZBAC-(ZEAB+ZGAC)=ZBAC-(ZB+ZC)=50°,故选A.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等是解题的关键.

5.(2020•福建漳州•初二期末)若P是△ABC所在平面内的点，且PA=PB=PC,则下列说法正确的是

()

A.点P是△ABC三边垂直平分线的交点B.点P是△ABC三条角平分线的交点

C.点P是△ABC三边上高的交点D.点p是△ABC三边中线的交点

【答案】A

【分析】根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂宜平分线上判断即可.

【解析】解：；PA=PB,.•.点P在线段AB的垂直平分线上，

•••PB=PC,.♦.点P在线段BC的垂直平分线上，...点P是△ABC•.边垂直平分线的交点.故选：A.

【点睛】本题考查线段垂宜平分线的判定.熟练掌握线段垂宜平分线的判定定理是解题的关键.

知识点1-4画轴对称图形

1）关于对称轴1成轴对称图形的性质:

①两个图形完全相等（全等）；②对应点的连线组成的线段被对称轴1垂直平分

2）画一个与己知图形关于对称轴对称图形步骤:

①描出图形关键点；②过关键点画对称轴垂线，并截取对应长度线段，端对为对应点

③按上述步骤确定所有关键点的对应点；④连线

注：①折线部分：特殊点之间直线连接即可；②曲线部分：选取曲线中的特殊点，找出这些特殊点，再用

曲线连接。

例:以圆心为特殊点

1.（2020•全国）画出所示/ABC关于直线/对称的/口4'3'。'（保留痕迹）

【分析】根据画轴时称图形的方法即可得出答案.

【解析】解：作法：如图所示,

1.作点AABC的三个顶点Z、8、C关于直线/对称的点/'、B\C；

2.顺次连结/'夕、B'C'、C0得口A'3'C',则口48'。'即为所求作的三角形.

2.(2020•全国初二课时练习)如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线1对称，请在试卷上补全字母，

在答题卡上写出这个单词所指的物品.

nn_

UR

【答案】书

【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答.

【解析】解：如图，ROOK，这个单词所指的物品是书•故答案为书.

【点睛】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形.

3.(2019•山西浑源•初二期中)如图，是一个2X2的网格，其中每个小正方形的顶点叫做格点，△C4B的

顶点都在格点上.请在网格中再画出一个三角形，使它与△C4B成轴对称的关系.(要求：在图(1)〜图

(4)各画出一个三角形，使四个图中三角形的位置不同，并在所画的三角形内部涂上阴影).

【分析】根据轴对称图形的定义画图即可.

【点睛】本题考查了画轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题关键.

知识点L5对称点的坐标特征

1)P(x,y)

①关于x轴对称(y=0)Q\(x,-y);②关于y轴对称(x=0)Q2(-x,y);③关于原点对称Q3(-x,-y)

2)规律P(xo,yo)

①关于x=m对称Qi(2m-x,y)②关于y=n轴对称Q2(x,2n-y)

L(2020•湖南茶陵•初二期末)如果点。(-2,2)+1)与A(2,3)关于歹轴对称，则6的值是()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据两点关于y轴对称，所以它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式求值.

【解析】解：：P(-2,2/?+l)与P(2,3)关于y轴对称，.•.2匕+1=3,解得b=l.故选：C.

【点睛】本题考查点坐标关于坐标轴对称的性质，解题的关键在于掌握点坐标关于坐标轴对称时横纵坐标

的关系.

2.(2020•湖北大冶•)在平面直角坐标系中，点4(1,-2)关于X轴对称的点的坐标为()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(2,1)D.(-1,-2)

【答案】A

【分析】根据关于x轴对称的点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案.

【解析】解：点A(1,-2)关于x轴对称的点的坐标为：(1,2).故选：A.

【点睛】本题考查关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

3.(2020•山东沂水初二期末)已知点与点N(6,3关于直线x=2对称，那么4-b等于

【答案】2

【分析】轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，且在坐标系内关于x对称，则y相等，所以

【解析】点M3-4)与点N(6,》)关于直线x=2对称——=2,-4=b

2

解得a=-2,二。—人=—2—(―4)=2故答案为2.

【点睛】本题考察了坐标和轴对称变换，轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，此类题是轴

对称相关考点中重要的题型之一，掌握对轴对称图形的性质是解决本题的关键.

4.(2020•黑龙江甘南初二期末)若点M(m,-1)关于原点的对称点是N(2,n),则m+n的值是.

【答案】-1

【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案.

【解析】•••点A/(m,-1)关于原点的对称点是N(2,"),

/.m=-2,n=\,故答案为：-1.

【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键.

知识点1-6等腰（等边）三角形的概念、性质定理和判定

1）等腰三角形：有两条边相等的三角形

腰：相等的两边底边：不相等的那条边

顶角：两腰的夹角底角：腰与底边的夹角

注：①等腰三角形是三角形，三角形的一切性质都满足；②等腰三角形是轴对称图形

2）性质一：等腰三角形的两个底角相等。等角=等边

证明：作中线、作高、作角平分线皆可证明

注：涉及等腰三角形的角或边时，一般要指出顶角、底角，底边、腰。若未指出，会存在多解情况。

例：等腰三角形，一边长7cm,另一边长8cm,则三角形周长为：

3）等腰三角形的判定

等腰三角形、、两个角相等

两个边相等

4）等边三角形的性质与判定：

性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

判定：（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.

1.（2020•山东东明•初二期末）已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为（）

A.17B.13C.17或13D.10

【答案】A

【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解.

【解析】解：①3是腰长时;三角形的三边分别为7、3、3,3+3=6<7,不能组成三角形；

②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3,能组成三角形，周长=7+7+3=17,

综上所述，这个等腰三角形的周长是17,故选A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三

角形.

2.（2020•湖南茶陵•初二期末）等腰三角形的一个外角为80。，则它的底角为（）

A.100°B.80°C.40°D.100°或40°

【答案】C

【解析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解.

解：•.•等腰三角形的一个外角为80。.•.相邻角为180°-80°=100°

•三角形的底角不能为钝角，100。角为顶角

.••底角为：（180°-100°）-2=400.故选C.

考点：等腰三角形的性质.

3.（2018•陕西渭滨•初三二模）如图，D为AABC内一点、,8平分乙BD1CD,UFBD,若/C=5,

BC=3,则8。的长为（）

A.1B.1.5C.272D.4

【答案】A

【分析】延长BD与AC交于点E,由题意可推出BE=AE,依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE,

可推出BC=CE,AE=BE=2BD,根据AC=5,BC=3,即可推出BD的长度.

【解析】延长BD与AC交于点E,

VZA=ZABD,；.BE=AE,VBD1CD,ABE1CD,

：CD平分NACB,.-.ZBCD=ZECD,AZEBC=ZBEC,ZkBEC为等腰三角形，；.BC=CE,

VBE±CD,，2BD=BE,VAC=5,BC=3,；.CE=3,AE=AC-EC=5-3=2,.\BE=2,.\BD=1.故选A.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角

形，通过等量代换，即可推出结论.

4.（2020•四川巴州,初二期末）如图，在△ABC中，NABC和NACB的平分线交于点D,过点D作EF〃BC

交AB于E,交AC于F,若AB=12,BC=8,AC=1O,则4AEF的周长为（）

E,D

-----------------------V

A.15B.18C.20D.22

【答案】D

【分析】利用平行和角平分线的定义可得到/EBD=/EDB,所以可得ED=EB,同理可得DF=FC,所以aAEF

的周长即为AB+AC,可得出答案.

【解析】•:EF〃BC,：./EDB=NDBC,

平分:.NABD=NDBC,：.ZEBD=ZEDB,：.ED=EB,同理可证得。尸=FC,

AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=22,即的周长为22,故选D.

【点睛】考查［等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

5.（2019•贵州印江•初三月考）如图，已知A8=A6,Ag……，若/

A=70°,则乙4,一4纥t的度数为（）

B

【答案】c

【分析】根据等边对等角可得NAAiB=NA=70°,然后根据三角形外角的性质和等边对等角可得NA1A2B尸

170°...1700170°

-NAAiB=-----=35°,同理可得：/A2A3B2=—/AiAzBi=—=17.5°)NA3A4B3=-NA2A3B2=—丁=

22222223

8.75°,找出规律即可得出结论.

【解析】VAB=AiB,ZA=70°ZAAiB=ZA=70°V=AAAZAIA2B1=ZAIB1A2

170°

/AAIB=NAIA2BI+/AiB1A2NAiA?Bi=­/AAiB=-----=35°

22

1700170°

同理可得：ZAAB=—ZAIABI=^-=17.5°ZAAB=—NA2A3B2=--=8.75°

2322222343223

NA,EA“B,i=故选C.

【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握等边对等角和三角形外角的性质是解

决此题的关键.

6.（2020•山东东平•初二期末）如图，在4ABC中，ZBAC=90°,ZABC=2ZC,BE平分NABC交AC于E,

AD±BE于1）,下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③NDAE=NC；@BC=4AD,

其中正确的个数有（）

R匕-----------------------------

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】①：BE平分/ABC,.\ZCBE=—ZABC,VZABC=2ZC,.\ZEBC=ZC,

2

；.BE=CE,.,.AC-BE=AC-CE=AE；（①正确）

②：BE=CE,.•.点E在线段BC的垂直平分线上；（②正确）

③•.•/BAC=90°,ZABC=2ZC,/.ZABC=60°,ZC=30°,VBE=CE,AZEBC=ZC=30°,

ZBEA=ZEBC+ZC=60°,XVZBAC=90°,AD±BE,AZDAE=ZABE=30°,ZDAE=ZC；（③正确）

@ZABE=30°,ADXBE,；.AB=2AD,VZBAC=90°,ZC=30°,；.BC=2AB,，BC=4AD.（④正确）

综上，正确的结论有4个，故选D.

点睛：此题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及30°角直角三角形的性质.此题

难度适中，注意数形结合思想的应用.

7.（2020•河南海池•初二期末）下列三角形中：①有两个角等于60。的三角形；②有一个角等于60。的等腰

三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有（）

A.①②③B.©©④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根据等边三角形的判定判断.

【解析】两个角为60。，则第三个角也是60。，则其是等边三角形，故正确；

②这是等边三角形的判定2，故正确；③三角形内角和为180。,三个角都相等，即三个角的度数都为60。，

则其是等边三角形，故正确：④这是等边三角形定义，故正确.

【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定，解题关键是熟记等边三角形性质和定义进行解答.

8.（2020•湖北黄石•初二期末）如图，等边三角形ABC中，AD1BC,垂足为D,点E在线段AD上，Z

EBC=45°,则NACE等于()

【答案】A

【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出/ECB=45。，即可得出结论.

【解析】：等边三角形ABC中，AD1BC,.-.BD=CD,即：AD是BC的垂直平分线，

•.•点E在AD上，.\BE=CE,AZEBC=ZECB,VZEBC=45°,AZECB=45°,

「△ABC是等边三角形，ZACB=60°,/.ZACE=ZACB-ZECB=15°,故选A.

【点睛】此题主要考查J'等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出NECB

是解本题的关键.

9.（2020•浙江西湖•初二期末）如图，将边长为的等边三角形沿边8c向右平移3cm,得到△£>£F,

则四边形心的周长为（）cm.

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【分析】根据平移的性质可得DF=AC=5cm,AD=CF=3cm,然后求出四边形ADFB的周长=

AB+BC+CF+DF+AD,最后代入数据计算即可得解.

【解析】解：•.,△ABC沿边BC向右平移3cm得到aDEF,，DF=AC=5cm,AD=CF=3cm,

二四边形ADFB的周长=AB+BC+CF+DF+AD,=5+5+3+5+3,=21(cm),故选：B.

【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平

行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

10.（2020•河南海池•初二期末）如图，在钝角三角形ABC中，NA8C为钝角，以点3为圆心，A8长为

半径画弧；再以点。为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点连结A2C8的延长线交AO于点E.下

列结论：①CE垂直平分A。；②CE平分NACD；③VABD是等腰三角形；④VACO是等边三角形.其

中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】依据作图可得CA=CD,BA=BD,即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质

以及三角形内角和定理，即可得到结论.

【解析】由作图可得，CA=CD,BA=BD,；.CB是AD的垂直平分线，即CE垂直平分AD,故①正确；

.,.ZCAD=ZCDA,ZCEA=ZCED,AZACE=ZDCE,即CE平分NACD,故②正确；

VDB=AB,.•.△ABD是等腰三角形，故③正确；

••,AD与AC不一定相等，.•.△ACD不一定是等边三角形，故④错误；

综上，①②③正确，共3个，故选：C.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定、等边三角形的判定，解题

时注意：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

知识点1-7等腰三角形“三线合一”

1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）

注：①“三线合一”仅指等腰三角形中的一条线、另外两条线无此规律；

②利用“三线合一”，可判断等腰三角形；

③只要“两线合一”，则必定"三线合一”（用全等易证）

1.（2020•广东广州•绿翠现代实验学校初二期中）如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，BD=4cm,

则BC=cm.

【答案】8

【分析】由4。是8c边上的高，可知/。是BC边的中线，从而可求出5c的长.

【解析】:AB=AC,AD1.BC,：.BD=CD=4cm,：.BC=2BD=2^4=Scm.故答案为8.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中

线重合是解答本题的关键.

2.（2020・广东深圳•中考真题）如图，已知48=/lC,BC=6,尺规作图痕迹可求出（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可.

【解析】由作图痕迹可知AD为NBAC的角平分线，而AB=AC,

由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，/.BD=3,故选B

【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质，关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.

3.（2020•福建中考真题）如图，A£＞是等腰三角形A8C的顶角平分线，BD=5,则CO等于（）

A.10B.5C.4D.3

B

D

【答案】B

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长.

【解析】：A£＞是等腰三角形ABC的顶角平分线...CD=BD=5.故选：B.

【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识.

4.（2019•上饶市第二中学初二期中）如图，在口46。中，A3=AC,。为3C的中点，有下列四个结论:

①ZB=/C；②③44C=2NB4O；AHD=SACI）.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由于AB=AC，D为5c的中点，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知

ZB=NC,AD±BD,ABAC=2ABAD,BD=CD,再根据三角形面积公式即可求解.

【解析】解：•.•在口抽。中，AB=AC,D为BC的中点，

；./B=NC,ADA.BD,ABAC=2ABAD,BD=CD,

SAHD=SACD.故正确的有4个。故选：D.

【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合的性质，要学会灵活运用.

5.（2019・上海风华初级中学初二月考）如图所示，已知在五边形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,ZB=ZE,

点F是CD的中点，求证：AF±CD.

【答案】证明过程见解析.

【分析】连接AC,由题中已知条件可证明△ABCg^AED,即可得至ijAC=AD,则AACD为等腰三角形，-又

因为F为CD中点，根据三线合一可得AFJ_CD.

【解析】解：如图，连接AC,

AB=AE

•.•在ZkABC与AAED中=.'△ABC丝4AED(SAS).*.AC=AD；

BC=ED

•；F为CD中点，；.AF为AACD底边上的中线，，AF为△底边上的高(三线合一)；.\AF_LCD.

【点睛】本题考查全等三角形的证明以及等腰三角形三线合一的利用；根据已知条件很容易能够看出全等，

中点和垂线要通过三线合一联系起来，在以后做题的过程中如果看到中线、高线、角平分线任意两条线合

一，都要想到等腰三角形三线合一.

重难点题型

题型1判断轴对称图形

方法技巧：掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，

那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：

(1),轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。

(2)符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。

1.(2020•全国初二课时练习)下面四个垃圾分类的图标中的图案，是轴对称图形的是()

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.

【解析】由轴对称图形的定义可得B为轴对称图形.故选B.

【点睛】本题考查轴对称图形的判别，关键在于熟悉定义.

2.（2020•全国初二课时练习）我们理应对我们所得的一切心怀感恩，这是我们强大的基础.少年强则国强,

中国强则中国少年更强，中国强就是因为少年强.为了庆祝祖国生日小强做了以下几幅剪纸作品，其中是轴

对称图形的是（）

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿-条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析.

【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误.故选B.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后

可重合.

3.（2020•河南罗山・初二期末）下列全国志愿者服务标识的设计图中，是轴对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.

【解析】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，C中的图形是轴对称图形，故选：C.

【点睛】本题考查轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠可重合.

4.（2020•湖南师大附中高新实验中学初三二模）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）

^D

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.

【解析】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形;

故选：c.

【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握定义进行判断.

5.（2020•四川汶川•初二期末）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）

.今

【答案】c

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【解析】A、不是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选A.

【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解决本题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条

直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此分析即可.

7.（2020•全国初二课时练习）如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的

（）

A.轴对称性B.用字母表示数C.随机性D.数形结合

【答案】A

【分析】根据轴对称的定义可以得出，数学美体现在蝴蝶图案的对称性.

【解析】用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性.故选A.

7.（2020•青海中考真题）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿

图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（）

A.B.<C^Z>c.D.

【答案】A

【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

【解析】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去

一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和

菱形位置基本一致的正方形，得到结论.故选A.

【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力.

题型2轴对称性质的应用（折叠）

方法技巧：常见应用为折叠问题。折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。

1.（2020•乌兰浩特市卫东中学初三二模）如图，将平行四边形ABC。沿对角线3。折叠，使点A落在点4

处，N1=N2=48。，则NA'的度数为.

【答案】108°

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出/ADB=NBDG=NDBG,由三角形的外角性质求出

ZBDG=ZDBG=-Zl=24°,再由三角形内角和定理求出NA,即可得到结果.

2

【解析】解：•:AD//BC,：./，ADB=NDBG,由折叠可得/BOG,：./DBG=NBDG,

又•.•/1=/8Z）G+N£>8G=48°,/8Z）G=24°,又：/2=48°,中，N/=108°,

...乙4'=乙4=108°,故答案为：108°

【点睛】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，解题关键在于利用折叠性质进行解答

2.（2020•河南罗山初二期末）如图,先将正，方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为

AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下，这样剪得的aADH中（）

A.AH=DHMDB.AH=DH=ADC.AH=AD/DHD.AH/DHMD

【答案】B

【分析】翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形，利用折叠的性质,正方形的性质，以及图形的对称性特点解

题.

【解析】解：由图形的对称性可知

:正方形ABCD,：.AB^CD=AD,：.AH^DH=AD.故选B.

【点睛】本题主要考查翻折图形的性质,解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移.

3.（2020•全国初二课时练习）如图，将长方形纸片的角C沿着GF折叠（点/在8c上，不与8,C

重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分ZBFE,则NGW的度数&是（）

A.90°<a<180°B.0°<a<90°C.a=90°D.a随折痕G尸位置的变化而变化

【答案】C

【分析】先根据折叠的性质得出NUG=N£：FG,再根据角平分线的定义得出NEFH=!ZBEE,然后

根据平角的定义、角的和差即可得.

【解析】由折叠的性质得：NCFG=NEFGNEFG=工NCFE

2

■：FH平分ZBFE二NEFH=-ZBFE

2

ZGFH=NEFG+NEFH=-NCFE+-NBFE=-（NCFE+NBFE）=-xl80°=90°

2222

即a=90°故选：C.

【点睛】本题考查了折叠的性质、角平分线的定义等知识点，掌握并熟记各性质与定义是解题关键.

4.（2020•山东滨州初二月考）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠时，测得NDOE=30。，则/a=

【答案】75。

【分析】利用平行线的性质求解NCBO,利用对折与平角的性质可得答案.

【解析】解：*/DAHBC,ZCBO=NDOE=30°,

由对折可知：Na=ZABF=---------=75°,故答案为：75°.

2

【点睛】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键.

5.(2020•河南新野初三二模)如图，在一张直角三角形纸片N8C中，ZACB=90°,//=30。「是边”上

的一动点，将△ZCP沿着CP折叠至△4CP,当△4CP与△/8C的重叠部分为等腰三角形时，则//C尸的

度数为

【答案】40。或70°

【分析】分两种情形，画出图形分别求解即可.当尸C=CE时，设利用等腰三角形的性质，可

证得N6E=x+30。，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程即可；当CP=CE时，设入4。尸

=x,用含x的代数式表示出NCPE、NCEP,再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程即可求

CP=CE,：.NCPE=ZCEP,"：ZCPE=ZACP+ZA=x+30°,

：.在□PCE中：x+x+30°+x+30°=180°,x=40°；

当CP=CE时，如图2所示：设/ZCP=x.根据折叠的性质得N/iCP=x,ZA\—ZA—3O0,

则ZCPE=ZCEP=NECA+ZA\=ZACP+ZA\CP-ZACB=2x-900+30°=2x-60°,

在尸E中，90°-x+2(2x-60°)=180°,解得：x=70°,

综上所述，NZC尸的度数为40。或70。，故答案为：40。或70。.

【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理，用含x的代数

式表示出/CPE,再利用三角形内角和定理建立关于x的方程是解决本题的关键.

6.(2020•青海西宁初三一模)如图，将等腰直角三角形ABC(ZB=90°)沿EF折叠，使点A落在BC边的

中点Ai处，BC=8,那么线段AE的长度为

【答案】5.

分析：由折叠的性质可求得AE=AiE,可设AE=AiE=x,贝UBE=8-x,且AiB=4,在Rt^AiBE中，利用勾股

定理可列方程，则可求得答案.

【解析】由折叠的性质可得AE=AiE,「△ABC为等腰直角三角形，BC=8,.\AB=8,

为BC的中点,.,.AiB=4,设AE=AiE=x,则BE=8-x,

在RMAiBE中，由勾股定理可得4斗（8-x）2=X2,解得X=5,故答案为：5.

点睛：本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=AiE是解题的关键，注意勾股定理的应用.

7.（2020•重庆市渝北中学校初二月考）将一张长方形纸片按如图形式折叠，使点D落到点D，处，点E落到

点E，处，并且BD与BE在同一条直线上，那么A