四年级下册数学试题-奥数讲练：第六讲 等差数列 竞赛篇（解析版）全国通用

第六讲等差数列

关于等差数列的求和问题，我们奥数网的课程安排是在三年级的春季进行了系统的知

识梳理，在整个小学四年级阶段我们没有进行过相关的系统讲解.我们这节课的主体以等差

数列的提高和应用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，有些接

触过的同学经过较长的时间，遗忘的已经比较多了！所以我们希望教师在相关公式的复习

时能够系统得讲解一下！

许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速

计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯

为什么算得这么快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的

原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性一一每项都比它前面的一项大

1,即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我

们回顾加强有关等差数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.

【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手,

多多赢得小印章！

分析:以下答案仅供参考!

(1)先介绍一下一些定义和表示方法：

定义:从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列

我们称它为等差数列.

譬如：2、5、8、11、14、17、20、……从第二项起，每一项比前一项大3,递增数列

100>95、90、85、80、……从第二项起，每一项比前一项小5,递减数列

（2）首项：一个数列的第一项，通常用&表示；

末项：一个数列的最后一项，通常用&表示，它也可表示数列的第n项.每个数列都有最

后一项吗？数列分有限数列和无限数列；

项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d来表示；

和：一个数列的某些项的和，常用出来表示.

（3）三个重要的公式：

①通项公式：末项=首项+（项数-i）x公差

=4+（〃-l）xd

回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同

学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入

手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：4—%,=（〃-〃?）xd,（〃m）

②项数公式：项数:（末项-首项）+公差+1（其实此公式是由①推导出来的，教师也可

以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）

由通项公式可以得到：〃=（〃“一q）+d+l（若q）;〃=d+l

（若qan）.

找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！

譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、...、40、43、46,分析：配组：（4、5、6）、

（7、8、9）、（10、H、12）＞（13、14、15）、...、（46、47、48）,注意等差是3,那么

每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48

有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45+3=15组，原数列有15组.当然，我们还可以

有其他的配组方法.

③求和公式：和二（首项+末项）X项数+2

%=（q+〃“）x〃+2

对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：

（思路1）1+2+3+…+98+99+100

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）

共50个101

=101x50=5050

（思路2）这道题目，我们还可以这样理解:

和=1+2+3+4+....+98+99+100

+和=100+99+98+97+....+3+2+1

2倍和=101+101+101+101+....+101+101+101

_----100-------------

即，和=(100+1)x100+2=101x50=5050

(4)中项定理

对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首

相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

譬如：(1)4+8+12+…+32+36=(4+36)X94-2=20X9=180,题中的等差数列有9项，

中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20X9；

(2)65+63+61+…+5+3+1=(1+65)X33+2=33X33=1+89,题中的等差数列有33

项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33X33.

如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其

去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项.中项定理也可用在速算与巧算中.

譬如：计算：124.68+324.684-524.68+724.68+924.68

分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68,所以可以用5X524.68=2623.4.

等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.

一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重

点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，

而应该把原理讲透.

【复习2】小明从1月1日开始写大字.第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量

的大字，结果全月(总共31天)共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写多少个字?

分析：数列末项为：589x2+31—4=34,所以公差为(34—4)+30=1,小明每天比前一天多写1

个大字.

【复习3】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，

第3层io块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，n---------n

问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？1111111111httn

分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2,6,10,14,-容易知道，是一个等差数

列.2106是第11=(2106-2)+4+1=527层，中间一层是第(527+1)+2=264层，那么中间

一层有：2+(264-1)X4=1054块，这堆砖共有：1054X527=555458(块),

44■【例1】计算:(1)61+692+6993+69994+699995+6999996（带格式的：项目符号和编号）

(2)0.1+0.2+0.3+…+0.9+0.10+0.11+…+0.98+0.99

(3)(04陈省身杯数学邀请赛)

44444

计算：(10----Xl)+(9—X2)+(8—X3)+-+(2—X9)+(l-X10)=.

5555555555

(4)计算：l+3+4+6+7+9+10+12+13+.・・+66+67+69+70；

分析：(1)原式=(70-9)+(700・8)+(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)

=7777770-(9+8+7+6+5+4)

=7777731

(2)分析:仔细观察发现这串数并不是一个等差数列，但是我们可以分为0.1至0.9和0.10

至0.99两部分，这样就变成等差数列了，然后再求和.

第一部分：0.1+0.2+0.3+…+0.9=4.5；

第二部分：0.10+0.11+…+0.98+0.99=(0.14-0.99)X904-2=49.05；

因此总和等于：49.05+4.5=53.55.

44

(3)原式=(10+9+8+…+1)--X(1+2+3+…+10)=55-—X55=51

5555

(4)可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+...+67+70和3+6+9+12+...+66+69,对

他们分别求和：(1+70)X244-2+(3+69)X234-2=1680.

【巩固】(1)计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+...+0.97+0.99；

(2)计算72+793+7994+79995+799996=；

(3)2+4+8+10+14+16+20+22+...+92+94+98+100.

分析：(1)原式=(0.1+03+0.5+0.7+0.9)+(0.11+0.13+0.15+0.17+...+0.97+0.99)

=(0.1+0.9)X54-2+(0.11+0.99)X454-2=27.25.

(2)原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)

=888880-(8+7+6+5+4)=888850

(3)拆分为2+8+14+20+...+92+98和4+10+16+22+...+94+100：(2+98)x17^-2+(4+100)X

174-2=1734.

4【例2】（走进美妙数学花园）如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等产格式的：项目符号和编号

边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差

数列.已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100,2()0,800.求所有结点上数的

总和.

分析：如右下图，各结点上放置的数如图所示.从100到300这条直线上的各数

的平均数是200,平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200.所以

21个数的平均数是200,总和为200x21=4200.

4【例3】(全国华罗庚金杯)如右图，有码放整齐的一堆球，从上往下看，这

堆球共有多少个?

分析：最上层有1个球；第二层有1+2+3+4+5=15(个)；第三层有15+6=21(个)；

第四层有21+7=28(个)；七层共有球1+15+21+28+36+45+55=201(个).

4【例4】在1〜200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的

和是多少？

分析：先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是

此时得到的不是题目需要的和，因为44,88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44

整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.

(4+8+12+-+200)+(11+22+33+-+198)-(44+88+132+176)=(4+200)X50-2+(11+198)X18

4-2-(44+176)X44-2=6541.

【前铺】在1〜100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

分析：我们先计算1〜100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9

整除的自然数和了.1+2+-+100=(1+100)X1004-2=5050,

9+18+27+…+99=(9+99)X11+2=594,所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456.如

果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1〜100的自然数

和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了.

【前铺】100到200之间不能被3整除的数之和是多少？

分析:考虑能被3整除的各数之和102+105+…+198;

然后(100+101+102+…+200)—(102+105+…+198)=10200.

注【例5】已知有一个数列:1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……，试问：<:带格式的：项目符号和编号]

(1)15是这样的数列中的第几个到第几个数？

(2)这个数列中第100个数是几？

(3)这个数列前100个数的和是多少？

分析：分析可得下表：

数：1234567-141516........

个数：2468101214-283032........

(1)2+4+6+…+28=210,所以15是第211个到240个

(2)在这个数列中前9组的个数是：2+4+6+・♦・+18=90个

这个数列前10组的个数是：2+4+6+…+20=110

而90<100<110,所以第100个数是第10组中数，是10

(3)这个数列中前100个数的和是：1X2+2X4+3X6+…+9X18+10X10=670

6基【例6】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?<［带格式的：项目符号和编号

第2003个数是多少？

分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8,…

偶数项的排列规律是：3、6、9、12,…

先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第20004-

2=1000个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第(2003+1)+2=1002个数，所以第2000

个数是3000,第2003个数是2004.

【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。

分析：前100项的和=(3+150)X504-24-(2+100)X504-2=255X25=6375,

100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项：

111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项；

同样，120是原数列的第80项和第119项.

斗【例7】观察下面的数阵,容易看出，第n行最右边的数是那么，第20行最左边<:带格式的：项目符号和编号

的数是几？第20行所有数字的和是多少？

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

分析:第20行最左边的数等于192+1=362,该行共有(202-192)个数，(362+400)X394-

2=14559.

【巩固】观察下面各式并解答:

1+2=3,

4+5+6=7+8,

9+10+11+12=13+14+15，

第10个等式左右两边的和是多少？

分析：由题中的式子可知第四个等式左边的第一个数是16,发现从第一个等式开始，每个

等式左边第1个数组成数列：1,4,9,16,…,分别为/，*32,42,…所以第10个等

式左边第1个数为102=100,并且共有11个数相加.第10个等式左边的和为：

100+101+102+-+110=(100+110)X114-2=1155.

81【例8】学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共<:带格式的：项目符号和编号

进行了78场比赛.问：有多少人参加了选拔赛？

分析：我们假设有x个选手，根据题目中“每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场”，

第一个选手要比立1场；第二个选手，由于第一个选手已经和他比赛过了，所以他只需要同

剩下的x・2个选手比赛x・2场，依此类推，总比赛场数就是数列1,2,3,…，x・l的和.

设有x个选手，列出方程：(l+x-l)X(x-l)v2=78,x(x-l)=156,比较求解得x=13.

【巩固】某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每

一个人都只握一次手.参加宴会的一共有多少人？

分析:经试验：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以一共有10人参加宴会.

旺【例9】(走进美妙数学花园)黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1,3,5,7,<带格式的：项目符号和编号

9,擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008,那么擦去的奇数是.

分析：1,3,5,7,…,(2n・1),这n个奇数之和等于分452=2025,擦去的奇数是2025-2008=17.

【前铺】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，

和是1997,但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？

分析：用X表示小明少加的那个数,1997+X=(l+n)Xn-r2,(1+n)Xn=3994+2x,两个

相邻的自然数的积比3994大一些，因为(l+n)Xn和「比较接近，可以先找3994附近的

平方数，最明显的要数3600=60X60,而后试算两个相邻自然数的乘积61X62=3782,62X

63=3906,63X64=4032,所以n=63,正确的和是2016,少加的数为：2016-1997=19.

【拓展】小明住在一条胡同里.一天，他算了算这条小胡同的门牌号码.他发现，除掉他自

己家的不算，其余各门牌号码之和正好是100.请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个

门牌号码)？小明家的门牌号码是多少？

分析：这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：

1+2+…+10=55,所以和在100附近的应该为1〜14、或1〜15,

(1)1+2+…+14=105,小明家门牌号为5,共有14户人家；

(2)1+2+…+14+15=120,小明家门牌号为20,不再1〜15的范围，所以不符合题意.

M【例10](数学科普电视赛)小明往一个大池里扔石子，第一次扔1块石子，第，带格式的：项目符号和编号

二次扔2块石子，第三次扔3块石子，第四次扔4块石子……他准备扔到大池里的石子总

数被106除，余数是0为止，那么小明应至少扔多少次？

分析：106=2X53.设小明应扔n次，则扔的石子总数为"十")",当n+l=53,n=52时，

2

石子总数第一次能被53整除.

口基【例11】有一列数:1,2,4,7,11,16,22,29,37,—,问这列数第1001个♦:带格式的：项目符号和编号

数是多少？

分析：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1,第三个数与第二个数相差2,第四个数

与第三个数相差3............依此类推，以后每项数与前一项的差都会依次增加1,因此有以

下规律：

第1个数：1=1，

第2个数：2=1+1,

第3个数：4=2+2=1+1+2,

第4个数：7=3+4=1+1+2+3,

第5个数：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4,

第6个数：16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5,

第n个数：1+1+2+3+4+5+...+(n-1).

第1001个数为:1+1+2+3+4+5+・・・+(1001-1)=1+1+2+3+44-5+...+1000=1+500500=5005001

削【例12】9张面积都是9的图形放在面积为45的桌面上（不能超出桌面）,能否使＜（精格式的：项目符号和编号

任何2个图形相互重叠的面积都小于1?

分析:不能.如果能，将九个图形依次编为1〜9号，1号与2〜9号重叠的面积小于8,2号

与3〜9号重叠的面积小于7……8号与9号重叠的面积小于1,所以重叠的总面积必然小于

1+2+…+8=36,九个图形所占的总面积大于9X9-36=45,与题意矛盾，所以不能.

［附1］计算：2000X1999-1999X1998+1998X1997-1997X1996+-+4X3-3X2+2X1.

分析：原式二1999X(2000-1998)+1997X(1998-1996)+-+3X(4-2)+2XI

=1999X2+1997X2+......+3X2+2X1

=2X(1999+1997+-+3+1)

=2000000.

【附2】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球

后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……

第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多

少只乒乓球？

分析:一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2X2只球……

第十次多了2X10只球。因此拿了十次后，多了

2X1+2X2+…+2X10

=2X(1+2+…+10)

=2X55=110(只)

加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113(只)

【附3】李明玩投放石子游戏，从A点出发，走1米放1枚石子；再走4米有放下3枚石子:

再走7米，放下5枚石子；再走10米放下7枚石子…….照此规律最后走到B处共放下石

子35枚，从A点到B点的路程是多少米？

分析：N=(35-1)4-2+1=18,末项=1+3X(18-1)=52,和=(1+52)X18-2=477.

【附4】从两位的自然数中，每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数，有多

少种取法？

分析：要使和为3位数，假设一个数为n,则另一个数必须大于100-n,同时为了防止取重

复(比如已经取了50,51又取51,50),我们只取比n大的数，按照这个原则，可以写出一

个数列.

10有90〜99,10种取法；11有89〜99,11种取法；……；49有51〜99,49种取法；50

有51〜99,49种取法；51有52〜99,48种取法；……;98有99,1种取

法.(10+11+12+・・・+49)+(49+48+47+…+2+1)=(10+49)X404-2+(1+49)X494-2=2405,对这个

数列求解就可以得到总共有2405种取法.

【附5](希望杯数学邀请赛)观察下面的序号和等式，填括号.

序号等式

11+2+3=6

33+54-7=15

554-8+11=24

77+114-15=33

()()+()+7983=()

分析：可以这样想：(1)表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)

(2)表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？

应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在

的位置，即各自的项数.

第一个括号：(7983-3)4-44-1=1996,1+(1996-1)X2=3991；第二个括号：1+(1996T)

X2=3991；

第三个括号：根据等差数列通项公式：2+(1996-1)X3=5987或3991+1996=5987；第

四个括号：根据等差数列通项公式：6+(1996-1)X9=17961或3991+5987+7983=17961.

【附6】求所有加6以后能被11整除的三位数的和？

分析：110-6+121-6+…+990-6+1001-6=(110+1001)X824-2-6X82=45059.

要注意最后一个数1001,虽然是四位数，但是减去6后就是三位数，符合题目要求.

1.用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少

个立方体？

分析：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10,9,8，…，1.所以最底

层立方体数目为：(10+1)x11)+2=55.要学会正确的读图