浙江省湖州市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

浙江省湖州市2021年中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）（共10题；共30分）

1.实数-2的绝对值是（）

A.-2B.2C.ia"

【答案】B

【考点】实数的绝对值

【解析】【解答】解：实数-2的绝对值2.

故答案为：B.

【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.

2.化简V8的正确结果是（）

A.4B.±4C.2V2D.±2\[2

【答案】C

【考点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：V8=2V2.

故答案为：C.

【分析】利用二次根式的性质进行化简.

3.不等式3x—1>5的解集是（）

44

A.%>2B.%<2C.x>-D.x<-

33

【答案】A

【考点】解一元一次不等式

【解析】【解答】解：3x-l>5

3x>6

解之：x>2.

故答案为：A.

【分析】先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1.

4.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.经过红绿灯路口，遇到绿灯

B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.班里的两名同学，他们的生日是同一天

D.从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

【答案】D

【考点】事件发生的可能性

【解析】【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯，此事件是随机事件，故A不符合题意；

B、射击运动员射击一次，命中靶心，此事件是随机事件，故B不符合题意；

C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，此事件是随机事件，故C不符合题意；

D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，此事件是不可能事件，故D符合题意；

故答案为：D.

【分析】不可能事件就是在一定的条件下一定不发生的事件，再对各选项逐一判断.

5.将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是

()

【答案】A

【考点】几何体的展开图

【解析】【解答】解：根据题意可知只有A符合题意.

故答案为：A.

【分析】利用长方体的展开图中的141,可得答案.

6.如图，已知点。是△ABC的外心，NA=40。，连结BO,C。，贝此BOC的度数是()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】解：,点。是△ABC的外心,ZA=40°,

ZB0C=2ZA=2x40°=80°.

故答案为：C.

【分析】利用一条弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可求出结果.

7.已知a,b是两个连续整数，a（遍一1<b,贝ija,b分别是（）

A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,2

【答案】C

【考点】估算无理数的大小

【解析】【解答】解：

•,.0<V3-l<l

a<V3-1<b,

/.a=0,b=l.

故答案为：c.

【分析】利用估算无理数的大小，可知1〈百<2,再利用不等式的性质，可求出a,b的值.

8.如图，已知在△ABC中，ZABC<90",ABxBC,BE是AC边上的中线。按下列步骤作图：

①分别以点B,C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M,N；②过点M,N作直

线MN,分别交BC,BE于点D,0；③连结CO,DE。则下列结论褶镜的是（）

A.OB=OCB.ZBOD=ZCODC.DEIIABD.DB=DE

【答案】D

【考点】线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：...分别以点B,C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M,N,

..MN垂直平分BC,点D是BC的中点，

OB=OC,故A不符合题意；

ZBOD=NCOD,故B不符合题意；

•••BE是中线，

.,.点E是AC的中点,

」.DE是△ABC的中位线，、

DEIIAB,故C不符合题意：

1BE和BC交于点BMN垂直平分BC,

MN不可能垂直平分BE,

DBwDE,故D符合题意.

故答案为：D.

【分析】利用作图可知MN垂直平分BC,点D是BC的中点，利用垂直平分线的性质可对A作出判断；

利用等边对等角可对B作出判断；利用三角形的中线的定义可证得点E是AC的中点，由此可证得点E是

AC的中点，利用三角形的中位线定理可对C作出判断；然后根据BE和BC交于点B,MN垂直平分BC,可

知MN不可能垂直平分BE,可对D作出判断.

9.如图，已知在矩形ABCD中，AB=1,BC=V3，点P是AD边上的一个动点，连结BP,点C关于直线BP

的对称点为J,当点P运动时，点J页随之运动。若点P从点A运动到点D,则线段CCi扫过的区域

面积是

A.nB.7T+—C.—D.27r

42

【答案】B

【考点】矩形的性质，扇形面积的计算，解直角三角形，四边形-动点问题

【解析】【解答】解：连接BCi

矩形ABCD,

AB=CD=1,NDCB=90°

BD=J12+(V3)2=2

BD=2CD

ZDBC=30°,

•・,点C关于直线BP的对称点为Ci,

BCi=BC,点J在以点B为圆心，BC为半径的圆上,

ZCiBC=60°,

ZC2BCI=180°-60°=120°,△CBCi是等边三角形；

过点JJ_BC于点E,

，CiE=V3X—=-

22

・•.C1C扫过的区域如图，

2

•cc.c120nX(V3)I173方,3V3

SS++

,,-S扇形QBCz+^CBC1-———22V

故答案为：B.

【分析】如图，连接BCi,利用矩形的性质及勾股定理求出BD的长，利用解直角三角形求出NDBC的

度数，利用轴对称的性质可证得BJ=BC,点Ci在以点B为圆心，BC为半径的圆上，再证明NC2BG=120。，

△CBCi是等边三角形；然后利用三角形的面积公式及扇形的的面积公式可求出CiC扫过的区域的面积.

10.已知抛物线y=a/+bx+c(a#0)与x轴的交点为A(l,0)和B(3,0),点Pi(X1,yt),

P2(x2，y2)是抛物线上不同于A,B的两个点，记APiAB的面积为Si,AP2AB的面积为S2,。

有下列结论：①当与>型+2时，Sx>S2;②当xx<2-x2时，SKS2;③当I/一2|>|&-2|>1

时，S»S2；④当|小一2|>|上+2|>1时，SKS2O其中正确结论的个数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax八2+bx+c的性质，二次函数的实际应用-几何问

题

【解析】【解答】解：；A(1,0)和B(3,0)

抛物线的对称轴为直线x=2,

XI>X2+2,

/.XI-X2>2,

X1>X2,

只要Xi,X2之间间距大于2,点Pl和点P2是不同于A,B的两个点，

ASi和S2的大小无法确定，故①错误；

X1<C2+X2,

X1+X2V2,

・•・当X1+X2=2时，点Pl,P2在点A的两侧，且距离点A相等,

Si>S2,故②错误；

当%-2|>|x2-2|>1时，

..•点P离对称轴直线x=2远一点，且大于1,

...点Pi,P2在x轴的上方，

Si>S2,故③正确；④错误；

故答案为：A.

【分析】利用Xi>X2+2,可得到X1>X2,只要XI,X2之间间距大于2,点P1和点P2是不同于A,B

的两个点，S1和S2的大小无法确定，可对①作出判断；根据X1V2+X2,可得到X1+X2V2,由此可推出

S1>S2,可对②作出判断；利用已知条件可得到点P离对称轴直线x=2远一点，且大于1,由此可知点

Pl，P2在X轴的上方，可得到Si、S2的大小关系.

二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)(共6题；共24分)

11.计算：2x2-1=

【答案】1

【考点】实数的运算，负整数指数累的运算性质

【解析】【解答】解：2x1=1.

故答案为：1.

【分析】利用同底数基相乘，底数不变，指数相加，可得答案.

12.如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=2,贝UsinB的值是

【答案】|

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：ABC中，NACB=90°,AC=1,AB=2,

.AC1

••SlnDfi=^=2-

故答案为:

【分析】利用锐角三角函数的定义可求出sinB的值.

13.某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同。若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5

个一等奖，15个二等奖，不设其它奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是

【答案】i

【考点】概率的简单应用

【解析】【解答】解：..•若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其它奖

项，

.D5+151

••r（只抽1张奖券恰好中奖）二奇3=

故答案为：）

【分析】利用已知条件可知一共有1000种结果数，但只抽1张奖券恰好中奖的情况有20种，然后利用

概率公式可求解.

14.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A,B,C,D,E

是正五边形的五个顶点），则图中NA的度数是度

By——\——7E

CD

【答案】36

【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质

【解析】【解答】解：如图，

.•,正五角星（A,B,C,D,E是正五边形的五个顶点），

五边形FGHMN是正五边形，ZA=ZB=ZD,

ZFGH=x180°=108°,

ZA=ZB=（180°-108o）+2=36°.

故答案为：36.

【分析】利用正五边形的性质及正五角星的特点，可知五边形FGHMN是正五边形，ZA=ZB=ZD,利用

正多边形的内角和定理求出NFGH的度数，再利用三角形的内角和定理求出NA的度数.

15.已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3,4）,M是抛物线y=a/+匕％+2（a4O）

对称轴上的一个动点。小明经探究发现：当T的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形

的点M的个数也随之确定。若抛物线y=ax2+bx+2（a片0）的对称轴上存在3个不同的点M,

使4AOM为直角三角形，则5的值是

【答案】2或-8

【考点】二次函数-动态几何问题

【解析】【解答】解：以OA为直径画圆作直线li，x轴，轴于点11，且li,上与圆。'相切，

作O，D_Lx轴，

1,点A(3,4),

OA=V32+42=5

2

°D=|

3553

,OE=/a=45=1，

即E(4,0),F(-1,0)

—=4；--=-1

2a2a

/.-=-8;-=2

aa

故答案为：2或-8.

【分析】以OA为直径画圆O作直线h_Lx轴，轴于点h,且h,I2与圆O'相切，作O'D_Lx轴，

利用点A,。的坐标可求出线段OA的中点0,的坐标，可求出0D的长；利用勾股定理求出0A的长，可求

出圆的半径，再求出OE,OF的长，即可得到点E,F的坐标，即可求出b与a的比值.

16.由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为

了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）。则图

中AB的长应该是

【答案】V2.1

【考点】七巧板，勾股定理，图形的剪拼，解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，

由题意得:

3DE2=1

解之：DE=R

在RtACDE中，CD=1

EC=yjCD2-DE2=Jl2-停,_当

tan^ECD=—=—

CDEC

DT=—

2

：.AT=1~—

2

ZABT=ZTCD

tanZABT=tanZTCD,

.AT_DT

…AB-CD

,.立叵

■，__2_=_2_,

AB1

/IB=V2-1.

故答案为：V2-1.

【分析】利用已知条件求出DE的长，在R3CDE中，利用勾股定理求出EC的长，利用解直角三角形求

出DT,从而可求出AT的长；再根据tanNABT=tanNTCD,求出AB的长.

三、解答题(本题有8小题，共66分)(共8题；共66分)

17.计算:x(x+2)+(1+x)(l—x)

【答案】解：原式=X2+2X+1-X2

=2x+l.

【考点】整式的混合运算

【解析】【分析】利用单项式乘以多项式和平方差公式，先去括号，再合并同类项.

18.解分式方程：第=1

【答案】解：去分母得

2x-l=x+3,

解之：x=4

经检验x=4是原方程的根，

•••原方程的根为x=4.

【考点】解分式方程

【解析】【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解；再检验可得方程的根.

19.如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).

(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；

(2)求直线AM的解析式。

【答案】(1)解：由题意得

8+2m=0

解之：m=-4

y=2x2-4x=2(x-1)2-2

.•・点M(1,-2).

(2)解：设直线AM的解析式为y=kx+b

.(2k+b=0\

*'1/c+&=-27

六=2)

lb=—4/

直线AM的解析式为y=2x-4.

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值；可得到

函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到点M的坐标.

(2)设直线AM的解析式为y=kx+b,将点A,M的坐标代入函数解析式，，建立关于k,b的方程组，

解方程组求出k,b的值，可得到函数解析式.

20.为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A.党史宣讲；B.歌曲演

唱；C.校刊编撰；D.诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表(不完整)：

各组参加人数情况统计表

小组类别ABCD

人数(人)10a155

各组参加人数情况扇形统计图

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(1)求m的值；

(2)求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；

(3)若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示:

小组类别ABCD

平均用时(小时)2.5323

求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间。

【答案】(1)解：15+30%=50人，

m%=10+50=20%;

m=20.

(2)解：扇形统计图中D所对应的圆心角度数为：360°x^xl00%=36°；

,八10X2.5+20X3+15X2+3X5日，

(3)Wf-：-----------------------------=2.6.

答：这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间为2.6小时.

【考点】扇形统计图，加权平均数及其计算

【解析】【分析】(1)根据C的人数+C的人数所占的百分比，列式计算可求出参加的人数；再求出A的

人数所占的百分比，即可得到m的值.

(2)扇形统计图中D所对应的圆心角度数=36(TxD的人数所占的百分比，列式计算.

(3)利用加权平均数公式进行计算，可得答案.

21.如图，已知AB是00的直径，NACD是^0所对的圆周角，NACD=30。。

(1)求NDAB的度数；

(2)过点D作DELAB,垂足为E,DE的延长线交OO于点F。若AB=4,求DF的长。

【答案】(1)解：连接BD,

•••AB是直径，

ZADB=90°,

.弧AD=MAD,

ZABD=ZACD=30"

ZDAB=90°-ZABD=90°-30°=60°.

(2)解：ZABD=30",AB=4

AD=-AB=2

2

•/DE±AB,

DF=2DE,ZAED=90°

「ZADE=90°-ZDAB=90°-60°=30°,

AE=*AD=1

2

在RtAADE中,

DE=y/AD2-AE2=V4^1=V3,

DF=2V3.

【考点】含30。角的直角三角形，勾股定理，垂径定理，圆周角定理

【解析】【分析】(1)连接BD,利用圆周角定理可证得NADB=90。，再利用同弧所对的圆周角相等可求

出NABD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出NDAB的度数.

(2)利用30。角所对的直角边等于斜边的一半可求出AD的长，利用垂径定理可证得DF=2DE；再利用三

角形的内角和定理求出NADE的度数，即可求出AE的长，在RSADE中，利用勾股定理求出DE的长，即

可得到DF的长.

22.今年以来，我市接待的游客人数逐月增加。据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份

为5.76万人。

(1)求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；

(2)若该景区仅有A,B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式甲乙丙

可游玩景点ABA和B

门票价格100元/人80元/人160元/人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价

格不变时，丙种门票每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的

游客改为购买丙种门票。

①若丙种门票下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

【答案】(1)解：解：该景区游客人数平均每月增长的百分率为X,根据题意得

4(1+x)2=5.76

解之：Xi=20%,X2=-2.2(不符合题意，舍去).

答：该景区游客人数平均每月增长20%.

(2)解：①由题意得

(2-0.6)X100+(3-0.4)x80+(2+0.6+0.4)x(160-10)=140+208+450=798万.

答：若丙种门票下降10元，景区六月份的门票总收入为798万.

②设将丙种门票价格下降x元时，景区六月份的门票总收入为w元，根据题意得

w=100(2-0.06X)+80x(3-0.04X)+(160-x)(2+0.6x+0.4x)

整理得

W=-0.1X2+4.8X+760=-0.1(X-24)2+817.6

,.1a=-0.1<0,

抛物线的开口向下，

r.当x=24时，w显人值=817.6万元.

答：将丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值,817.6万元.

【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题，二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)三月份的游客人数x(1+增长率)2=五月份的游客人数，设未知数，列方程求出方

程的解.

(2)①抓住已知条件：丙种门票每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购

买乙种门票的游客改为购买丙种门票，列式计算，可求解；

②设将丙种门票价格下降x元时，景区六月份的门票总收入为w元，根据题意列出w与x之间的函数解

析式，将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质，可求解.

23.已知在AACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC,AP。

(1)如图1,若NACD=30°,ZCAD=60°,BD=AC,AP=V3,求BC的长；

(2)过点D作DEIIAC,交AP延长线于点E,如图2所示，若NCAD=60。，BD=AC,求证：BC=2AP；

(3)如图3,若NCAD=45。，是否存在实数m,当BD=mAC时，BC=2AP?若存在，请直接官由m的值;

若不存在，请说明理由。

【答案】(1)解：=NACD=30°,NCAD=60°

ZCDA=180°-ZACD-ZCAD=180°-30°-60),=90",

设AD=x,贝I]AC=BD=2x,CD=V3x

•・,点P是CD的中点

.nr»V3

一PD=——2x

在RtAAPD中

AD2+PD2=AP2

x2+-x2—3

4

解之：“巫

7

CD=y[3x—=—,BD=—

777

在RtACDB中

CD2+BD2=BC2

・"后f=2后

(2)证明：连接BE,

,/DEIIAC,

・•.ZCAP=ZDEP,

..一・.点P是CD的中点

CP=DP,

•.△CPAM△DPE(AAS)

.・.AP=EP』AE,DE=AC,

2

BD=AC,

・•.DB=DE

「DEIIAC,

ZBDE=ZCAD=60°,

△BDE是等边三角形，

BD=BE,ZEBD=60°,

•・•BD=AC,

・•.AC=BE,

・•.△CAB2△EBA(SAS)

・•.AE=BC

・•.BC=2AP.

(3)答：存在，m=y/2

【考点】三角形的综合

【解析】【解答】(3)存在，m=V2

理由：过点D作DEIIAC,叫AP的延长线于点E,连接BE,

同理可证△CP的△DPE(AAS)

AP=EP=1AE,DE=AC,

DEIIAC,

/.ZBDE=ZCAD=45°,

・「BD=V2AC=V2DE,

•'­—=-=sin/EBD

BD2

ZEBD=45°

「.△BDE是等腰直角三角形，

/.DE=BE=AC

可证得△CAB合△EBA(SAS)

/.AE=BC

BC=2AP.

【分析】(1)利用三角形的内角和定理求出NCDA=90。，设AD=x,则AC=BD=2x,CD=V3x，同时可得

至IJPD的长；在R3APD中，利用勾股定理建立关于X的方程，解方程求出X的值，可得到BD,CD的长；

在RtACDB中，利用勾股定理求出BC的长.

(2)利用平行线的性质可证得NCAP=NDEP,利用线段中点的定义可证得CP=DP,利用AAS证明

△CPA之ADPE,利用全等三角形的性质可证得AP=EP=[AE,DE=AC；再证明△BDE是等边三角形，可得到

BD=BE,NEBD=60°,可推出AC=BE,利用SAS证明△CAB2△EBA,利用全等三角形的性质可证得AE=BC,

由此可证得结论.

(3)过点D作DEUAC,叫AP的延长线于点E,连接BE,同理可证△CPA2△DPE,利用全等三角形的性

质可证得AP=EPgAE,DE=AC；再证明△BDE是等腰直角三角形，可得到BD=BE,NEBD=45。，可推出

AC=BE,利用SAS证明△CAB合△EBA,利用全等三角形的性质可证得AE=BC,由此可证得结论.

24.已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=£(x>0)图像上的一个动点，连结AO,A0的

延长线交反比例函数y=-(k>o,X<o)的图像于点B,过点A作AE_Ly轴于点E。

X

(1)如图1,过点B作BFJ.x轴于点F,连结EF,

①若k=l,求证：四边形AEF。是平行四边形；

②连结BE,若k=4,求4BOE的面积。

(2)如图2,过点E作EPIIAB,交反比例函数y=V(k>0,x<0)的图像于点P,连结OP。

X

试探究：对于确定的实数k,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

【答案】(1)①证明：当k=l时，点A,B是反比例函数y=[上的不同象限图象上的两点，

/.OA=OB,ZAOE+ZBOF=90°,

AE±y轴，BF±x轴，

/.AEIIOF,ZAEO=ZBFO=90°,ZAOE+ZEAO=90°,

/.ZBOF=ZEAO,

/.△AOE空△BOF