小学五年级奥数第5课《奇数与偶数及奇偶性的应用》试题附答案

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第5课《奇数与偶数及奇偶性的应用》试题附答案

一、基本慨念和知识

1.奇数和偶数

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除

的数叫做奇数。

_偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+l（k为整数）表

特别注意，因为。能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数士偶数=偶数，

奇数士奇数=偶数。

性质2：偶数士奇数=奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质%奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数X奇数二偶数，

奇数X奇数=奇数。

二、例题

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.

例11+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？

例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是

多少？

例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺

年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

例4已知a、b、c中有一个是5,一个是6,一个是7.求证a-1,b-2,c-3的乘积

一定是偶数。

例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数

之和不能等于999。

例6用代表整数的字母a、b,c、d写成等式组：

aXbXcXd-a=1991

aXbXcXd-b=1993

aXbXcXd-c=1995

aXbXcXd-d=1997

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无

论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-l）个开关，能否把所有

的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全

蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠

子被染上过红、蓝两种颜色。

例10如下瓦图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木’’的小

牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距

离是偶数（以米为单位），这是为什么？

例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题

给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总

和一定是偶数。

答案

二、例题

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.

例11+2+3+―+1993的和是奇数？还是偶数？

分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但

是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶

性.此题可以有两种解法。

解法1：11+2+3+…+1993

(1+1993)X1993

-----------------------=997X1993,

又：997和1993是奇数，奇数X奇数=奇数，

二原式的和是奇数。

解法2：,「1993+2=996…1,

二1~1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

;996个偶数之和一定是偶数，

又7奇数个奇数之和是奇数，

・••997个奇数之和是奇数。

因为，偶数+奇数=奇数，

所以原式之和一定是奇数。

例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是

多少？

解法L:相邻两个奇数相差2,

二150是这个要求数的2倍。

.•.这个数是150+2=75。

解法2：设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+l,2a-l（a>l）.则有

（2a+l）x-（2a-l）x=150,

2ax+x-2ax+x=150,

2x=150,

x=75o

・•・这个要求的数是75。

例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺

年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性

上，因此与总人数无关。

解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年

卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。

送贺年卡的人可以分为两种：

一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。

另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数;所有人送出

的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数T禺数=偶

数。

他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。

所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

例4己知a、b、c中有一个是5,一个是6,一个是♦求证a-1,b-2,c-3的乘积

一定是偶数。

证明：Ta、b,c中有两个奇数、一个偶数，

1.a、c中至少有一个是奇数，

.•.a-l,c-3中至少有一个是偶数。

又.：偶数X整数二偶数,

A(a-1)X(b-2)X(c-3)是偶数。

例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数

之和不能等于99%

证明：设原数为abc,设改变其各位数字顺序后得到的新数为a，b'c，。

假设原数与新数之和为999,即赤+a，b，/=999。

则有a+a'=b+b1=c+c1=9,因为9不会是进位后得到的

又因为a，、b，、c，是a、b、c调换顺序得到的，

所以a+b+c=a'+b'+c'。

因此，又有(a+a，)+(b+b1)+(c+c')=9+9+9,

即2(a+b+c)=3X9。

可见：等式左边是偶数，等式的右边(3X9=27)是奇数.偶数声奇数.因

此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得

证。

这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法

确

正,再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的

结

论,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证

法

”

例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组:

aXbXcXd-a=1991

aXbXcXd-b=1993

aXbXcXd-c=1995

aXbXcXd-d=1997

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

解：由原题等式组可知：

a(bcd-1)=1991,b(acd-l)=1993,

c(abd-1)=1995,d(abc-1)=1997。

■1991、1993,1995,1997均为奇数，

且只有奇数x奇数二奇数，

...a、b,c、d分别为奇数。

aXbXcX

.•・a、b、c,d的乘积分别减去a、b、c、幅，一定为偶数.这与原题等式

组矛盾。

不存在满足题设等式组的整数a、b,c、d»

例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无

论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转要使9只杯子口全朝

下，必须经过9个奇数之和次"翻转即“翻转”的总次数为奇数.但是，按

规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数

次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动(n-1)个开关，能否把所有

的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。

因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。

由于n是奇数，所以n个奇数的和=奇数，

因此要把所有的灯(n盏)都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。

但因为规定每次拉动n-l个开关，且n-l是偶数，

故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。

•••奇数卉偶数,

.•・当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。

当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下:

设灯的编号为1,2,3,4,…，n.做如下操作：

第一次，1号灯不动，拉动其余开关；

第二次，2号灯不动，拉动其余开关；

第三次，3号灯不动，拉动其余开关；

第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。

例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全

蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠

子被染上过红、蓝两种颜色。

证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次

染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染

红色次数为2演。

•••2m卢1987（偶数声奇数）

:•假设不成立。

至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。

例10如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块"爰护树木'’的小

牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距

离是偶数（以冰为单位），这是为什么？

解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之

间相距冰，第二棵挂牌的树与第三棵挂

起点

牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离

c=a+b（米）（如下图），如果a、b中有一个是偶数，题目己得证；如果a、b

都是奇数，因为奇数+奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。

.公……£小…

I___________八____________II___________八___________I

冰b米

咪

例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题

给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总

和一定是偶数。

解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一

道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣

偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从120里减

去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从

120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛

学生得分总和也一定是偶数.

牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离

c=a+b（米）（如下图），如果a、b中有一个是偶数，题目己得证；如果a、b

都是奇数，因为奇数+奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。

A……*卒…”/…

I___________/、____________II___________,、___________I

冰b米

冰

例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题

给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总

和一定是偶数。

解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一

道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣

偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从120里减

去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从

120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛

学生得分总和也一定是偶数.

习题五

1.有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比

偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？

2.有一串数，最前面的四个数依次是1、9,8、7.从第五个数起，每一个

数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、

9,8、8这四个数吗？

3.求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。

4.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩

形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。

5.如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通

话次数是奇数的那些人的总数为一。

（A）必为奇数，（B）必为偶数，

（C）可能是奇数，也可能是偶数。

6.一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是

奇数还是偶数。

■有12张卡片，其中有3张上面写着1,有3张上面写着3,有3张上面写着

5,有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20?为什

么？

8.有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干

次翻动后将杯子全部翻成口朝上？

9.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、

后、左、右）一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？

10.由14个大小相同的方格组成下列图形（右图），请证明：不论怎样剪

法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.

五年级奥数上册：第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用习题解答

习题五解答

L偶数至多有48个。

2.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到

答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。

3.设四个连续奇数是2n+l,2n+3,2n+5,2n+7,n为整数，则它们的

和是

（2n+l）+（2n+3）+（2n+5）+（2n+7）

=2nX4+16=8n+16=8（n+2）。

所以，四个连续奇数的和是8的倍数。

4.证明：设填入数分别为arararar有

药%a3

a5A

假设要证明的结论不成立，则有：

...偶数声奇数，..•假设不成立，命题得证。

5.应选择（B）.参考例3。

6.是偶数.参考例3。

♦不能.因为5个奇数的和为奇数，不可能等于20。

8.能.例如

第一次78910

第二次3456

第三次2345

第四次1345

9.这种交换方法是不可行的.参考例12。

10.利用黑白相间染色方法可以证明：不可能剪成由7个相邻两个方格组成

的长方形，因为图形中一种颜色有8格，另一种颜色有6格，而每个相邻两个方

格组成的长方形是一黑格一白格，7个这样的长方形共7黑格7白格.与图形相矛

盾.

附：奥数技巧分享

分享四个奥数小技巧。希望孩子早进步哦。

技巧1：培养孩子数字感

要想入门奥数，很大一部分程度上靠的就是孩子的数字感，那么我们应该如何培养孩子的数

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