研究生《数理统计》完整讲义

研究生《数理统计》完整讲义汇报人：AA2024-01-19目录contents课程介绍与基本概念描述性统计分析方法概率论基础知识回顾参数估计方法论述假设检验理论与应用方差分析与回归分析初步课程总结与拓展延伸01课程介绍与基本概念数理统计定义及作用数理统计定义数理统计是应用概率论对数据进行收集、整理、分析和推断的方法论科学。数理统计作用数理统计在自然科学、社会科学、工程技术、经济管理和生物医学等领域都有广泛的应用，是科学研究的重要工具。数据类型根据数据的特点和性质，数据类型可分为定性数据和定量数据。定性数据描述事物的属性和类别，如性别、职业等；定量数据描述事物的数量特征，如身高、体重等。数据来源数据的来源主要有观察、实验和调查三种。观察是对自然现象或社会现象进行系统的、有目的的记录；实验是在人为控制的条件下，对研究对象进行观察和测量；调查是通过问卷、访谈等方式收集数据。数据类型与来源VS统计量是用于描述样本特征的量，如样本均值、样本方差等。统计量不依赖于总体分布的具体形式，只与样本有关。抽样分布抽样分布是指样本统计量的概率分布。在数理统计中，我们常常需要研究样本统计量的性质，如期望、方差和分布等。这些性质可以帮助我们了解样本数据的特点和规律，进而对总体进行推断。常见的抽样分布有正态分布、t分布、F分布和卡方分布等。统计量统计量与抽样分布02描述性统计分析方法用于展示数据分布情况，帮助识别数据的中心趋势、离散程度和异常值。频数分布表通过矩形面积表示频数分布，直观展示数据的形状、中心和离散程度。直方图用于展示时间序列数据或表示数据随某个变量的变化趋势。折线图通过点的分布展示两个变量之间的关系，帮助识别变量间的相关性和趋势。散点图数据图表展示所有数据之和除以数据个数，反映数据的“平均”水平。算术平均数将数据按大小排列后位于中间的数，反映数据的“中等”水平。中位数出现次数最多的数，反映数据的“典型”水平。众数集中趋势度量123最大值与最小值之差，反映数据的波动范围。极差各数据与平均数之差的平方的平均数，反映数据的离散程度。方差方差的平方根，用于比较不同数据集之间的离散程度。标准差离散程度度量描述数据分布偏斜方向和程度的统计量，正偏态表示数据向右偏斜，负偏态表示数据向左偏斜。描述数据分布尖峭或扁平程度的统计量，正峰态表示数据分布尖峭，负峰态表示数据分布扁平。偏态与峰态描述峰态系数偏态系数03概率论基础知识回顾事件定义在一定条件下，并不总是发生（或说未必发生）的现象称为随机事件，简称事件。概率定义设E是随机试验Ω的某个事件，若存在实数P(E)，满足以下性质：非负性、规范性、可列可加性，则称P(E)为事件E的概率。事件与概率定义在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B)。若两事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。条件概率独立性条件概率与独立性分布函数定义设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数F(x)=P{X≤x}为X的分布函数。常见分布离散型分布（如二项分布、泊松分布等）和连续型分布（如正态分布、指数分布等）。随机变量定义设随机试验的样本空间为S，若对于任意x∈R，存在一个实数X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量，简记为X。随机变量及其分布期望、方差和协方差期望定义设离散型随机变量X的分布列为P{X=x_k}=p_k,k=1,2,...，若级数∑x_kp_k绝对收敛，则称该级数的和为X的数学期望，记作E(X)。方差定义设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记作D(X)或Var(X)。协方差定义设X和Y是两个随机变量，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X和Y的协方差，记作Cov(X,Y)。04参数估计方法论述点估计是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。点估计原理点估计的评价标准包括无偏性、有效性和一致性。无偏性是指估计量的期望值等于被估计的总体参数；有效性是指对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小方差的估计量更有效；一致性是指随着样本量的增加，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。评价标准点估计原理及评价标准区间估计原理及构造方法区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。区间估计原理构造置信区间的一般步骤是：首先构造一个包含总体参数的随机区间，然后依据该随机区间的分布规律，确定置信水平下的置信区间。具体构造方法包括枢轴量法、大样本法等。构造方法正态总体均值估计对于正态总体，通常采用样本均值作为总体均值的点估计，同时可以利用样本标准差和样本量构造总体均值的置信区间。正态总体方差估计对于正态总体方差的估计，通常采用样本方差作为点估计。在构造方差置信区间时，需要利用卡方分布的性质。正态总体均值和方差估计非正态总体均值和方差估计对于非正态总体，如果样本量足够大，根据中心极限定理，样本均值的分布近似正态分布，因此可以采用类似正态总体的方法进行均值和方差的点估计和区间估计。要点一要点二非参数方法当总体分布未知或不符合正态分布假设时，可以采用非参数方法进行参数估计。常见的非参数方法包括核密度估计、最近邻方法等。这些方法不需要对总体分布做出具体假设，因此具有更广泛的适用性。非正态总体参数估计05假设检验理论与应用假设的设立根据实际问题，设立原假设$H_0$和备择假设$H_1$，明确检验的目的。检验统计量的选择根据假设检验的目的和样本数据的特点，选择合适的检验统计量。显著性水平的确定根据问题的实际背景和要求，确定显著性水平$alpha$。假设检验基本原理和步骤030201拒绝域的确定根据显著性水平和检验统计量的分布，确定拒绝域的形式和范围。样本数据的收集与处理按照抽样分布的要求，收集样本数据并进行必要的预处理。检验统计量的计算根据选择的检验统计量和样本数据，计算检验统计量的值。检验决策将计算得到的检验统计量的值与拒绝域进行比较，作出是否拒绝原假设的决策。假设检验基本原理和步骤单个正态总体均值的检验当总体服从正态分布$N(mu,sigma^2)$，其中$mu$和$sigma^2$均未知时，可以通过样本均值$bar{x}$对总体均值$mu$进行检验。常用的检验方法有$Z$检验和$t$检验。单个正态总体方差的检验当总体服从正态分布$N(mu,sigma^2)$，其中$mu$已知而$sigma^2$未知时，可以通过样本方差$s^2$对总体方差$sigma^2$进行检验。常用的检验方法有$chi^2$检验。单个正态总体参数检验当两个总体分别服从正态分布$N(mu_1,sigma_1^2)$和$N(mu_2,sigma_2^2)$，其中$mu_1$、$mu_2$、$sigma_1^2$和$sigma_2^2$均未知时，可以通过样本均值差$bar{x}_1-bar{x}_2$对总体均值差$mu_1-mu_2$进行检验。常用的检验方法有$Z$检验、$t$检验和配对$t$检验。两个正态总体均值差的检验当两个总体分别服从正态分布$N(mu_1,sigma_1^2)$和$N(mu_2,sigma_2^2)$，其中$mu_1$、$mu_2$已知而$sigma_1^2$和$sigma_2^2$未知时，可以通过样本方差比$s_1^2/s_2^2$对总体方差比$sigma_1^2/sigma_2^2$进行检验。常用的检验方法有$F$检验。两个正态总体方差比的检验两个正态总体参数比较检验$chi^2$拟合优度检验用于检验一个分类变量是否服从指定的分布。通过计算实际观测频数与理论期望频数之间的$chi^2$统计量，判断实际分布与理论分布之间的差异是否显著。用于检验一个连续型随机变量是否服从指定的分布。通过比较样本数据的累积分布函数与理论分布的累积分布函数之间的差异，判断样本是否来自指定的总体分布。用于检验两个配对样本数据之间的差异是否显著。通过对正负差值的个数进行计数，判断两个样本数据之间是否存在显著差异。用于检验两个独立样本数据之间的差异是否显著。通过对样本数据的秩进行求和并比较，判断两个样本数据之间是否存在显著差异。$K-S$检验符号检验秩和检验非参数假设检验方法06方差分析与回归分析初步方差分析原理方差分析是一种通过比较不同组别间均值差异来检验总体均值是否存在显著差异的统计方法。它基于方差的可加性原理，将总方差分解为组内方差和组间方差，通过比较两者的大小来判断组别间是否存在显著差异。应用场景方差分析广泛应用于医学、社会科学、经济学等领域。例如，在医学研究中，可以通过方差分析比较不同治疗方法对患者病情的影响；在社会科学中，可以比较不同文化背景对个体行为的影响；在经济学中，可以比较不同政策对经济发展的影响。方差分析原理及应用场景一元线性回归模型建立一元线性回归模型是用于描述两个变量之间线性关系的统计模型。建立该模型需要确定自变量和因变量，并通过最小二乘法等方法估计模型参数，得到回归方程。模型检验对于建立的一元线性回归模型，需要进行统计检验以评估模型的拟合效果和预测能力。常用的检验方法包括F检验、t检验、R方值等。通过这些检验可以判断模型是否显著、变量是否相关以及模型的解释力度等。一元线性回归模型建立与检验VS多元线性回归模型是用于描述多个自变量与一个因变量之间线性关系的统计模型。与一元线性回归模型类似，多元线性回归模型也需要通过最小二乘法等方法估计模型参数，得到回归方程。注意事项在建立多元线性回归模型时，需要注意自变量之间的共线性问题，以避免对模型估计造成不良影响。此外，还需要考虑模型的适用条件，如误差项的独立性、同方差性等。多元线性回归模型多元线性回归模型简介逻辑回归是一种用于解决二分类问题的统计方法，它通过引入逻辑函数将线性回归模型的输出转换为概率值，从而实现分类目的。逻辑回归模型的参数估计通常采用最大似然估计法。逻辑回归模型广泛应用于信用评分、医学诊断、市场营销等领域。例如，在信用评分中，可以利用逻辑回归模型预测借款人违约的可能性；在医学诊断中，可以判断某种疾病发生的概率；在市场营销中，可以预测客户购买某种产品的可能性。逻辑回归模型应用场景逻辑回归模型在分类问题中应用07课程总结与拓展延伸关键知识点回顾总结概率论基础包括事件、概率、条件概率、独立性等基本概念，以及常见的离散和连续型随机变量及其分布。统计量及其分布介绍了统计量的定义、性质和常见的统计量，如样本均值、样本方差、样本矩等，以及它们的分布和渐近性质。参数估计详细阐述了参数估计的基本思想和方法，包括点估计和区间估计，以及评价估计量好坏的标准，如无偏性、有效性、一致性等。假设检验介绍了假设检验的基本原理和步骤，包括原假设和备择假设的设立、检验统计量的选择、显著性水平的确定和拒绝域的划定等。医学领域在医学研究中，数理统计被广泛应用于临床试验设计、数据分析、疾病预测等方面。例如，通过随机对照试验评估新药的疗效和安全性，利用回归分析探索疾病与基因、环境等因素的关系。金融领域数理统计在金融风险管理、投资组合优化、股票价格预测等方面发挥着重要作用。例如，利用时间序列分析预测股票市场的波动趋势，通过蒙特卡罗模拟评估金融衍生品的价值。工程领域在工程实践中，数理统计可用于质量控制、可靠性分析、优化设计等方面。例如，利用质量控制图监控生产过程中的异常波动，通过可靠性分析预测产品的寿命和故障率。数理统计在实际问题中应用举例高维数据统计随着大数据时代的到来，高维数据统计成为研究