应用概率统计课后习题答案(张国权-主编)2

习题一解答

1.设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C及其运算符号表示出来:

(1)A发生，B、C不发生；

(2)A、B不都发生，C发生；

(3)A、B中至少有一个事件发生，但C不发生；

(4)三个事件中至少有两个事件发生；

(5)三个事件中最多有两个事件发生；

(6)三个事件中只有一个事件发生.

解(1)(2)(3)(4)

(5)(6)

2.袋中有15只白球5只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只.设A表示“第i次取

到白球"(i=l,2,3,4),B表示“至少有3次取到白球”.试用文字叙述下列事件：

(1)，(2),(3),(4).

解(1)至少有一次取得白球

(2)没有一次取得白球

(3)最多有2次取得白球

(4)第2次和第3次至少有一次取得白球

3.设A、B为随机事件，说明以下式子中A、B之间的关系.

⑴AB=A(2)AB=A

解(1)(2)

4.设A表示粮食产量不超过500公斤，B表示产量为200-400公斤，C表示产量低于300

公斤，D表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事件：

(1),(2),(3),(4),(5).

解：(1);(2)(3)(4)(5)

5.在图书馆中任选一本书，设事件A表示“数学书”，B表示“中文版”，C表示“1970

年后出版”.问：

(1)ABC表示什么事件？

(2)在什么条件下，有ABC=A成立？

(3)B表示什么意思？

(4)如果=B，说明什么问题？

解(1)选了一本1970年或以前出版的中文版数学书

(2)图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书

(3)表示1970年或以前出版的书都是中文版的书

(4)说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书

6.互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系.

(1)XV20与X》20；

(2)X>20与X<18；

(3)X>20与XW25；

(4)5粒种子都出苗与5粒种子只有一粒不出苗；

(5)5粒种子都出苗与5粒种子至少有一粒不出苗.

解(1)对立；(2)寿；(3)相容；(4)互斥；(5)对立

(古)7.抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率.

解：

(古)8.在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有55个，现从26个英文

字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率.

解：0.0846

(古)9.把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？

解：首先将指定的三本书放在一起，共种放法，然后将进行排列，共有种不同排列方法。

故0.067

(古)10.电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共

10个数字中的任何一个数字(不考虑电话局的具体规定)，求：

（1）电话号码中6个数字全不相同的概率；

（2）若某一用户的电话号码为283125,如果不知道电话号码，问一次能打通电话的概

率是多少？

解：（1）,⑵

（古）11.50粒牧草种子中混有3粒杂草种子，从中任取4粒，求杂草种子数分别为0,1,

23粒的概律

解：

（古）12.袋内放有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和

超过一角的概率.

解：设为事件“钱额总和超过一角"，则=｛两个五分其余任取3个+一个五分3个两分一个

-分+一个五分2个两分2个一分｝,故：=0.5

（古）13.10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.

解：，或=0.53

（古）14.求习题11中至少有一粒杂草种子的概率.

解：本题与11解法有关，即为

（几）15.有一码头，只能停泊一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在0道T小时这段时间内等

可能地到达这个码头，到后都停小时.，求两船不相遇的概率.

解：设分别为甲、乙船到达码头的时刻，A为事件“两船相遇则

，O

所求概率为

（几）16.（蒲丰投针问题）设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线。向此平面

上投一枚质地均匀的长为21a〈a）的针，求针与直线相交的概率。

解：设为针的中点到最近•条直线的距离为针与直线的夹角，则

,,于是有

17.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,求现在20岁的这

种动物能活到25岁的概率。

解：设A为该动物能活到20岁，B为能活到25岁，贝IJ,已知，所求概率为

18.由长期统计资料表明，某一地区6月份下雨（记为事件A）的概率为4/15,刮风（记

为事件B）的概率为7/15,既下雨又刮风的概率为1/10,求

解：由条件概率公式知

19.为防止意外，在矿内设有两种报警系统，单独使用时，系统A有效的概率为0.92,

系统B有效的概率为0.93,在系统A失灵的条件下，系统B有效的概率为0.85,求:

（1）发生意外时:这两种系统至少有一个系统有效的概率.

（2）系统B失灵的条件下，系统A有效的概率.

解：由题意。

（1）所求概率为：

其中：

（2）所求概率为

其中

20.100件产品中有10件次品，用不放回的方式从中每次取1件，连取3次，求第三次

才取得正品的概率.

解：设第三次才取得正品的概率为A,样本空间为

所以

（条件）21.在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.4；若乙机未被击落,

就进行还击，击落甲机的概率为0.5；若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概

率为0.6.求在这几个回合中

(1)甲机被击落的概率；

(2)乙机被击落的概率.

解：设A为甲机第一次被击落，为乙机第次被击落，这里互不相容。依题义有

(1)所求概率为

(2)所求概率为，其中

故所求概率为

(全概)22.一个袋子中装有6只白球，4只黑球，从中任取一只，然后放回，并同时加进

2只与取出的球同色的球，再取第二只球，求第二只球是白色的概率.

解：设A为“第一次取得白球”，B为“第二次取得白球”(共4白2黑)，则

23.10张娱乐票中有4张电影票，10个人依次抽签.问第一个人与第二个人抽到电影

票的概率是否相同？

解：设为事件“第个人抽到电影票”，则

24.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号"和“一”，由于通信系统受到干扰，

当发出信号“时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信号“和“一”，I群,

当发报台发出信号“一”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“一”和“.求

(1)收报台收到信号"的概率.

(2)当收报台收到信号"时，发报台确系发出信号”的概率.

解：设A,B分别为发出和接受信号分别为发出和接受信号则依题意有

(1)所求概率为

(2)所求概率为

25.某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品，两车间产品的次品率分别为0.03和0.02,

生产出来的产品放在一起，且知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，求：

(1)该厂产品的合格率；

(2)如果任取一个产品，经检验是次品，求它是由甲车间生产的概率.

解：设分别为甲、乙车间生产的产品，B为次品，则依题义有

(1)所求概率为

(2)所求概率为

26.在习题20中，若第二只取到的是白球，问第•只球是白球的概率大还是黑球的概率大？

解：已知第二只球是白球的概率

假设第一只球是白色时为事件，第一只球是黑球时为事件

所以

乂因为是对立事件，而且事件B对都无影响

所以第一只球是白球的概率大

27.两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.9,乙击中的概率为0.8.求

(1)目标被击中的概率；

(2)两人都击中的概率；

(3)甲中、乙不中的概率；

(4)甲不中、乙中的概率.

解：A为甲击中，B为乙击中，贝IJA,B独立，且所求概率分别为

(1)

(2),

(3)

(4)

28.加工一个零件要经过三道工序，各道工序的合格率分别为0.95,0.9,0.85,设各道

工序是否合格是独立的，求加工出来的零件的合格率.

解：设分别表示第一，第二，第三道工序出现的合格品，则依题意

相互独立，且

又设A表示加工出来的零件是合格品，则

所以

29.某厂用两种工艺生产一种产品，第一种工艺有三道工序，各道工序出现废品的概率为

0.05,0.1,0.15；第二种工艺有两道工序，各道工序出现废品的概率都是0.15,各道

工序独立工作.设用这两种工艺在合格品中得到优等品的概率分别为0.95,0.85.试比较

用哪种工艺得到优等品的概率更大？

解：第一道工序的合格率为，优等品率为

第二道工序的合格率为，优等品率为

30.三个人独立地破译--个密码，他们能单独译出的概率分别为，，.求此密码被译出的概

率.

解：设A,B,C分别为甲、乙、丙三人能单独译出的事件，则A,B,C相互独立，所求概

率为

代入数据即可。

或

考虑逆事件的概率：

31.某动物的成活率为60%,现饲养5只，设各动物是否成活互不影响，求：（1）恰有2只

成活的概率；（2）至少有2只成活的概率.

解：设A为动物能成活，则设为5只中的成活数，则，其中

（1）所求概率为

（2）所求概率为

32.某单位有12台个人计算机，各计算机是否被使用是独立的.设计算机的使用率为

0.7,求在同一时刻有9台或更多计算机在使用的概率.

解：设A为事件“计算机被使用”则，设X为同时使用的计算机数目，则，所求概率为

33.爱滋病普查使用一种血液试验来检测人体内是否携带爱滋病病毒.设这种试验的假

阴性比例为5%(即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴性)，假阳性比例为1%(即在

不携带病毒的人中，有1%的试验结果为阳性).据统计人群中携带病毒者约占1%。，若某人

的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率.

解：设A为检查为阳性，B为携带病毒，求。已知，，由贝叶斯法则有

习题二解答

1.五张卡片上分别写有号码1,2,3,4,5。随即抽取其中三张，设随机变量X表示取出

三张卡片上的最大号码。

(1)写出X的所有可能取值；(2)求X的分布率。

解(1)显然是：3,4,5。

(2)X的分布律

X345

P0.10.30.6

2.下面表中列出的是否时。某个随机变量的分布律

(1)

X135

P0.50.30.2

(2)

X123

P0.70.10.1

答(1)是

(2)不是

3.一批产品共有N件，其中M件次品。从中任意抽取n(n<=M)件产品，求这n件产品中次

品数X的分布律。(此分布律为超儿何分布)

解：抽取n件产品的抽法有种，抽取到次品的抽法有种，所以所求概率为：

P=,k=0,1,2,3...n

4.设随机变量X的分布律为P={X=k}=,k=l,2,3,4,5.

求(1)P{X=1或X=2}；(2)P{};(3)P{}.

解(1)P{X=1或X=2}=P{X=1}+P{X=2}==°

(2)P{}=P{}=P{X=1}+P{X=2}==°

(3)P{}=P{X=1}+P{X=2}==。

5.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。从该批产品中每次任取一件，在下列两种

情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X的分布律。

(1)每次取后不放回；(2)每次取后放回。

解⑴

X1234

p

⑵(=1,2,•••)

6.某射手每发子弹命中目标概率为0.8,现相互独立地射击5发子弹，

求(1)命中目标弹数地分布律；(2)命中目标的概率。

解(1)设X为命中目标的弹数，则其分布律为

P{X=K}=,(k=0,1,2,3,4,5).

(2)P{命中目标}=1-P{X=O}=1-=0.99968

7.设随机变量X服从泊松分布P(),且P{X=l}=P{X=2},求P{X=4}.

解：由P{X=1}=P{X=2}得：e=e解得：=2或=o(舍弃)。

故：p{x=4}=e=e

8.设随机变量X的分布律为：

(1)P{X=k}=k=l,2,.....N

(2)P{X=k}=a,k=0,1,2,......

试确定常数a

解(1)由=1得：N*=1,解得：a=l

(2)由=1得：=1,解得：a=e

9.某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响。如果每台设备发生故障得概率是0.01

且一台设备的故障可由•个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故

障但不能及时维修的概率小于0.01(利用泊松定理近似计算)。

解：设X为发生故障设备得台数，则，即X近似服从参数为的poisson分布。设设备需

要N个人看管“才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01”,则

查表得

10.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ce(Yx<+),求：

(1)常数c;(2)X落在区间(0,1)内的概率；(3)P{}

解(1)因为+=1

B|J：+=i,ce=l,解得：C=

⑵P{}===

(3)P{}=P{}=+

=+=e

u.设随机变量x的密度函数为，求

(1)常数c;(2)P{0.3<X<0.7};(3)常数a,使得P{X>a}=P{X〈a);(4)常数b,使得

P{X>b}=0.64;(5)X分布函数。

解：⑴=++

=cxdx

=1

所以，解得

C=2

(2)P{0.3<X<0.7}=2xdx

=0.49-0.09

=0.4

⑶由得：

当a<0时，，

当a>1时，

故，a不可能小于0或大于1；

当OWaWl时，

所以，，即得：a=

(4)由题设可知，b的取值范围为：OWbWl

，所以b=0.6

(5)当x<0时，F(x)=O；当OWxWl时，F(x)=

当x〉1时,F(x)=

12.解:

由题设可知，把X的分布函数的取值范围分为四段:

当xWT时，F(x)=0；

当T<xW0时，F(x)=；

当0<xW1时，F(x)=

当x>1时，F(x)=l

13.解：

(1)P{X2}-F(2)-1-e-2=0.8647；

P{X>2}=1-P{X2)=1-0.8647=0.1353；

(2)设X的密度函数为f(x).

当X<0时,f(x)==0；

当X♦0时，f(x)=；

14.解:

(1)=1；即：①；

=0；即：②；

由①②式得：A=,B=

(2)P{-1WX<1}=F⑴-F(T)=(+X)-(-X)=

(3)X的密度函数：

f(x)=

,0

15.解：当x〈时,F(x)==0；

当WxW时，F(x)====(sinx+1)

当x>时，F(x)====l

图如下：

题15的图:

16.解：

(1)由得，

所以，

(2)因为P{X>a}=l-P{X<a}==

所以，

17.解：设乘客候车时间为X分。由于乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，且公共汽

车每隔5分钟通过车站一次，所以，X在区间［0,5］内均匀分布。所以X的密度函数为

所以，乘客候车时间不超过3分钟的概率为：=0.6

18.解：

因为X在［-2,5］上服从均匀分布，所以，X的密度函数为:

而要方程有实根，则要求△=,即得：X<-1或X22

即，方程有实根的概率为：P{X这-1}+P{X22}=

19.解:

(1)=0.9996

(2)

20.解：

(1),所以

查表可得：k的最大取值为：k=1.28

(2),所以

查表可得：k的最大取值为：k=-1.65

21.解：

由题设得：，即：，即:

查表得：=0,所以c=3

22.解⑴

即；查表并计算得：=303

（2）

查表并计算得：=606

23.解：要该种配件是合格品，那么，该配件的长度X的范围应该在：9.93WXW10.17（单

位：cm）

所以，生产该种配件是合格品的概率为：

查表得：，所以概率为：0.9546

24.解:

X-2024

X+20246

1-X31-1-3

X240416

P

25.解：因为Y=1—X是严格单调的函数，所以:

当OVyVl时,即，OVxVl时,

当Y为其他值时，即，X在区间（0,1）外时，

所以：Y=l—X的密度函数为：

或.

解Y=l-X的分布函数为

其中是的分布函数，它满足

而

26.解：

(1)由题设可得:

(2)由(1)可知误差的绝对值不超过150cm的概率为：p=0.81855

那么在三次测量中至少有一次的概率：

(3)由题设可得:

习题四解答

1.解：由数学期望的定义知：

因为

53511

X-1012

P0.20.30.40.1

所以

3511

P0.30.60.1

从而由期望和方差的定义知:

=0.84

2.解：甲品种母猪产仔的期望为

=11.39

乙品种母猪产仔的期望为

=11.92

由于，因此乙种母猪平均产仔数多。

3.解：设在取得合格品以前已取出的废品数为X,

则X的可能取值为0,1,2,3

且

则其分布率为

X0123

P

4.解：设孵出小鸡的个数为X,则

==2.12

5.解：(D)

⑵

6.解：=

=1500

7.设测量真实值为Y,则，故X=Y-(m+0.5)

此时候，，且Y在［叫/1］之间是均匀分布，因为取每一个点的可能性相同，于是故

8.(1)由规范性

(2)

9.

=0

=1+1

=2

10.解：山题意有

按定义有

由公式

11.解：设球的直径为，则,

所以

又因为球的体积为

所以

12

13.解：由期望的性质和题设条件知

(1)

-+

⑵

=1+0-=

14.解：由期望的定义得

由公式有

而

所以

于是

(1)

(2)

(15)略

(16)

(17)

(18)

(19)

20.D(X)=25,D(Y)=36,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)

cov（x,y）

P(X,Y)

JD（X）D（Y）

故cov(X,y)=p(X,Y)y]D(X)D(Y)=5x6x0.4=12

从而。(X+¥)=25+36+12=85

21.

22.

23设X表示良种的粒数,则

24.设所求为a,则

25.设不发芽种子数为X,则p=0.2.(注意不发芽的概率为1—0.8)

26.设X为不短于3m的木柱的数目,注意到长度不少于3m的目住的概率为p=0.80

题目要求至少有30根木柱短于3m,相当于求至多有70根木柱长于3nl的概率，故

27.设X表示每毫升血液所含白细胞数，则

28.设X表示虫食豆的数目，则

29.设要配置a条外线才满足题目要求，X为200台分机某时刻使用的外线数目，则

30.设该10000人中每年的死亡人数为X

(1)要使得亏本,必须1000X>120000,即x>120,故

(2)

31.设X表示有这种血液的人数，则

32.设X表示1万个件中的次品数，则

习题五解答

2解：

3解：即

查表得

4解：依题意

5解：依题意，由标准正态分布和的关系知:

同理可得,由的可加性知：

6解：查表可得(1)

(2)(3)

(4)(5)

(6)(7)F

(8)F(9)F

7解：依题意可得

,由标准正态分布和分布之间的关系知：

(2)由定理5.2可得，当，…来自总体的样本，则有

8解(1)根据定理5.1有

P{S>2.9}=P{>}=P(查表得)

(2)根据定理5.1有

定理5.3的证明:

由于

习题六解答

2、解：由例3(P114)知:的矩法估计分别为

代入数据得样本均值为：

且

于是的矩估值分别为2809,1206.8

3、解：似然函数为

对其求对数得：

求导，并令其为0

解得:

(即为的极大似然估计)

4、解：因为，可知样本均服从N(u,l)

所以是的无偏估计量。

于是

即的无偏估计量方差较小。

5、解：设总体，因为总体方差已知，所以总体均值的置信水平为的置信区间为

()

又已知n=25,(样本均值)，，从而得

故得

得置信下限为：

得置信上限为：

故的置信水平为95%的置信区间为(480.4,519.6)

9、解：(1)U的置信水平为0.95的置信区间长度为，即

•••要使置信区间长为5,则令

(2)若置信水平为99%,则有，即

11、解：因为总体方差未知，所以用样本方差来代替总体方差。从而总体均值的置信水平为

的置信区间为

()

期，，n=6,

从而

代入数据得：的置信水平为95%的置信区间为

(218.5-2.571X9.88,218.5+2.571X9.88)

即

(193,244)

12、解：因为总体方差未知，所以用样本方差来代替总体方差。从而总体均值的置信水平为

的置信区间为

()

翱，，n=81,s=15.3,

代入数据得：的置信水平为95%的置信区间为

()

即(95.2,101.8)

13、解：当总体均值未知时，总体方差的置信水平为的置信区间为

()

其中，，n=10,查表得:，。

代入数据得总体方差的置信水平为95%的置信区间为

(653.92,4607.26)

习题七解答

1、由经验知某零件重量,，，技术革新后，抽出6个零件，测得重量为(单位：g)

14.715.114.815.015.214.6

已知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15g()?

解：此题是正态总体方差已知时，关于总体均值的双侧检验，故采用U检验。

假设

因为已知，故应选择统计量

又，且，所以查正态分布表得，故拒绝域为

由题设条件知：n=6,,样本均值为

于是统计量得观测值

即落在拒绝域中，故否定，即认为平均重量不为15g.

5、已知健康人的红血球直径服从均值为的正态分布，今在某患者血液中随机测得9个红血

球的直径如下：

7.89.07.17.68.57.77.38.18.0

问该患者红血球平均值与健康人的差异有无统计意义()?

解：由于方差未知，所以采用T检验。

假设：

由题中数据得：

样本均值：

样本方差：

从而

于是检验统计量

当时，自由度n—1=8,查t分布表得，于是得拒绝域为

因为落在拒绝域内，所以拒绝，即该患者红血球平均值与健康人的差异在卜.有统计意义。

习题八解答

1、今有不同温度处理的鱼卵胚胎发育速度（从受精到孵化所需时间）数据如下表，试做方

差分析。

处理温度胚胎发育速度数4

21C128129132130134

23C123125126127128

25C99100102110105

27C8688909395

29C7675788081

解:

处理温度胚胎发育速度数据

21C128129132130134653130.6

23C123125126127128629125.8

25C99100102110105516103.2

27C868890939545290.4

29C767578808139078

>2640105.6

假设鱼卵胚胎发育速度服从方差相等的正态分布，依题意，，它们在不同温度下，发育速度

均值分别为。（1）需检验假设

（2）首先计算离差平方和自由度

于是

自由度:

(3)列出方差分析表

方差来源平方和自由度均方和F值F临界值

组间1015842539.5259.13**

组内196209.8

总和1035424

(4)因为F=259.13**>F0.05(4,20),故拒绝H。，即不同温度对鱼卵胚胎发育速度的影响有

统计意义。

2、A、B、C三种饲料喂猪，得一个月后每猪所增体重(单位：500g)于下表，试作方差分

析。

饲料增重

A51404348

B232526

C2328

解:

饲料增重

A5140434818245.5

B2325267424.7

C23285125.5

T=30734.11

依题意有,，假设在不同的饲料下，一个月所增体重均值为。

(1)需检验假设

(2)首先计算离差平方和自由度

于是

自由度:

(3)列出方差分析表

方差来源平方和自由度均方和F俏.F临界值

组间934.722467.3631.10*

*

组内90.17615.028

总和1024.89