陕西省商南县2023年高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a=5*,）=log46,c=logs2，则a,4。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

2.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120。，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在

背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度

为（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

3.已知曲线f=4y,动点P在直线y=-3上，过点P作曲线的两条切线4,4,切点分别为A6,则直线截圆

/+/-6乃5=0所得弦长为（）

A.百B.2C.4D.26

22

4.抛物线（“2=2川的焦点/，是双曲线°,三一上一=/（0<机</）的右焦点，点/受曲线的交点，点。在抛物线的

2m1-m

准线上，/EPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线g的离心率为（）

A.小+1B.2小+3C.2•-3D.24Td+3

5.已知角a的终边经过点（3,T）,则sina+」一=

cosa

137

A.—B.—

515

3713

C.—D.—

2015

6.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱

离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其

中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率

见下表：

实施项目种植业养殖业工厂就业服务业

参加用户比40%40%10%10%

脱贫率95%95%90%90%

那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的()

7.已知条件条件4：直线x-ay+l=0与直线x+a2y-1=0平行，则P是4的()

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

8.若(l+ax)(l+x)5的展开式中的系数之和为一］0,则实数"的值为()

A.-3B.-2C.-1D.1

9.若复数Z满足Z—6(l+z)i=l,复数E的共扼复数是三，贝lJz+I=()

1万

A.1B.0C.-1D.—z

22

10.给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

11.曲线y=(ox+2)e'在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+8,贝！|,由=()

A.-4B.-8C.4D.8

12.已知三棱柱ABC-4与G的所有棱长均相等，侧棱44,，平面ABC,过4片作平面a与BQ平行，设平面。与

平面ACC|A的交线为/,记直线/与直线AB,BC,CA所成锐角分别为a,/?,则这三个角的大小关系为()

A'

B

A.a>y>(3B.a=p>y

C.y>p>aa>0=y

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛an｝的前〃项和为S”,q=l,且满足S„=，贝！］数歹!j｛Sn｝的前10项的和为.

JT

14.在AABC中，(A8—/LAC)，8C(X>1)，若角A的最大值为工，则实数2的值是_____.

6

15.r3(》+2)6的展开式中的常数项为.

16.电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄

傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约

甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为A,8,C,。的四张电影票放在编号分别为1,2,

3,4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：

甲说：第1个盒子里放的是3,第3个盒子里放的是C

乙说：第2个盒子里放的是8,第3个盒子里放的是。

丙说：第4个盒子里放的是。，第2个盒子里放的是C

丁说：第4个盒子里放的是A，第3个盒子里放的是C

小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”

可以预测，第4个盒子里放的电影票为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=alnx+L

(1)讨论“X)的零点个数；

(2)证明：当时，

18.(12分)已知x,y,z均为正数.

(1)若盯VI,证明:|x+z|-\y+z\>4xyz；

xyz1

(2)若--------=-,求2以2此2双的最小值.

x+y+z3

InY4-nx

19.(12分)已知函数/(x)=---,asR

e

(D若函数y=/(x)在x=$(ln2(/<ln3)处取得极值1,证明：

m2m3

(2)若/(x),,x-L恒成立，求实数。的取值范围.

20.(12分)如图，在直棱柱ABC。—4与G2中，底面A8CO为菱形，AB=BD=2,=2,BO与AC相

交于点E,4。与A2相交于点。.

(1)求证：4。，平面852。；

(2)求直线06与平面。gA所成的角的正弦值.

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线£：»2=22*(。＞0)的焦点为/，准线为/,P是抛物线上E上

一点，且点P的横坐标为2,户目=3.

(1)求抛物线£的方程；

(2)过点尸的直线团与抛物线E交于A、8两点，过点尸且与直线加垂直的直线"与准线/交于点M,设AB的

中点为N,若。、MN、尸四点共圆，求直线加的方程.

22.(10分)如图，在正四棱锥P-A3CD中，底面正方形的对角线AC,8。交于点。且Ol’AA

2

(1)求直线成与平面PC。所成角的正弦值;

(2)求锐二面角3—P£)—C的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据指数函数的单调性，可得a=51〉l,再利用对数函数的单调性，将反。与对比，即可求出结论.

【详解】

1L1

5

由题知a=5>5°=1,1>^=log4\5>log42=—,

c=log2<log石=；,

55则a>6>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题“

2.B

【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.

【详解】

因为弧长比较短的情况下分成6等分，

所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，

故导线长度约为2孑4X30=20万“63(厘米).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.

3.C

【解析】

设,不孕,8卜，手|，尸。，-3),根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P点坐标代入切线

方程，抽象出直线方程，且过定点为己知圆的圆心，即可求解.

【详解】

圆x2+y2_6y+5=0可化为*2+()_3)2=4.

（2\（2\

设A知一,8々，?，P。，-3）,

I4JI-4j

则/”4的斜率分别为人吟,白吟,

所以44的方程为4：y=5（x—x）+手，即X，

^2：y=y（^-^2）+Y即y遣％一%,

-3=2”

由于4,4都过点p。,-3）,所以彳'

_3=?.一%

2•

即4（尤］,凹）,3（马,必）都在直线-3=会-y上，

Y

所以直线AB的方程为一3=5/一》，恒过定点（。，3）,

即直线过圆心（0,3）,

则直线A3截圆f+/一6y+5=0所得弦长为4.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.

4.A

【解析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心

率.

【详解】

由题意知，抛物线焦点厂（/,0）,准线与x轴交点/4_/,0力双曲线半焦距c=/,设点口",切/EP0是以点为直角顶点

的等腰直角三角形，即I尸尸|=宙。|,结合/，点在抛物线上，

所以抛物线的准线，从而即」.、•轴，所以P（/,2）,

­-2a=|PF'|-\PF\=2-^-2

即4=4-

故双曲线的离心率为e==a+1.

J2-1

故选A

【点睛】

本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.

5.D

【解析】

因为角a的终边经过点（3,T），所以厂=^32+（-4）2=5，则sina=-j,cosa=|,

113

即sina+-----=—.故选D.

cosa15

6.B

【解析】

设贫困户总数为。，利用表中数据可得脱贫率P=2X40%X95%+2X10%X90%,进而可求解.

【详解】

设贫困户总数为。，脱贫率人士竺生史％”2-=94%,

a

94%47

所以

70%35

故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的—倍.

35

故选：B

【点睛】

本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

7.C

【解析】

先根据直线工-与+1=0与直线工+/},_]=（）平行确定a的值，进而即可确定结果.

【详解】

因为直线％-。＞+1=0与直线x+a2y—l=0平行，

所以。2+。=0,解得a=0或。=一1；即字。=0或。=一1；

所以由P能推出4；4不能推出P

即，是4的充分不必要条件.

故选c

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

8.B

【解析】

由(1+0X)(1+X)5=(1+X)5+公(1+尤)5,进而分别求出展开式中X2的系数及展开式中/的系数，令二者之和等于

-10,可求出实数。的值.

【详解】

由(1+ax)(l+%)5=(1+x)5+ax(\+x)5,

22

则展开式中x的系数为C；+«C5,=10+5«,展开式中/的系数为Q+aC5=l()+10a,

二者的系数之和为(10+5a)+(10a+10)=15a+20=—10,得。=一2.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

9.C

【解析】

根据复数代数形式的运算法则求出Z,再根据共飘复数的概念求解即可.

【详解】

解：•：z-6i-Mzi=\,

.i+收1G.

••Z---j=-=--1--1f

1-®22

则［=一1•一乌，

22

,•z+z=—I>

故选：C.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共枢复数的概念，属于基础题.

10.B

【解析】

用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对

④进行判断.

【详解】

①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.

③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么

这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.

故选：B

【点睛】

本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能

力，考查数形结合思想，化归与转化思想.

11.B

【解析】

求函数导数，利用切线斜率求出。，根据切线过点(0,2)求出。即可.

【详解】

因为y=(ar+2)e*,

所以y'=e'(ax+2+a'),

故左=>'Lo=2+a=-2,

解得a=-A>

又切线过点(0,2),

所以2=—2x0+8,解得。=2,

所以就=一8,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.

12.B

【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】

如图，D£=CGG&=AG，设。为4G的中点，a为G&的中点,

由图可知过A用且与平行的平面a为平面ABQ,所以直线［即为直线ADt,

由题易知，NRAB,/qa?的补角，N^AC分别为a,(3,y,

设三棱柱的棱长为2,

在A。AB中，D、B=2底AB=2,叫=2石，

（2V5）2+4-（2X/5）275

12x2x2石1010

在AO/C中，。2=旧,BC=2,O\C=6

cos“，可+"（叽非.”石；

12x2x751010

在ARAC中，CD]=4,AC=2,AD1=2非,

cosZD]AC=^r=—,:.cosa=—,

2y[555

cosa=cos(3<cosy,:.a=/3>y.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

由5“=4,用得〃22时，S,i=a“，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和.

【详解】

解：数列｛4｝的前〃项和为S“，q=l,且满足S“=a"+|,①

当〃22时，S,t=/,②

①-②得：«„=«„+,,

整理得：—=2(常数)，

故数列｛《,｝是以%=1为首项，2为公比的等比数列，

所以4=>2"-2(首项不符合通项)，

所以：¥。=[+"2二1)=512,

102-1

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前〃项和的公式，属于基础题.

14.1

【解析】

把向量8C进行转化，用X表示cosA,利用基本不等式可求实数X的值.

【详解】

(AB-AAC)(-AB+AC)=-c2-Ab2+(2+l)/?ccosA=0

,1/劝c、、2VlA/3融组;)-

cosA=------(—+—)>-------=——»解得>l=l.

2+lcb2+l2

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.

15.160

【解析】

先求(x+2)6的展开式中通项，令x的指数为3即可求解结论.

【详解】

解：因为(x+2)<'的展开式的通项公式为：2,=2，.2

令6-r=3,可得厂=3；

/(彳+2)6的展开式中的常数项为：23.C：=160.

故答案为：160.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题.

16.A或D

【解析】

分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可.

【详解】

解：假设甲说：第1个盒子里面放的是8是对的，

则乙说：第3个盒子里面放的是。是对的，

丙说：第2个盒子里面放的是C是对的，

丁说：第4个盒子里面放的是A是对的，

由此可知第4个盒子里面放的是A;

假设甲说：第3个盒子里面放的是C是对的，

则丙说：第4个盒子里面放的是。是对的，

乙说：第2个盒子里面放的是3是对的，

丁说：第3个盒子里面放的是C是对的，

由此可知第4个盒子里面放的是D.

故第4个盒子里面放的电影票为。或A.

故答案为:A或。

【点睛】

本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)求出/'(力=予-,分别以当。<0,0=0,。>()时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.(2)令

/2(x)=calnx+l,结合导数求出/z(x)N〃d)=-g+12,；同理可求出g(x)=4xei满足g(x)Wg⑴=L从

eel22

而可得axlnx+l〉；xei,进而证明

【详解】

解析：(1)f\x)=^-,XG(O,4W),

当"0时，/'(x)<0,“X)单调递减，/(，=—a+e>0,=-1+/<0,此时/(x)有1个零点；

当。=0时，/(x)无零点；

当。>0时，由/'(x)<0得xe(0」)，由/'(x)>0得x€(L”)，.♦./(x)在(0」)单调递减，在(士内)单调递

aaaa

增，.•./(%)在x=L处取得最小值/(,)二一olna+Q,

aa

若一alna+a>0,则a<e,此时/(x)没有零点；

若—alna+a=0,则a=«,此时/(x)有1个零点；

若一alna+a<0,贝！Ja>e,/(1)>0,求导易得/(4)〉()，此时/(x)在(」」)，(±1)上各有1个零点.

aaaa

综上可得0Wa<e时，/(x)没有零点，a<0或a=e时，有1个零点，a〉e时，/(x)有2个零点.

(2)令=tzxlnx+l,则〃'(x)=a(l+Inx),当x>工时，〃'(x)〉0；当0cxe，时，〃'(x)<0,

eel

令g(x)=g尤,则g'(X)=(17),

当0<x<l时，g'(x)>0,当x>l时，g'(x)<0,，g(x)Wg(l)=；,

lx

:./z(x)>g(x),axlnx+l>；犬4,1-v1e~

••tzInxH—>----

x2

【点睛】

本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问

不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.

18.(1)证明见解析；(2)最小值为1

【解析】

(1)利用基本不等式可得|x+z|1y+z|N2jE,22jm=4z2，石,再根据OVxyVl时，即可证明k+z|-ly+z|>

4xyz.

xyz1211

(2)由一--得一+—+—=3,然后利用基本不等式即可得到盯+”+x会3,从而求出2巩2"・2*z的最

x+y+z3yzxzxy

小值.

【详解】

(1)证明：・・”,y,z均为正数，

A\x+z\-|y+z|=(x+z)(j+z)>2y/~xz-2y[^=4zy[xy,

当且仅当x=y=z时取等号.

又,:0<xy<1,:.4-Zy/xy>4xyz,

A|x+z|-\y+z\>4xyz；

xyz1111.

(2)V——-——=-,即—+——+—=3.

x+y+z3yzxzxy

yz4-----..2y[yz-----=2,

yzyz

xz4-----.・2Jxz•—=2,

xzxz

当且仅当X=y=z=l时取等号，

111,

xy+yz+xzd------1-------1..6,

盯yzxz

zxzxy+yz+xz

：.xy+yz+xz>39,2盯-2>'-2=2>if

...2个•的最小值为1.

【点睛】

本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题.

19.(1)证明见详解；(2)(-oo,l]

【解析】

(1)求出函数y=/(x)的导函数/‘(X),由/W在X=Xo处取得极值1，可得((%)=0且1•解出

111

a=*-一，构造函数“尤)=e*--(x>0),分析其单调性，结合In2<x0<ln3,即可得到”的范围，命题得证;

/x

(2)由分离参数，得到-臣-,恒成立，构造函数g(x)=靖-处-,，求导函数

exxxx

g，(x)=厂,再构造函数A(x)=Ye*+Inx,进行二次求导l(x)=(/+2x)/+J.由x〉0知h'(x)>0,

则〃(x)在(0,+8)上单调递增.根据零点存在定理可知〃(x)有唯一零点玉,且;<%<1.由此判断出工€(0,石)时，

g(x)单调递减，XW(X1,+00)时，g(x)单调递增，则g(x)min=g(%)，即知"一:.由〃(不)=0得

%/=一g，再次构造函数z(x)=x/(x>0),求导分析单调性，从而得西=-111不，即最终求得

须X]

g(M=l,则6,1.

【详解】

—+Q-(lnx+or)

解：(1)由题知,

•・・函数y=/(x)在x=%,处取得极值1,

1

+a-(\nx0+ax0)(._\nx0+ax0_

————=0,且八七bf-二L

1,x0

----1-«=Inx0+ox0=e

x0

:.a=eX°——1

令r(x)=，一，(x〉0),则r(x)=，+4〉0

XX

・・・r(x)为增函数,

0<In2<x0<In3

r(ln2)<a<r(ln3),即2—一—<a<3一一!-成立.

In2In3

(2)不等式/'(JOWX-A恒成立，

e

即不等式加"一Inx—oxN1恒成立，即4,ex一处二一,恒成立，

xx

*Inx1*1-lnx1x2ex+Inx

令g(x)="-----------,贝！Jg(fx)="-------+==----------2——

XXXXX

令h(x)=犬，+Inx,贝！I〃'(x)=(d+2x)ev+—,

・..x>0,hf(x)>0,

・・・〃(x)在(0,+o))上单调递增，且"(l)=e>0,—ln2<0,

.•/(x)有唯一零点占,且;<%<1,

当xe(Oj)时，/?(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当XG(X，+oo)时，h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.

•••gOOmiLgG),

由Zz(xJ=O整理得=_见士

x\

•,；<玉<1,-InX]>0

令Z(x)=xe'(x>0),则方程x。"=一生工等价于MxJ=M-lnxJ

而k(九)=(x+l)e'在(0,+8)上恒大于零,

・•・k(x)在(0,+℃)上单调递增,

Z:(jc])=Z:(-lnxl).

玉=-Inx]

/.eX'-一1

*

.便5)="一屿/,一5」=1,

X]玉X1X]X]

4,1

J.实数。的取值范围为(-8』].

【点睛】

本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.

其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.

20.(1)证明见解析(2)组

7

【解析】

(1)要证明AC，平面842。，只需证明AC_LB£>,ACLOQ即可：

(2)取鸟2中点尸，连EF,以E为原点，EA,EB,EP分别为其Xz轴建立空间直角坐标系，分别求出。8与

n-OB

平面。4A的法向量„,再利用COS<n,OB>=y.计算即可.

|〃|x|08|

【详解】

(1)•••底面ABC。为菱形，

:.AC±BD

•直棱柱ABC。—，平面ABCD.

•••ACu平面ABCD.

：.AC1DD、

.ACLBD,AC1DD\,BDcDD\=D.

.•・4。_1平面34。£>；

(2)如图，取用。中点尸，连EF,以E为原点，EA,EB,EF分别为％Xz轴建立如图所示空间直角坐标系:

y

AE=®BE=l,

点B(O,1,O),B,(0,1,2),点(0,-1,2),4省,0,0),O(611

设平面。4A的法向量为〃=(x,y,z),

班=(020),24

DlBln=2y=0

有《OB,-n=_^~x+—y+z=0,令X=2,y=09Z=G

122

得〃=(2,0,6)

fV33

-OB=-2向n|=亿03=2,

又0B=丁，5，T，〃

k7

设直线OB与平面0BR所成的角为仇

所以sin6=|cos<n,OB>|=|二^|=叵

2x5/77

故直线。B与平面。射所成的角的正弦值为理.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐

标.

21.(1)y2-4x(2)y=±V2(x-l)

【解析】

(1)由抛物线的定义可得|PF|=2+5,即可求出〃，从而得到抛物线方程；

(2)设直线机的方程为x=)+l,代入＞2=4x,得＞2_4。-4=0.

设A(x”y),B(x2,y2),列出韦达定理，表示出中点N