同济大学高等数学课件D13函数的极限

同济大学高等数学课件D13函数的极限目录CONTENTS函数极限的定义函数极限的运算性质函数极限的应用函数极限的求解方法函数极限的深入理解01函数极限的定义123当x趋于某个值时，函数f(x)无限接近于一个常数A。描述性定义直观、易于理解，但不够精确。描述性定义的特点无法直接用于证明或计算。描述性定义的局限性函数极限的描述性定义精确定义对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-A|<epsilon$。精确定义的特点精确、严谨，是计算和证明的基础。精确定义的应用用于判断函数在某点的极限，以及求极限的方法。函数极限的精确定义唯一性函数在某点的极限是唯一的。局部有界性函数在某点的极限存在时，函数在该点附近是有界的。局部保号性函数在某点的极限存在时，函数在该点附近的符号保持不变。局部连续性函数在某点的极限存在时，函数在该点附近是连续的。函数极限的性质02函数极限的运算性质极限的加法性质若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)-g(x)]=A-B。极限的减法性质极限的乘法性质极限的除法性质01020403若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B（B≠0），则lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=A+B。若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)×g(x)]=A×B。极限的四则运算性质复合函数的极限复合函数的极限存在性若lim(x→x0)u=u0，且lim(u→u0)g(u)=A，则lim(x→x0)[g[u(x)]]=A。复合函数的极限运算若lim(x→x0)[f(x)]=A和lim(u→u0)[g(u)]=B，则lim(x→x0)[g[f(x)]]=B。反函数的极限存在性若函数y=f(x)在点a处有定义，且f'(a)存在，则反函数在点f(a)处有定义，且反函数的导数等于1/f'(a)。反函数的极限运算若lim(x→a)f(x)=b，则反函数在点b处的极限存在，且反函数在点b处的极限等于1/f'(a)。反函数的极限03函数极限的应用通过函数极限，我们可以求解某些数学模型中的参数值。总结词在数学建模中，经常需要求解某些参数的值，这些参数可能影响函数的形态或行为。利用函数极限，我们可以更好地理解函数的变化趋势，从而更准确地确定这些参数的值。详细描述利用函数极限求参数值总结词函数极限在证明不等式中起着重要的作用。详细描述在证明不等式时，我们经常需要利用函数的性质和极限的概念来推导和证明不等式的正确性。例如，利用函数的极限来证明函数的单调性或比较不同函数的大小关系。利用函数极限证明不等式总结词通过研究函数极限，我们可以深入了解函数的性质和行为。详细描述函数的极限描述了函数在某些点或无穷远处的行为。通过研究这些极限，我们可以更好地理解函数的整体性质和行为，例如函数的连续性、可导性、奇偶性等。利用函数极限研究函数的性质04函数极限的求解方法VS直接代入法适用于函数在某点的极限值可以直接通过代入得到的情况。详细描述当函数在某点的极限可以直接通过将该点的x值代入函数表达式得到时，我们就可以使用直接代入法求解。这种方法适用于一些简单的函数，如常数函数、线性函数等。总结词直接代入法夹逼准则法是通过比较函数与两个夹逼函数在某点的取值来求解函数极限的方法。当函数在某点的极限受到两个夹逼函数的限制时，我们可以通过比较这三个函数在某点的取值来求解原函数的极限。这种方法需要找到合适的夹逼函数，并确保它们在某点的取值能够正确地逼近原函数的极限。总结词详细描述夹逼准则法总结词单调有界定理法适用于函数在某区间内单调且有界的情况。要点一要点二详细描述当函数在某区间内单调递增或递减，并且在该区间内有界时，我们可以使用单调有界定理法来求解函数在该区间的极限。这种方法需要证明函数在该区间内单调且有界，然后利用单调有界定理得出函数在该区间的极限值。单调有界定理法05函数极限的深入理解无穷小量在某一过程中，一个变量相对于另一个变量趋于零，被称为无穷小量。无穷大量在某一过程中，一个变量相对于另一个变量趋于无穷大，被称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的运算性质性质1性质2性质3有限个无穷小量的积仍为无穷小量。常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。有限个无穷小量的和仍为无穷小量。应用1利用无穷小量替