流体力学课件

流體（氣體和液體）區別於固體的主要物理特性是易於流動。運動流體具有抵抗剪切變形的能力，這種抵抗體現在限制剪切變形的速率而不是大小上，這就是粘滯性。第一章緒論EXIT

流體能承受壓力，抵抗壓縮變形。一般情況下流體可看成是連續介質。流體不能承受集中力，只能承受分佈力。流體的上述物理力學特性使流體力學（水力學）成為宏觀力學的一個獨特分支。EXITEXIT力學

一、流體力學（水力學）的學科性質研究對象力學問題載體

宏觀力學分支遵循三大守恆原理

流體力學水力學流體水力學強調水是主要研究對象比較偏重於工程應用土建類專業常用EXIT有無固定的體積？能否形成

自由表面？是否容易

被壓縮？流體氣體無否易液體有能不易呈現流動性？

流體固體二、流體最主要的物理特性EXIT

1.流體在外力作用下，靜止與運動的規律；

2.流體與邊界的相互作用。三、流體力學（水力學）的主要研究內容

固定邊界：水工建築物、河床、海洋平臺等

運動邊界：飛機、船隻等EXIT四、與流體力學相關的工程領域和學科海洋

土木水利航空航太交通運輸

環境

氣象

石油化工

機械冶金

生物

流體力學EXIT排球足球網球游泳賽艇鐵餅高爾夫球賽跑賽車標槍乒乓球羽毛球大部分競技體育項目與流體力學有關

EXIT五、課程地位

流體力學（水力學）是一門重要的專業基礎課程，它是連接前期基礎課程和後續專業課程的橋樑。課程的學習將有利於數理、力學基礎知識的鞏固與提高，培養分析、解決實際問題的能力，為專業課程的學習打下堅實基礎。數理、力學基礎課程流體力學

（水力學）专业基础课程土木工程學科有關專業課程EXIT

供水系統：開拓水渠；取水口佈置；水的淨化與消毒；水泵選擇；水塔修建；管道設計。

公路橋梁：路基沉陷、崩塌、滑坡、排水；橋樑、涵洞修建。

土建施工：修建圍堰、基坑排水、污水排放。土木工程專業中的水力學問題舉例EXIT六、流體力學（水力學）的研究方法

理論分析、實驗研究和數值計算相結合。三個方面是互相補充和驗證，但又不能互相取代的關係。基本假設

數學模型

解析表達

理論分析數值計算

實驗研究

數學模型

數值模型

數值解

模型試驗

量測數據

換算到原型EXIT優勢局限理論分析對流動機理解析表達，因果關係清晰。

受基本假設局限，少數情況下才有解析結果。

實驗研究

（模型試驗）

直接測量流動參數，找到經驗性規律。

成本高，對量測技術要求高，不易改變工況，存在比尺效應。

數值計算擴大理論求解範圍，成本低，易於改變工況，不受比尺限制。

受理論模型和數值模型局限，存在計算誤差。

EXIT§1—2流體的物理性質

流體的基本特性—

流動性

流體質點概念和連續介質假設流體的粘滯性

理想流體假設流體的壓縮性和膨脹性不可壓縮流體假設液體的表面張力特性EXIT流體幾乎不能承受拉力，沒有抵抗拉伸變形的能力。一.流體的基本特性—

流動性什麼是剪切力、剪切變形和抵抗剪切變形的能力？流體能承受壓力，具有抵抗壓縮變形的能力。關於流體承受剪切力，抵抗剪切變形能力的敘述：只要有剪切力的作用，流體就不會靜止下來，發生連續變形而流動。流體只有在運動狀態下，當流體質點之間有相對運動時，才能抵抗剪切變形。EXIT流體在靜止時不能承受剪切力，抵抗剪切變形。作用在流體上的剪切力不論多麼微小，只要有足夠的時間，便能產生任意大的變形。運動流體抵抗剪切變形的能力（產生剪切應力的大小）體現在變形的速率上，而不是變形的大小（與彈性體的不同之處）。EXIT設想放置在敞口容器中初始表面有隆起或凹陷的液體之運動和變形過程可以幫助理解以上論述。當液面不水準時，重力的作用使液體變形，最終當液面絕對水準時，剪切力為零，液體變形也終止。不同的液體都能完成上述變形過程，但所需的時間不同。EXITEXIT二.流體質點概念和連續介質假設1mm3空氣2.7×1016個分子(1個大氣壓，00C)流體質點概念

宏觀（流體力學處理問題的尺度）上看，流體質點足夠小，只佔據一個空間幾何點，體積趨於零。微觀（分子自由程的尺度）上看，流體質點是一個足夠大的分子團，包含了足夠多的流體分子，以致於對這些分子行為的統計平均值將是穩定的，作為表徵流體物理特性和運動要素的物理量定義在流體質點上。EXIT連續介質假設

連續介質假設是近似的、宏觀的假設，它為數學工具的應用提供了依據，在其他力學學科也有廣泛應用，使用

該假設的力學統稱為“連續介質力學”。除了個別情形外，在

水力学中使用连续介质假设是合理的。

連續介質假設將流體區域看成由流體質點連續組成，占滿空間而沒有間隙，其物理特性和運動要素在空間是連續分佈的。EXIT

以密度為例，考察物理量是怎樣定義在流體質點上的。若流體微團的體積為ΔV，品質為Δm，則流體質點密度為

其中ΔV0

的含義應理解為流體微團趨於流體質點。

連續介質假設為建立流場的概念奠定了基礎：設在t時刻，有某個流體質點佔據了空間點(x,y,z)，將此流體質點所具有的某種物理量（數量或向量）定義在該時刻和空間點上，根據連續介質假設，就可形成定義在連續時間和空間域上的數量或向量場。EXIT三.流體的粘滯性

對於如圖的平面流動，流體速度u都沿x方向，且不隨x變化，只隨y變化。兩層流體之間存在相對運動和剪切（角）變形，同時也出現成對的切應力，流動快的一層要帶動流動慢的一層，而流動慢的一層則要阻礙流動快的一層，它起到抵抗剪切變形的作用。EXIT

運動流體具有抵抗剪切變形的能力，這就是粘滯性。值得強調的是，這種抵抗體現在剪切變形的快慢上。在剪切變形中，流體內部出現成對的切應力

，稱為內摩擦力，來抵抗相鄰兩層流體之間的相對運動。

EXIT

容易解釋為什麼是剪

切（角）變形速率，它表示流體直角減小的速度。

對於牛頓流體，切應力

和剪切（角）變形速率之間存在正比例關係

比例係數

稱為動力粘性係數，是粘性流體的物理屬性。牛頓內摩擦定律EXIT液體以此為主氣體以此為主

運動粘性係數

具有運動學量綱。

注意今後在談及粘性係數時一定指明當時的溫度。

形成牛頓內摩擦力物理機理①分子間的吸引力②分子運動引起流體層間的動量交換

隨著溫度升高，液體的粘性係數下降；氣體的粘性係數上升。EXIT粘性係數的量測（利用與粘性相關的特性間接量測）EXIT

滿足牛頓內摩擦定律的流體稱為牛頓流體，否則稱為非牛頓流體。牛頓流體理想賓漢流體理想流體偽塑性流體膨脹性流體

o

對於非牛頓流體，切應力

和剪切（角）變形速率之間的關係不是正比例關係。牛頓流體與非牛頓流體EXIT四、理想流體假設

理想流體假設是忽略粘性影響的假設，可近似反映粘性作用不大的實際流動，粘性作用不大是相對於其他因素的作用而言的。

我們將會看到，是否忽略粘性影響將對流動問題的處理帶來很大的區別，理想流體假設可以大大簡化理論分析過程。而

是流體的客觀屬性，所以往往是在變形速率不大的區域將實際流體簡化為理想流體。

忽略粘性影響實際上就是忽略切應力，切應力

，EXIT五.流體的壓縮性和膨脹性VV-ΔVpp+Δp

流體能承受壓力，在受外力壓縮變形時，體積縮小，密度加大，並產生內力（彈性力）予以抵抗，在撤除外力後恢復原狀，流體的這種性質稱為壓縮性。

將相對體積壓縮值

dVV與壓強增量dp

之比值稱為體積壓縮係數，其倒數稱為體積彈性係數。K越大，越不易被壓縮壓縮性EXITTT+ΔTVV+ΔV

將相對體積膨脹值

dVV

與溫度增量dT之比值稱為體積膨脹係數。

V

越大，越易膨脹。膨漲性

流體受熱，體積膨脹，密度減小，當溫度下降後能恢復原狀，流體的這種性質稱為膨脹性。EXIT

液體的壓縮性和膨脹性都很小。例如，壓強每升高一個大氣壓，水的密度約增加0.5/10000；常溫下，溫度每升高10C，水的密度約減小1.5/10000。氣體具有顯著的壓縮性和膨脹性。液體和氣體的壓縮性和膨漲性EXIT

不可壓縮流體假設忽略壓縮性和膨脹性，認為流體的密度為常數，即把流體看作不可壓縮流體。一般情況下可將液體看作不可壓縮流體，只有在某些特殊情況下，如水下爆炸、水擊、熱水採暖等問題時，才必須考慮壓縮性和膨脹性。儘管氣體的壓縮性和膨脹性比較顯著，但當氣流速度遠小於音速時，密度變化不大，仍可採用不可壓縮流體假設。六.不可壓縮流體假設EXIT

T

TL自由表面七.液體的表面張力特性

由於分子間引力作用，在液體的自由表面上產生極其微小的拉力，稱為表面張力。

表面張力只發生在液體與氣體、固體或者與另一種不相混合的液體的介面上。

表面張力的作用使液體表面有儘量縮小的趨勢，從而使表面積最小。表面張力現象是常見的自然現象，如水滴和氣泡的形成、液體的霧化，毛細管現象等。表面張力EXITEXITEXIT

T

TL

表面張力方向垂直長度方向，沿著自由表面切向。

表面張力很小，例如水在200C時的表面張力為0.0728N/m，一般可以不予考慮。但在液面曲率半徑很小時，表面張力有時可達到不可忽略的程度。自由表面

表面張力的大小用液體表面上單位長度所受拉力來度量，用

表示。在自由表面上畫出一段長度

L，其兩側自由表面上的流體相互作用有拉力

T，則

=

T/L，單位為N/m。EXIT水銀hr

水hr

毛細管現象

將直徑很小兩端開口的細管豎直插入液體中，由於表面張力的作用，管中的液面會發生上升或下降的現象，稱為毛細管現象。EXIT水hr

水銀hr

玻璃管玻璃管

毛細管現象中液面究竟上升還是下降，取決於液體與管壁分子間的吸引力（附著力）與液體分子間的吸引力（內聚力）之間大小的比較。附著力>內聚力,液面上升附著力<內聚力，液面下降EXIT水hr

水銀hr

由液體重量與表面張力的鉛垂分量相平衡，確定毛細管中液面升降高度h。

為減小毛細管現象引起誤差，測壓用的玻璃管內徑應不小於10mm。玻璃管玻璃管EXIT§1—3作用在流體上的力

品質力

表面力EXIT

品質力分佈在流體品質（體積）上，是一種遠程力。我們定

義的品質力為力的品質密度

f

，即單位品質流體所承受的質

量力，是加速度的單位。

流體不能承受集中力，只能承受分佈力。分佈力按表現形式又分為：品質力、表面力。一.品質力EXIT

的含義，按連續介質假設，即為流體團趨於流體質點。所以品質力是定義在流體質點上的。

設體積為ΔV的流體團，其品質為Δm，所受品質力為ΔF，則ΔV0二.表面力

表面力分佈在流體面上，是一種接觸力。定義表面力的面積密度，即單位面積上流體所承受的表面力為應力。

的含義為面元趨於面元上的某定點，所以應力是定義在流體面上一點處的。同一點處的應力還與作用面的方位有關，所以須將作用面的法向用腳標指明。EXITn

設面積為ΔA的流體面元，法向為

n

，指向表面力受體外側，所受表面力為ΔP

，則應力ΔA0

應力pn是向量，可向作用面的法向或切向投影，分解成法應力和切應力。EXIT

凡談及應力，應注意明確以下幾個要素：

①哪一點的應力；

②

哪個方位作用面上的應力；

③作用面的哪一側流體是研究對象（表面力的受體），從

而決定法線的指向；

④應力在哪個方向上的分量。作用面作用點定測外法向應力nnPnEXIT附：水力學課程中使用的單位制一些重要物理量的數值

水力學課程中使用的單位制一些重要物理量的數值EXIT

三個基本單位

長度單位：m（米）

品質單位：kg（公斤）

時間單位：s（秒）水力學課程中使用的單位制

SI國際單位制（米、公斤、秒制）EXIT

導出單位，如：

密度

單位：kg/m3

力的單位：N（牛頓），1N=1kgm/s2

應力、壓強單位：Pa（帕斯卡），1Pa=1N/m2

動力粘性係數

單位：Ns/m2=Pas

運動粘性係數

單位：m2/s

體積彈性係數K單位：PaEXIT與水和空氣有關的一些重要物理量的數值

常壓常溫下，空氣的密度是水的1/800

一般取海水密度為1大氣壓，40C1大氣壓，100CEXIT

空氣的密度隨溫度變化相當大，溫度高，密度低。水的密度隨溫度變化很小。1大氣壓，00C1大氣壓，800CEXIT

空氣容易被壓縮20C，海拔2km150C，海平面(標準大氣壓)工程大氣壓（相當於10m水柱底部壓強）EXIT

空氣的動力粘性係數比水小2個數量級，但空氣的運動粘性係數比水大。@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

空氣的粘性係數隨溫度升高而增大，而水的粘性係數隨溫度升高而減小。00C1000C-40C1000C§2—1流體靜壓強及其特性EXIT

靜止流體的應力只有內法向分量—靜壓強靜壓強的大小與作用面的方位無關

法向應力沿內法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個法向應力稱為靜

壓強，其大小記作pn(x,y,z)，因目前還不知靜壓強是否與作用面方位有關，腳標中須標上作用面法線方向。一、

靜止流體的應力只有內法向分量—

靜壓強

靜止流體的應力只有法向分量（流體質點之間沒有相對運動，不存在切應力）。PnnEXITPnn靜止流體中一點的應力在這個運算式中，已包含了應力四要素：作用點、作用面、受力側和作用方向。EXIT二、靜壓強的大小與作用面的方位無關Y

是品質力在y

方向的分量EXITdxdydzpxpnpzpyxyznoM

在靜止流體中取出以M

為頂點的四面體流體微元，它受到的品質力和表面力必是平衡的，以y

方向為例，寫出平衡方程此時，pn，px，py，pz已是同一點（M點）在不同方位作用面上的靜壓強，其中斜面的方位n又是任取的，這就證明了靜壓強的大小與作用面的方位無關。

當四面體微元趨於M點時，注意到品質力比起面力為高階無窮小，即得pn=py，同理有pn=px，pn=pzEXITdxdydzpxpnpzpyxyznoM

靜止流體的應力狀態只須用一個靜壓強數量場p=p(x,y,z)

來描述，有了這個靜壓強場，即可知道在任意一個作用點、以任意方位n為法向的面元上的應力為：

靜壓強pn(x,y,z)

與作用面的方位無關，僅取決於作用點的空間位置，所以可將腳標去掉寫成p(x,y,z)

EXIT靜壓強場Pnn§2—2流體的平衡微分方程EXIT

平衡微分方程的推導平衡微分方程的向量形式平衡微分方程的物理意義一、

平衡微分方程的推導

表面力在y

方向上的分量只有左右一對面元上的壓力，合力為odxdzpxyzdy

在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

y

方向的受力。微元所受y

方向上的品質力為

EXITodxdzpxyzdy平衡方程為或同理有和其中X,Y,Z

是品質力f的三個分量。EXIT

稱為靜壓強場的梯度。它

是數量場p(x,y,z)對應的一

個向量場。

稱為哈米爾頓算子,它同時具有向量和微分（對跟隨其後的變數）運算的功能。用它來表達梯度，非常簡潔，並便於記憶。二、平衡微分方程的向量形式其中EXIT

的三個分量是壓強在三個坐標軸方向的方向導數，它反映了數量場在空間上的不均勻性。流體的平衡微分方程實質上表明了品質力和壓差力之間的平衡。壓強對流體受力的影響是通過壓差來體現的。

三、平衡微分方程的物理意義EXIT§2—3重力作用下的液體平衡

EXIT

重力作用下的平衡方程

靜壓強分佈規律

絕對壓強、相對壓強、真空

位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭測壓原理一.重力作用下的平衡方程

z

軸鉛垂向上，流體不可壓縮。EXIT二.靜壓強分佈規律

積分

重力場中連通的同種靜止液體中：①壓強隨位置高程線性變化；

②等壓面是水平面，與品質力（重力）垂直；

③是常數。

或EXIT

要知道靜止流體中具體的壓強分佈，關鍵是知道其中某一點的壓強，從而確定積分常數C

若z=z1時,p=p1,則或EXITghAp0ApAzoh

如果靜止液體有自由面，將自由面作為基準面

z=0，自由面上的壓強為

p0

，則

若令h

=

z（向下為正），則EXITghAp0ApAzohB三.絕對壓強、相對壓強、真空

A絕對壓強基準A點絕對壓強B點真空壓強A點相對壓強B點絕對壓強相對壓強基準O大氣壓強

paO壓強

壓強

p記值的零點不同，有不同的名稱：

以完全真空為零點，記為

pabs絕對壓強兩者的關係為:

pr=

pabs-

pa

以當地大氣壓

pa

為零點，記為

pr

相對壓強為負值時，其絕對值稱為真空壓強。相對壓強真空壓強EXITBA絕對壓強基準A點絕對壓強B點真空壓強A點相對壓強B點絕對壓強相對壓強基準O大氣壓強

paO壓強

今後討論壓強一般指相對壓強，省略下標，記為

p

，若指絕對壓強則特別注明。EXIT

如果z=0

為靜止液體的自由表面，自由表面上壓強為大氣壓，則液面以下

h

處的相對壓強為

gh

，所以在液體指定以後高度也可度量壓強，稱為液柱高，例如：××m(H2O)，××mm(Hg)

等。特別地，將水柱高稱為水頭。把真空壓強轉換成水柱高表示，稱為真空度。hp=0

一個工程大氣壓為98.10kN/m2，相當於10m(H2O)

或736mm(Hg)EXIT四.位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭

在靜水壓強分佈公式

中，各項都為長度量綱，稱為水頭（液柱高）。

——

位置水頭，以任取水平面為基準面

z=0

，鉛垂向

上為正。

——

壓強水頭，以大氣壓為基準，用相對壓強代入計

算。

——

測壓管水頭。

EXIT

在內有液體的容器壁選定測點，垂直於壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。OO

測壓管內的靜止液面上

p=0，其液面高程即為測點處的，所以叫測壓管水頭。

測壓管水頭的含義EXITOO

測靜壓只須一根測壓管

EXIT

如果容器內的液體是靜止的，一根測壓管測得的測壓管水頭也就是容器內液體中任何一點的測壓管水頭。如接上多根測壓管，則各測壓管中的液面都將位於同一水平面上。

敞口容器和封口容器接上測壓管後的情況EXIT

總勢能

位置水頭（勢能）與壓強水頭（勢能）可以互相轉換，但它們之和—測壓管水頭（總勢能）是保持不變的。

各項水頭也可理解成單位重量液體的能量

位置勢能（從基準面

z=0

算起鉛垂向上為正）

z

壓強勢能（從大氣壓強算起）

液體的平衡規律表明EXIT五.測壓原理

測壓管的一端接大氣，這樣就把測管水頭揭示出來了。再利用液體的平衡規律，可知連通的靜止液體區域中任何一點的壓強，包括測點處的壓強。

用測壓管測量αAEXIT

如果連通的靜止液體區域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過渡。EXIT

m

a

即使在連通的靜止流體區域中任何一點的壓強都不知道，也可利用流體的平衡規律，知道其中任何二點的壓差，這就是比壓計的測量原理。

用比壓計測量EXIT

m

流體的平衡規律必須在連通的靜止流體區域（如測壓管中）應用，不能用到管道中去，因為管道中的流體可能是在流動的，測壓管不只是為測量靜壓用的。EXITp0（氣體）EXIT血壓計是一種常見的液柱式壓力計§2—4靜止液體作用在物體表面上的總壓力EXIT

靜止液體作用在平面上的總壓力

靜止液體作用在曲面上的總壓力靜止液體作用在物體上的總壓力—浮力

在已知靜止液體中的壓強分佈之後，通過求解物體表面A

上的向量積分即可得到總壓力，實際上這是一個數學問題。A

完整的總壓力求解包括其大小、方向、作用點。EXITdAnpH一.靜止液體作用在平面上的總壓力

這是一種比較簡單的情況，是平行力系的合成，即

作用力垂直於作用面，指向自己判斷。

靜壓強在平面域

A

上分佈不均勻，沿鉛垂方向呈線性分佈。EXITPPgHHH/3gHHHHHhhhEXITL/3LLePPgHgHgHg(H-h)ghgh

矩形平面單位寬度受到的靜水總壓力是壓力分佈圖AP的面積。

矩形平面受到的靜水總壓力通過壓力分佈圖的形心。

壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力EXITLPebAPgHgh

三角形壓力分佈圖的形心距底

梯形壓力分佈圖的形心距底HHhEXITL/3LLePPgHgHgh

總壓力的大小DAC

Px分析法求任意形狀平面上的靜水總壓力EXIToodPyyyyCyDdAhhChC：A的形心D：壓力作用點

DAC

PxEXIToodPyyyyCyDdAhhCh

總壓力的作用點C：A的形心D：壓力作用點平面上靜水壓強的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強。總壓力大小等於作用面形心C處的壓強pC

乘上作用面的面積A.平面上均勻分佈力的合力作用點將是其形心，而靜壓強分佈是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強越大，所以總壓力作用點位於作用面形心以下。EXIT

結論靜力奇象EXITh

水深相同，桶底面積相同，桶底所受水壓力相同，整桶所受水的作用力(桶內水的重量）不同。二.靜止液體作用在曲面上的總壓力

由於曲面上各點的法向不同，對曲面A求解總壓力時，必須先分解成各分量計算，然後再合成。HEXIThghgHhPxAxAx

是曲面A沿x軸向oyz平面的投影，hxC是平面圖形Ax的形心浸深。xzyAx方向水準力的大小EXITnohxzy

靜止液體作用在曲面上的總壓力在

x方向分量的大小等於作用在曲面沿x

軸方向的投影面上的總壓力。y

方向水準力大小的演算法與x

方向相同。EXITnoPxAxA

結論hAxAzAz

是曲面A沿z軸向oxy平面的投影，Vp稱為壓力體，是曲面A與Az之間的柱體體積。xzyVpA

z

方向作用力的大小EXITnoPxPzhAxAzxzyVpAEXITnoPxPz

靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小等於壓力體中裝滿此種液體的重量。

總壓力垂向分量的方向根據情況判斷。

結論

壓力體應由曲面A向上一直畫到液面所在平面。壓力體中，不見得裝滿了液體。a有液體AA無液體EXIT

複雜柱面的壓力體EXIT

總壓力各分量的大小已知，指向自己判斷，這樣總壓力的大小和方向就確定了。

特別地，當曲面是圓柱或球面的一部分時，總壓力是匯交力系的合成，總壓力必然通過圓心或球心。EXIT

曲面上靜水總壓力的合成三.靜止液體作用在物體上的總壓力——浮力

阿基米德

定律EXIT

靜止液體作用在物體上總壓力—浮力的大小等於物體所排開液體的重量，方向鉛垂向上，作用線通過物體被液體浸沒部分體積的形心—浮心。阿基米德（Archimedes,287-212B.C.希臘）

西元前3世紀阿基米德浮力定律EXITEXIT阿基米德定律的演示

描述流體運動的困難拉格朗日法歐拉法流體質點的加速度、質點導數§3—1描述流動的方法EXIT

離散

質點系剛體流體質點間的約束強無弱

一.描述流體運動的困難質點數N個無窮無窮EXIT

離散

質點系剛體流體EXIT六個自由

度運動

編號，逐點描述

3N個自由度困難：

無窮多質點有變形不易顯示

離散

質點系剛體流體EXITt1t2t3t4t5

二.拉格朗日法EXITt6

以研究單個流體質點運動過程作為基礎，綜合所有質點的運動，構成整個流體的運動。

拉格朗日法是質點系法，它定義流體質點的位移向量為：(a,b,c)

是拉格朗日變數，即

t=t0

時刻質點的空間位置，用來對連續介質中無窮多個質點進行編號，作為質點標籤。

流體在運動過程中其他運動要素和物理量的時間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：EXIT易知指定空間位置不同流體質點

三.歐拉法EXIT

以研究流場中各個空間點上運動要素的變化情況作為基礎，綜合所有的空間點的情況，構成整個流體的運動。

歐拉法是流場法，它定義流體質點的速度向量場為：(x,y,z)

是空間點（場點）。流速u

是在t

時刻佔據(x,y,z)

的那個流體質點的速度向量。

流體的其他運動要素和物理特性也都可用相應的時間和空間域上的場的形式表達。如加速度場、壓力場等：EXIT歐拉（L.Euler,

1707-1783，瑞士）拉格朗日（J-L.Lagrange，1736－1813，義大利)EXIT拉格朗日法

歐拉法

著眼於流體質點，跟蹤質點描述其運動歷程著眼於空間點，研究質點流經空間各固定點的運動特性布哨跟蹤EXIT

歐拉法是描述流體運動常用的一種方法。EXIT

如果流場的空間分佈不隨時間變化，其歐拉運算式中將不顯含時間t，這樣的流場稱為恒定流。否則稱為非恒定流。

歐拉法把流場的運動要素和物理量都用場的形式表達，為在分析流體力學問題時直接運用場論的數學知識創造了便利條件。

四.流體質點的加速度、質點導數

速度是同一流體質點的位移對時間的變化率，加速度則是同一流體質點的速度對時間的變化率。

通過位移求速度或通過速度求加速度，必須跟定流體質點，應該在拉格朗日觀點下進行。EXIT

若流動是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移向量直接對時間求一、二階導數即可。

求導時a,b,c作為參數不變，意即跟定流體質點。EXIT

跟定流體質點後，x,y,z均隨t

變，而且

若流場是用歐拉法描述的，流體質點加速度的求法必須特別注意。

用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點的問題。EXIT=+質

點

加

速

度

位變

加速度由流速不均勻性引起時變加速度由流速

不恒定

性引起EXIT分量形式EXITB’AA’BuAdtuBdt舉例EXIT§3—2有關流場的幾個基本概念EXIT

恒定流、非恒定流跡線和流線流管和流量均勻流、非均勻流；漸變流、急變流流動按空間維數的分類系統和控制體

一.恒定流、非恒定流

若流場中各空間點上的任何運動要素均不隨時間變化，稱流動為恒定流。否則，為非恒定流。

恒定流中，所有物理量的歐拉運算式中將不顯含時間，它們只是空間位置座標的函數，時變導數為零。

例如，恒定流的流速場：

恒定流的時變加速度為零，但位變加速度可以不為零。EXIT

流動是否恒定與所選取的參考坐標系有關,因此是相對的概念。EXITAAAAAA

某一流體質點在不同時刻佔據的空間位置。t1時刻t2時刻

二.跡線和流線EXIT跡線

跡線是流體質點運動的軌跡，是與拉格朗日觀點相對應的概念。

拉格朗日法中位移運算式即為跡線的參數方程。t是變數，a,b,c是參數。EXIT

這是由三個一階常微分方程組成的方程組，未知變數為質點位置座標（x,y,z），它是t

的函數。給定初始時刻質點的位置座標，就可以積分得到跡線。

在歐拉觀點下求跡線，因須跟定流體質點，此時歐拉變數x,y,z成為t

的函數，所以跡線的微分方程為EXITt時刻uAuBuCABCD

表示某時刻流動方向的曲線。uDEXIT流線

流線是流速場的向量線，是某暫態對應的流場中的一條曲線，該暫態位於該曲線上的流體質點之速度向量都和曲線相切。流線是與歐拉觀點相對應的概念。有了流線，流場的空間分佈情況就得到了形象化的描繪。EXIT

根據定義，流線的微分方程為

實際上這是兩個微分方程，其中t是參數。可求解得到兩族曲面，它們的交線就是流線族。其中EXIT

在非恒定流情況下，流線一般會隨時間變化。在恒定流情況下，流線不隨時間變，流體質點將沿著流線走，跡線與流線重合。

跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質點在不同時刻的位移曲線，與拉格朗日觀點對應，而流線是同一時刻、不同流體質點速度向量與之相切的曲線，與歐拉觀點相對應。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。

根據流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無窮大處，流線不能相交，也不能轉折。EXIT

已知直角坐標系中的速度場ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時過M(-1,-1)

點的流線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0時過M(-1,-1)：C=-1

積分由流線的微分方程：t=0時過M(-1,-1)點的流線：EXIT例

-1解xy=1t=0時過M(-1,-1)：

C1=C2=0

已知直角坐標系中的速度場ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時過M(-1,-1)

點的跡線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=-2由跡線的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得跡線方程：EXIT例

-2解跡線流線xyot=0時過M(-1,-1)點的流線和跡線示意圖EXITM(-1,-1)流動線條和流動顯示流動線條(flowlines)包括四種：流線（streamline)、跡線(pathline)、煙線(streakline)、時線(timeline)煙線(streakline)定義：由先後連續地經過同一場點的流體質點所組成的曲線。時線(timeline)定義：由確定流體質點組成的流體線。流動往往靠流動線條來顯示，而在實驗中比較容易得到的流動線條是煙線和時線。EXIT通常用攝象機能拍到什麼流動線條？應該怎麼拍？思考?EXIT流線L流管

三.流管和流量

在流場中，取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時刻過

L上每一點作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱為流管。

與流線一樣，流管是暫態概念。

根據流管的定義易知，在對應暫態，流體不可能通過流管表面流出或流入。EXIT

與流動方向正交的流管的橫斷面

過流斷面為面積微元的流管叫元流管，其中的流動稱為元流。

過流斷面為有限面積的流管中的流動叫總流。總流可看作無數個元流的集合。總流的過流斷面一般為曲面。dA1dA2u1u2

過流斷面EXIT

稱為品質流量，記為Qm，單位為kg/s.流量計算

公式中，曲面A的法線指向應予明確，指向相反，流量將反號。閉曲面的法向一般指所圍區域的外法向。

通過流場中某曲面A的流速通量稱為流量，記為Q

，它的物理意義是單位時間穿過該曲面的流體體積，所以也稱為體積流量，單位為m3/s.dAuAnEXIT

總流過流斷面上的流速與法向一致，所以穿過過流斷面A的流量大小

為，其中u

為流速的大小。EXIT

定義體積流量與斷面面積之比為斷面平均流速，它是過流斷面上不均勻流速u的一個平均值，假設過流斷面上各點流速大小均等於v，方向與實際流動方向相同，則通過的流量與實際流量相等。位變導數？均勻流非均勻流

四.均勻流、非均勻流；漸變流、急變流

均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要麼是曲線，要麼是不相平行的直線。EXIT為什麼？判別uxazyxo

以下的流動是均勻流：

應注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動

相區別，前者是流動沿著流線方向不變，後者是流動沿著空間任何方向不變。後者是均勻流的一個特例。EXIT例如

在實際流動中，經常會見到均勻流，如等截面的長直管道內的流動、斷面形狀不變，且水深不變的長直管道內的流動等。

恒定均勻流的時變加速度和位變加速度都為零，即流體質點的慣性力為零，將作勻速直線運動。若總流為均勻流，其過流斷面是平面。這些均勻流的運動學特性，將給以後處理相關的動力學問題帶來便利，因此在分析流動時，特別關注流動是否為均勻流的判別。EXIT是否接近均勻流？漸變流流線雖不平行，但夾角較小；

流線雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；

流線彎曲的曲率較大。

漸變流和急變流是工程意義上對流動是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒有明顯的、確定的界限，需要根據實際情況來判定。是否EXIT急變流示意圖EXIT

流線間夾角較大流線彎曲的曲率較大

五.流動按空間維數的分類一維流動二維流動三維流動平面流動軸對稱流動

任何實際流動從本質上講都是在三維空間內發生的，二維和一維流動是在一些特定情況下對實際流動的簡化和抽象，以便分析處理。EXIT

流場與某一空間座標變數無關，且沿該座標方向無速度分量的流動。xyoxyzou0u0二維流動EXIT直角系中的平面流動：大展弦比機翼繞流zro子午面EXIT柱坐標系中的軸對稱流動：液體在圓截面管道中的流動

流動要素只取決於一個空間座標變數的流動

在實際問題中，常把總流也簡化為一維流動，此時取定空間曲線座標s

的值相當於指定總流的過流斷面，但由於過流斷面上的流動要素一般是不均勻的，所以一維簡化的關鍵是要在過流斷面上給出運動要素的代表值，通常的辦法是取平均值。s其流場為s—空間曲線座標

元流是嚴格的一維流動，空間曲線座標s

沿著流線。EXIT一維流動

六.系統和控制體

由確定的流體質點組成的集合稱為系統。系統在運動過程中，其空間位置、體積、形狀都會隨時間變化，但與外界無品質交換。

有流體流過的固定不變的空間區域稱為控制體，其邊界叫控制面。不同的時間控制體將被不同的系統所佔據。

站在系統的角度觀察和描述流體的運動及物理量的變化是拉格朗日方法的特徵，而站在控制體的角度觀察和描述流體的運動及物理量的變化是歐拉方法的特徵。EXIT占據有限體積

系統

流體團微分體積

系統

流体微团

最小的

系統

流体质点

有限體積

控制體

微元

控制體

場點大小EXIT§3—3連續性方程EXIT

三維流動的連續性微分方程不可壓縮流體運動的連續性微分方程恒定總流的連續性方程

連續性方程——品質守恆定律對流體運動的一個基本約束

用歐拉觀點對質量守恆原理的描述：連續介質的運動必須維持質點的連續性，即質點間不能發生空隙。因此，淨流入控制體的流體品質必等於控制體內因流體密度變化而增加的品質。EXIT

一.三維流動的連續性微分方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’淨流入前後這一對表面的流體品質為

在時間段dt

裏，從abcd

面流入微元體的流體品質為從a’b’c’d’面流出的流體品質為EXITxyzodxdydzuzabcda’b’c’d’

同理可知，在時間段dt

裏，沿著y方向和z方向淨流入左右和上下兩對表面的流體品質分別為和uyEXIT三維流動的連續性微分方程

在時間段dt

裏，微元內流體品質的增加

根據品質守恆原理簡化或寫成EXIT

恒定流動的連續方程EXIT

極座標中平面流動的連續方程d

u

ourrd

dr

r

對於不可壓縮流體的流動（不論是恒定或非恒定），連續方程為EXIT速度場的

散度為零

二.不可壓縮流體運動的連續性微分方程不可壓縮流體速度場的散度流體微團在三個互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體微團的體積膨脹率。

連續方程表明不可壓縮流體微團在三個互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個方向上有拉伸，則必有另一個方向上的壓縮，在運動過程中其體積不會發生變化。EXITEXIT

恒定條件下：總流管的形狀、位置不隨時間變化。總流內的流體是不存在空隙的連續介質，其密度分佈恒定，所以這段總流管內的流體品質也不隨時間變化。沒有流體穿過總流管側壁流入或流出，流體只能通過兩個過流斷面進出控制體。

控制體：上游過流斷面A1和下游過流斷面A2之間的總流管A1A2QmQm

三.恒定總流的連續性方程通過恒定總流兩個過流斷面的品質流量相等。

恒定總流

連續方程即或通過恒定總流兩個過流斷面的體積流量相等。

根據品質守恆定律即可得出結論：在單位時間內通過A1流入控制體的流體品質等於通過A2流出控制體的流體品質。

又若流體不可壓，

=const

EXIT

對於不可壓縮流體，根據連續方程，容易理解為什麼流線的疏密能夠反映流速的大小。

在有分流匯入及流出的情況下，連續方程只須作相應變化。品質的總流入=品質的總流出。EXIT§3—4流體微團運動的分析EXIT

亥姆霍茲速度分解定理流體微團運動分析有旋流動和無旋流動

考察和分析流體質點之間的相對位移和相對運動。

談及相對運動就必須把討論問題的尺度從流體質點擴大到流體微團。

給出在同一時刻流體微團中任意兩點速度之間的關係。分析流體微團的運動形式。EXIT

考察在M點的一階臺勞展開，以x方向分量為例。

一.亥姆霍茲速度分解定理EXITdr

同理EXIT合併成向量形式流體微團中任意兩點間速度關係的一般形式亥姆霍茲速度分解定理EXIT主對角線上三個元素是線變形速率其餘的是角變形速率流體的變形速率張量，是二階對稱張量EXIT流體旋轉角速度向量，它恰是流速場的旋度向量的一半。

旋度EXIT

二.流體微團運動分析

以oxy平面上的運動為例，解釋[

]

和

的含義，進而給出亥姆霍茲速度分解定理的物理意義，分析流體微團的運動。M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdyEXITM’A’B’AMBxyot

t+dt

由A點相對於M

點的x

方向的速度差引起表示單位時間、x方向單位長度流體線段的伸長，即x方向的線變形速率。dxdyEXITMA的伸長

=M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdyd

1d

2,直角AMB

的減小:

d

1+d

2=表示

oxy座標面上流體直角減小速率的一半，也稱為角變形速率

EXITM’A’B’AMBxyot

t+dtdxdyd

1d

2表示

oxy座標面上兩直角邊旋轉的平均速率，即直角平分線的旋轉速率，也是M點處流體平均旋轉角速度向量在z

軸上的分量。,直角邊MA，MB

的逆時針轉過角度的平均值:

EXIT

亥姆霍茲速度分解定理各項的物理意義:

點的流速；

:點的流速；

:流體變形率張量[

]

對兩點相對運動速度的貢獻，包括線變形和角變形；

:流體平均旋轉角速度引起的兩點相對運動速度。平移變形轉動基準點是展開點MEXIT變形速度轉動速度適用範圍流體剛體有因點而異流體微團無不隨點變整個剛體

流體速度分解與剛體速度分解的異同EXIT

唯一的標準是看流速場是否滿足，寫成分量形式為：

三.有旋流動和無旋流動旋度無旋流動有旋流動這個分類是

很重要的EXIT

判別

將動量守恆定律用於恒定總流得到恒定總流的動量方程。引出無旋流動的速度勢函數和不可壓縮流體平面流動的流函數概念，討論不可壓縮流體平面無旋流動的速度勢函數與流函數的關係以及求解勢流問題的奇點疊加方法。EXITEXIT§4—1流體運動微分方程

運動理想流體的應力狀態理想流體運動微分方程（歐拉方程）的建立不可壓縮粘性流體運動微分方程（納維-

斯托克斯方程）介紹流體動力學的定解問題理想流體運動微分方程的伯努利積分pP=pnpP=

pnp：動壓強

p：靜壓強

EXIT

一.運動理想流體的應力狀態

運動理想流體的應力只有法向應力—動壓強

靜止流體（不論理想或實際流體）

運動理想流體靜止流體運動理想流體

靜止流體和運動理想流體中的四面體微元運動方程中品質力（含慣性力）比起表面力是高階無窮小，當四面體微元趨於一點，即可得證EXIT

運動理想流體動壓強的大小與作用面方位無關dxdydzpypnyzxoMn二.理想流體運動微分方程（歐拉方程）的建立dxabcda’b’dydzc’d’xyzoC

運用牛頓第二定律，對理想流體建立運動方程，描述動壓強、品質力和流速之間的關係。

壓強p,流速(ux,uy.uz),品質力(X,Y,Z)

作用於六面體微元沿y方向的表面力的合力為六面體

流體微團(系統)中心點CEXITEXIT

作用於六面體微元沿y

方向的品質力為dxabcda’b’dydzc’d’xyzoC

根據牛頓第二定律，y方向運動方程為

作用於六面體微元沿y

方向的慣性力為時變

慣性力位變

慣性力品質力壓差力向量形式歐拉方程EXIT

同理，可得x、z方向運動方程三.不可壓縮粘性流體運動微分方程（納維-斯托克斯方程）介紹

運動粘性流體存在切應力，壓應力與作用面的方位有關，但三個相互垂直的作用面上壓應力之和與作用面的方位無關，它們的平均值定義為粘性流體的動壓強。廣義牛頓內摩擦定律假設應力與變形速率之間呈線性關係，在此基礎上可建立不可壓縮粘性流體運動微分方程—納維-斯托克斯方程EXITN-S方程N-S方程向量形式時變

慣性力位變

慣性力品質力壓差力粘性力EXIT拉普拉斯算子對跟隨其後的量求調和量

流體靜止時，只受品質力、壓差力的作用，運動方程簡化為平衡方程例基本微分方程組EXIT

微分形式流體運動方程連同連續方程，形成對流體運動的基本控制方程組，是求解流速場和壓力場的理論基礎。四個方程可求四個未知量：p和u，方程組是封閉的。但由於運動方程是二階偏微分方程，其中的位變慣性力（常稱為對流項）是非線性的，解析求解非常困難。四.流體動力學定解問題和解法概述

忽略粘性，作理想流體假設，從流動的維數上作簡化，都是常見的手段。如果流動是有勢流動，解析處理就有更多的便利條件。後面我們就將分門別類地對各種流動進行求解方法的討論。

只有在極少數簡單流動的情況下，N-S

方程才有解析解。而絕大部分流動都不能直接對N-S

方程解析求解，我們只能抓住問題的主要方面，作相應的簡化，才能進行進一步的解析處理。

各種簡化都是在基本方程的基礎上進行的，所以深入理解方程中各項的物理意義是非常重要的。EXIT解法概述

是指運動方程的解在流場的邊界上必須滿足的運動學和動力學條件。常見的邊界條件有：固壁條件和液體的自由表面條件。流體動力學定解問題流體運動基本方程初始條件邊界條件流動共性體現個性

是對非恒定流動指定初始時刻流場的速度和壓強分佈。EXIT初始條件邊界條件初始條件和邊界條件

理想流體的固壁條件稱為可滑移條件，即流體不能穿越固壁，但可有切向相對運動，所以

un=Un

液體的自由表面動力學條件為自由表面上壓強為常數（大氣壓）。

實際（粘性）流體的固壁條件稱為不可滑移條件，即附著在固壁上的流體質點與固壁不能有相對運動，所以

u=U

以上u

和U

分別表示緊鄰著固壁的流體質點與固壁上相應點的速度。un和Un分別表示它們沿固壁法向的分量。*************EXIT注

運用運動微分方程求解各種流動問題時，需要對方程進行積分，但由於數學上的困難，目前還無法在一般情況下進行。下麵先討論在恒定條件下理想流體運動方程沿流線的積分。理想流體恒定流動

++

（dx,dy,dz）是流線上沿流動方向一段弧長，與跡線重合。EXIT五.理想流體的運動微分方程的積分上式左邊可改寫為：品質力有勢，勢函數W，即EXIT右邊後三項為不可壓縮流體，密度為常數最終原等式可寫成則右邊前三項是力勢函數W

的全微分或EXIT

在理想流體的恒定流動中，同一流線上各點的

值是一个常数。其中W

是力勢函數，

是不可壓縮流體的密度。從推導過程看，積分是在流線上進行的，所以不同的流線可以有各自的積分常數，將它記作Cl，稱為流線常數。EXIT伯努利積分積分Cl：流線常數

結論這是水力學中普遍使用的方程。伯努利積分可寫為或對同一流線上任意兩點1

和2

利用伯努利積分，即有12zuo伯努利方程o流線EXIT重力場中的伯努利積分Cl：流線常數§4—2恒定總流的能量方程EXIT

恒定元流的能量方程恒定總流的能量方程能量方程的應用舉例有能量輸入或輸出的能量方程

一.恒定元流能量方程伯努利積分

歐拉方程各項的量綱是單位品質流體受力，伯努利積分是歐拉方程的各項取了勢函數而得來的，即力對位移作積分，力勢函數是能量量綱，所以伯努利方程表示能量的平衡關係。伯努利方程的物理意義****************單位重量流體所具有的位置勢能（簡稱單位位置勢能）單位重量流體所具有的壓強勢能（簡稱單位壓強勢能）單位重量流體所具有的總勢能（簡稱單位總勢能）****************EXIT單位重量流體所具有的動能（簡稱單位動能）單位重量流體所具有的總機械能（簡稱單位總機械能）****************

在理想流體的恒定流動中，同一流體質點的單位總機械能保持不變。

在理想流體的恒定流動中，位於同一條流線上任意兩個流體質點的單位總機械能相等。拉格朗日觀點歐拉觀點EXIT伯努利積分位置水頭壓強水頭測壓管水頭速度水頭總水頭

伯努利方程的幾何意義

伯努利積分各項都具有長度量綱，幾何上可用某個高度來表示，常稱作水頭。****************EXIT伯努利積分

伯努利方程在流線上成立，也可認為在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流體恒定元流的能量方程。

伯努利方程是能量守恆原理在流體力學中的具體體現，故被稱為能量方程。

總機械能不變，並不是各部分能量都保持不變。三種形式的能量可以各有消長，相互轉換，但總量不會增減。

伯努利方程可理解為：元流的任意兩個過流斷面的單位總機械能相等。由於是恒定流，通過元流各過流斷面的品質流量相同，所以在單位時間裏通過各過流斷面的總機械能（即能量流量）也相等。*********************************************************************************EXIT

將各項水頭沿程變化的情況幾何表示出來。水頭線測壓管水頭線總水頭線位置水頭線oo水準基準線理想流體恒定元流的總水頭線是水準的。EXIT畢

托

管

测

速

元流能量方程的應用舉例AhⅡ管BⅠ管u代入伯努利方程

假設

Ⅰ、Ⅱ管的存在不擾動原流場。EXITⅠ管——測壓管，開口方向與流速垂直。Ⅱ管——總壓管，開口方向迎著流速。

畢託管利用兩管測得總水頭和測壓管水頭之差——速度水頭，來測定流場中某點流速。

實際使用中，在測得h，計算流速u

時，還要加上畢託管修正係數c，即

實用的畢託管常將測壓管和總壓管結合在一起。Ⅰ管Ⅱ管Ⅰ管測壓孔Ⅱ管測壓孔********************************思考為什麼？EXITEXIT實驗室中使用的畢託管測速儀動能勢能

相互轉換位置勢能壓強勢能例子不勝枚舉EXITEXITEXIT

二.恒定總流的能量方程

為把總流能量方程的表達一維化，將測壓管水頭與流速水頭的積分分開考慮。總流是無數元流的累加

理想流體恒定總流各過流斷面上的能量流量相等

理想流體恒定元流各過流斷面上的能量流量相等****************EXITEXIT

恒定均勻流運動方程中只有重力、壓差力和粘性力（因以後要將能量方程擴展到實際流體，故在此不作理想流體假設）。解決測壓管

水頭的積分尋求平均

測壓管水頭考察均勻流的過流斷面上

測壓管水頭的分佈情況

均勻流的流線是平行直線，流速都沿著同一方向，其過流斷面是平面，取直角坐標系：x

軸為流速方向，y

軸和z1

軸在過流斷面所在平面上，其中y

軸水準。z

軸鉛垂向上。***************************xozz1θdzdz1p+dppGdA

在流場中取出一軸線平行於z1軸高度為dz1，底面積為dA的微小柱體，分析其沿軸向的受力。EXITxozz1θdzdz1pp+dpGdA側面無切應力

有壓力但無軸向分量底面有切應力但無軸向分量有壓力沿軸向品質力重力有沿軸向分量無慣性力表面力

易知，上式在過流斷面（oyz1平面)上均成立。EXITz1方向力的平衡關係式xozz1θdzdz1pp+dpGdA

均勻流的過流斷面上粘性力的分量為零，只有壓差力與重力之間的平衡，所以動水壓強按靜水壓強的規律分佈。

只能在同一過流斷面上應用上述結論，因為x

方向的運動方程裏有粘性力項，所以沿著流動方向動水壓強分佈不同於靜水壓強，導致不同過流斷面上測壓管水頭可能是不同的常數。^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^EXIT

結論均勻流的過流斷面上測壓管水頭是常數注EXIT

漸變流近似於均勻流，所以漸變流過流斷面上的測壓管水頭可視為常數，任何一點的測壓管水頭都可以當作過流斷面的平均測壓管水頭。漸變流過流斷面上的測壓管水頭分佈

急變流中同一過流斷面上的測壓管水頭不是常數，因為急變流中，位變加速度不等於零，過流斷面上有壓差力、重力和慣性力的分量，不再是僅有壓差力和重力相平衡的情況，慣性力也參與進來了，造成斷面測壓管水頭不等於常數。OO123312EXIT漸變流過流斷面上測壓管水頭是常數z22z3EXIT急變流過流斷面上測壓管水頭不是常數z1OO1離心力方向32靜水壓強分佈動水壓強分佈靜水壓強分佈動水壓強分佈動水壓強分佈與靜水壓強分佈之所以有差別是為了提供向心力EXIT測壓管水頭的積分

若過流斷面A取在漸變流段中，則其上的測管水頭可視為常數。EXIT漸變流過流斷面上測壓管水頭的積分

α稱為動能修正係數。它是一個大於1.0的數，其大小取決於斷面上的流速分佈。流速分佈越均勻，越接近於1.0；流速分佈越不均勻，α的數值越大。在一般的漸變流中的α值為1.05-1.10.為簡單起見，也常近似地取α=1.0.用斷面平均流速v

代替u，並不能作為的平均值設為速度水頭

的平均值速度水頭的積分***********************EXIT

理想不可壓流體恒定總流，流動中無機械能損耗，通過各過流斷面的能量流量相同，而由連續方程決定了重量流量

gQ沿程不變，所以在任意兩個分別位於總流的漸變流段中的過流斷面A1和A2有

總流通過漸變流段中過流斷面的能量通量為斷面單位重量流體的總機械能（即總水頭）為理想不可壓縮流體恒定總流的能量方程即A1A2*******EXITgQgQ完成了對恒定總流能量方程的一維化表達

在總流能量方程的上述運算式中斷面平均流速v

、動能修正係數

和測壓管水頭的取值都是由斷面唯一確定的，條件是過流斷面應處於漸變流段中。EXIT

斷面A1是上游斷面，斷面A2是下游斷面，hw1-2為總流在斷面A1和A2之間平均每單位重量流體所損耗的機械能，稱為水頭損失。水頭損失如何確定，將在後面敘述。

採取補上流體在流動過程中機械能損耗的方法，將理想流體的能量方程推廣到實際流體。分析水力學問題最常用也是最重要的方程式EXIT實際流體恒定總流

的能量方程

總流水頭線的畫法和元流水頭線是相仿的，其中位置水頭線一般為總流斷面中心線。恒定總流能量方程的幾何表示——水頭線水準基準線位置水頭線測壓管水頭線總水頭線oo***********EXIT

與元流一樣，恒定總流能量方程的各項也都是長度量綱，所以可將它們幾何表示出來，畫成水頭線，使沿程能量的轉換和變化情況更直觀、更形象。水力坡度稱為水力坡度。其中s是流程長度，hw為相應的水頭損失。水力坡度表示單位重量流體在單位長度流程上損失的平均水頭。

實際流體的流動總是有水頭損失的，所以總水頭線肯定會沿程下降，將水頭線的斜率冠以負號

測壓管水頭線可能在位置水頭線以下，表示當地壓強是負值。EXIT恒定總流能量方程的應用條件（1）流動必須是恒定流，並且流體是不可壓縮的。（2）作用於流體上的品質力只有重力。（3）所取的上下游兩個斷面應在漸變流段中，以符合斷面上測壓管水頭等於常數這一條件。但在兩個斷面之間流動可以不是漸變流。斷面應選在已知條件較多的位置。在漸變流斷面上取任何一點的測壓管水頭值都可作為整個斷面的平均值，為簡便通常取管道中心點或管道水面點。EXIT

先看一個跌水的例子。取坎頂上水深h處為1-1

斷面，平均流速為v1，取水流跌落高度a處為2-2斷面，平均流速為v2，認為該兩斷面均取在漸變流段中。基準面通過斷面2-2

的中心點。

三.能量方程應用舉例恒定總流能量方程表明三種機械能相互轉化和總機械能守恆的規律，由此可根據具體流動的邊界條件求解實際總流問題。1122oahv1v2o%%%%%%%%%%%%EXIT跌水=a

+h=0=0在水面點取值四周通大氣，取斷面形心處的位置水頭忽略空氣阻力寫出總流能量方程如已知a，h，v1，即可求出v2近似地取

整股水流的水面都與大氣相通，屬於無壓流動，因此在流動過程中我們僅看到位置勢能和動能之間的轉換。%%%%%%%%%*******EXIT

另一個例子是文透裏管中的流動。文透裏管是一種常用的量測管道流量的裝置，它包括“收縮