集合间的基本运算

集合的基本运算一、学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．二、知识梳理1．并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属干集合A或者AUB二{xlxWA，或XWB}属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AUB（读作“A并B”）交集由属干集合A且属干集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AAB（读作“A交B”）AAB={x|x£A，且xWB}2.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质AUB二BUAAGB二BGAAUA二AAGA二AAU0二AAA0=0A^BOAUB=BA^BOAAB^A3．全集（1）定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

⑵记法：全集通常记作U.4．补集文字语言对于一个集合A,由全集U中不属干集合A的所有兀素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作JA符号语言ruA={x|xeU.且x年A}图形语言5.补集的性质CoU=0,CO0=U,CU(CUA)=A.三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例1(1)设集合M二{4,568}，集合N={3,5,7,8}，那么MUN等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}(2)已知集合P={x|x<3},Q二{X|-1WXW4}，那么PUQ等于()A.{x|—1Wx<3} B.{X|—1WXW4}C.{x|xW4}D.{x|x^—1}答案(1)A(2)C解析(1)由定义知MUN二{345,6,7,8}.(2)在数轴上表示两个集合，如图.规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪演练1⑴已知集合A二{x|(x-1)(x+2)=0}；B二{x|(x+2)(x-3)=0}，则集合AUB是()A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}⑵若集合M二{x|—3<xW5},N={x|x<-5，或x>5}IJMuN二 .答案⑴C(2){x|x<—5,或x>—3}解析(1)tA二{1,—2},B二{—2,3},/•AuB={1,—2,3}.(2)将-3<XW5,x<—5或x>5在数轴上表示出来.则MuN={x|x<—5，或x>—3}.知识点二集合交集的简单运算例2⑴已知集合A二{0,246},B二{2,4,8,16}IJAQB等于()A．{2}B．{4}C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4}(2)设集合A二{X|—1WXW2},B二{x|0WxW4}，则AQB等于()A.{x|0WxW2}B.{X|1WXW2}C.{x|0WxW4}D.{x|1WxW4}答案(1)D (2)A解析(1)观察集合A,B,可得集合A,B的全部公共元素是24所以APB={2,4}.⑵在数轴上表示出集合A与B,如下图.则由交集的定义可得AQB二{X|0WXW2}.规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合,和求并集的解决方法类似.5跟踪演练2已知集合A={x|-1<x^3},B={x|x^0,或XN?}，求AQB,AuB.5解vA={x|-1<x^3},B二{x|xW0,或x三刖，把集合A与B表示在数轴上，如图.5.••AQB二{x|—1<xW3}Q{x|xW0，或x^}5={x|—1<x^0,或2WXW3}；5AUB二{x|—1<xW3}U{x|xW0或x^2}=R-知识点三已知集合交集、并集求参数例3已知A二{x|2awxwa+3},B={x|x<—1,或x>5}，若AnB=0，求实数a的取值范围.解由AnB=0,(1)若A=0，有2a>a+3,.・・a>3.⑵若AM0,如下图：Saw-1,1.•.<a+3W5, 解得-2Waw2.、2awa+3,1综上所述，a的取值范围是{a|-2waw2,或a>3}.规律方法1.与不等式有关的集合的运算,利用数轴分析法直观清晰,易于理解．若出现参数应注意分类讨论,最后要归纳总结.2.建立不等式时,要特别注意端点值是否能取到,分类的标准取决于已知集合,最好是把端点值代入题目验证.跟踪演练3设集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且AUB二{x|-1<x<3},求a的取值范围.解如下图所示,由AuB={x|-1<x<3}知，1<aw3.知识点四简单的补集运算例4(1)设全集U={12345}，集合A={1,2}，则JA等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{123,4,5}D.0⑵若全集U=R，集合A={x|xw1}，则JA= .答案(1)B(2){x|x<1}解析(1)vU={1,2,3,4,5}，A={1,2}，••"={3,4,5}.⑵由补集的定义，结合数轴可得［uA={x|x<1}.规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.2•解题时要注意使用补集的几个性质：[卩=0,[汽二U,AU(CuA)=U.跟踪演练1已知全集U二{x|x^-3}，集合A二{x|-3<xW4}，则JA二 .答案{x|x=-3，或x>4}解析借助数轴得JA二{x|x=-3,或x>4}.知识点五交集、并集、补集的综合运算例5⑴已知集合A、B均为全集U二{123,4}的子集，且J(AUB)二⑷，B={1,2}，则AQjB等于()A•{3}B•{4}C•{3,4}D•0(2)设集合S={x|x>-2},T二{X|-4WXW1}，^I」([rS)UT等于()RA•{x|—2<xW1}B•{x|xW—4}C•{X|XW1}D•{X|XN1}答案(1)A(2)C解析(1)vU={1,2,3,4},CU(AUB)={4},•••AUB二{1,2,3}•又vB={1,2},•••{3}UAU{1,2,3}•又初二{3,4},•An[UB={3}•⑵因为S={x|x>-2}，所以[rS二{x|xW-2}.R而T={x|—4WXW1},所以([rS)UT二{x|xW-2}U{x|-4WxW1}二{X|XW1}•规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算,因此在进行集合的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时,如数集,可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时,如不等式形式表示的集合,则可借助数轴求解．跟踪演练2设全集为R,A={x|3^x<7},B={x|2<x<10}，求[r(AuB)及([rA)QB.RR解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，AuB={x|2<x<10},•••[r(AuB)二{x|xW2,或XN10}.•••JA二{x|x<3，或XN7},•••([rA)QB二{x|2<x<3，或7Wx<10}.要点六补集的综合应用例6已知全集U二R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3}，且Bu[A,求a的取值范围.R解由题意得[RA={x|x三-1}.R⑴若B=0,则a+3W2a，即a^3,满足B^[A.R⑵若BM0，则由Bu[A,得2a^—1且2a<a+3,R1即-2^a<3.1综上可得a三-刁.规律方法1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集.跟踪演练3已知集合A={x|x<a},B={x<-1，或x>0}，若An([RB)=0，求实数a的取值范围.解•B={x|x<-1，或x>0},•••[B={x|-1WXW0},R因而要使AQ([rB)=0,结合数轴分析(如图)，R可得aw-1.四、课堂练习1•若集合A二{0,1,2,3},B二{1,2,4}，则集合AUB等于（）A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C•{1,2}D•{0}答案A解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2,因此，AUB共含有5个元素•故选A.2•设A二{XENI1WXW10},B={xER|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A•{2}B•{3}C•{-3,2}D•{-2,3}答案A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A二{123456789,10},而直接解集合B中的方程可知B二{-3,2},因此阴影部分显然表示的是AQB二{2}.3•集合P二{XEZ|OWX<3},M二{XER|X2W9}IJPQM等于（ ）A．{1,2}B．{0,1,2}C.{x|0Wx<3}D.{x|0WxW3}答案B解析由已知得P二{0,1,2},M二{X|-3WXW3},故PPM={0,1,2}.4•已知集合A={x|x>2,或x<0},B={x|—j5<x<V5},则（）A.APB=0B.AUB=RC.BCAD.AUB答案B解析vA={x|x>2，或x<0},B={x|_\；5<x<T5},•••AQB二{x|—V5<x<0,或2<x<、；5},AUB=R.故选B.5•设集合M二{x|-3Wx<7},N={x|2x+k^0}，若MQNM0，则实数k的取值范围为 .答案kw6“ k解析因为N={x|2x+kw0}={x|xW—2},k且MQNM0，所以—亍三—33kw6.•若全集M二{1,2,345},N={2,4}，则［mN等于（）A.0B.{1,3,5}C•{2,4}D.{1,2,345}答案B解析Cmn={1,3,5}，所以选B.7•已知全集U={1,2,345}，集合A={1,2},B={2,3,4}，贝则BQ.A等于（）A•{2}B•{3,4}C•{1,4,5}D•{2,345}答案B解析tU={1,2,345},A={1,2},/•CuA={3,4,5},/.BnCuA={2,3,4}P{3,4,5}={3,4}•8•已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MnN,则P的子集共有（）A•2个B•4个C•6个D•8个答案B解析tP二{1,3},.・・子集有22=4个.9.已知全集U二Z，集合A={0,1},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{－1,2}B.{－1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案A解析图中阴影部分表示的集合为（JAMB,因为A={0,1},B={-1,0,1,2},所以（JAMB二{-1,2}.10.若全集U=R，集合A={x|xN1}U{x|xW0}叽$二 .答案{x|0<x<1}解析tA二{x|xN1}U{x|xW0},/•CuA={x|0<x<1}.五、巩固训练1•已知集合A={x|x^0},B二{x|-1WxW2}，则AUB等于（）A.{x|xN—1}B.{x|xW2}C.{x|0<xW2}D.{x|1WxW2}答案A解析结合数轴得AUB={x|xN-1}.•已知集合M二{x|（x—1）2<4,XER},N二{—1,0,123}，则MQN等于（ ）A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C•{—1,0,2,3}D•{0,1,2,3}答案A解析集合M={x|—1<x<3,XER},N二{—1,0,123}，^I」MQN二{0,1,2},故选A.•设集合M={x|X2+2x=0,XER},N={x|X2—2x=0,xER}，则MUN等于（ ）A•{0}B•{0,2}C•{—2.0}D•{-2,0,2}答案D解析集合M={0,—2},N={0,2},故MuN={-2,0,2}，选D.4•设集合M={x|—3<x<2},N={x|1WxW3}，则MQN等于（ ）A.{x|1Wx<2}B.{x|1WxW2}C.{x|2<xW3}D.{x|2WxW3}答案A解析tM={x|—3<x<2}且N={x|1WxW3},•••MQN={x|1Wx<2}•5•设A二{x|-3wxw3},B二{y|y=-x2+t}•若AnB=，则实数t的取值范围是()A.t<—3B.tW—3C.t>3D.tN3答案A解析B={y|ywt}，结合数轴可知t<-3.•若集合A={x|xw2},B={x|x^a}，满足AnB={2}，则实数a二 答案2解析vAnB={x|awxw2}={2}，a=2.•已知集合A={x|—1Wx<3}，B={x|2x—4三x—2}.(1)求AnB；⑵若集合C={x|2x+a>0}，满足BuC=C，求实数a的取值范围.解(1)tB二{x|xN2},.・.AQB二{x|2Wx<3}.a(2)vC={x|x>~2},BUC=COBCC,a2<2,.°.a>-4.•集合A={0,2,a},B={1,a2}，若AUB={0,1,2,4,16}，则a的值为()A.0B.1C.2D.4答案D解析tAuB={0,1,2,a,a2},又AUB={0,1,2,4,16}，「•{a,a2}={4,16},「.a=4.已知集合A={x|—2WXW7},B={x|m+1<x<2m—1}，且BM0，若AUB=A，则( )A.—3WmW4B.—3<m<4C.2<m<4 D.2<mw4答案D解析•••AUB=A,.・.BUA.又BM0,"m+1三一2,.叮2m—1W7, 即2<mw4.、m+1<2m—1,.设集合A={x|—1WxW2},B={x|—1<xW4},C={x|—3<x<2}且集合AQ(BuC)={x|aWXWb},^ga= ,b= .答案—12解析•BuC={x|-3<xW4},.A疗(BUC).•••AQ(BUC)=A,由题意{x|awxwb}={x|—1wxw2}..a=—1,b=2.11•已知A={x|—2WxW4},B={x|x>a}.⑴若AnBMA,求实数a的取值范围；⑵若AQBM0，且AQBMA,求实数a的取值范围.解(1)如图可得，在数轴上实数a在-2的右边，可得a^—2;⑵由于AQBM0,且AQBMA,所以在数轴上，实数a在-2的右边且在4的左边，可得-2wa<4.12•已知集合A二{x|-2wxw5},B二{x|2awxwa+3}，若AuB=A，求实数a的取值范围.解\-AuB=A，aBcA.若B=0时，2a>a+3，即a>3；玄三—2,若BM0时，<a+3W5,、2awa+3,解得-1waw2,综上所述，a的取值范围是{a|-1waw2,或a>3}.•已知集合A二{x|2a+1wxw3a-5},B={x|x<-1,或x>16},分别根据下列条件求实数a的取值范围.(1)AQB=0;(2)AU(AQB).解(1)若A=0l」AQB=0成立.此时2a+1>3a-5,即a<6.2a+1W3a-5,若AM0，如图所示，则12a+1^-1,、3a-5W16,

解得6waw7.综上，满足条件AQB=0的实数a的取值范围是{a|aw7}.⑵因为AU(AQB)，且(AQB)UA,所以AnB=A，即ACB.显然A=0满足条件，此时a<6.若AH若AH0，如图所示,2a+1W3a-5,3a－5<－12a+1W3a—5,或〕2a+1>16.2a+1W3a—5，由U-5<-1 解得aE0；

15解得a＞亍2a+1W3a15解得a＞亍综上，满足条件AU(AQB)的实数a的取值范围是{a|a<6，或a>~p.•已知全集U二{123,4}，集合A={1,2},B={2,3}，则Cu(AuB)等于()A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}答案D解析•••A={1,2},B={2,3},aAUB={1,2,3},/.Cu(AUB)={4}••已知A={x|x+1>0},B={—2,—1,0,1},I」([rA)QB等于()A.{－2,－1}B.{－2}C.{-1,0,1}D.{0,1}答案A解析因为集合A={x|x>-1},所以[RA={x|xW-1},则([A)QB={x|xW-1}Q{-2,-1,0,1}R={-2,-1}.•设u=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则aq(Cub)等于()A.{x|0Wx<1} B.{x|0<xW1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}答案B解析[uB={x|x^1},aAQ([uB)={x|0<x^1}..设全集U是实数集R,M={x|x<-2,或x>2},N={x|1WxW3}•如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A.{x|—2Wx<1} B.{x|—2WXW3}C.{x|xW2,或x>3}D.{x|—2WXW2}答案A解析阴影部分所表示的集合为Cu(MuN)=(CuM)n(CuN)={x|—2^x^2}P{x|x<1或x>3}={x|-2Wx<1}•故选A.5•已知集合A二{X|OWXW5},B二{x|2Wx<5},则二 .答案{x|0Wx<2,或x=5}解析如图：由数轴可知：[AB={x|0^x<2,或x=5}.17.设全集U二R，集合A={x|x^O},B={y|y^1}，则JA与JB的包含关系是 答案JA削声解析v[uA={x|x<0},[uB={y|y<1}={x|x<1}.•••”Iub-' 518•已知全集U二R,A二{X|—4WXW2},B二{x|—1<xW3},P=]x|xWO，或x^2f，（1）求AQB；⑵求（[QUP；（3）求（AnB）n（Cup）•解（1）AnB二{x|—1<xw2}.⑵•••[uB二{X|XW—1,或x>3},TOC\o"1-5"\h\z' 5/.（[uB）UP=^x|x^O，或x$2>・f 5、（3）•/[uP=^x|0<x<2[,f 5'/.（AnB）n（[uP）={x|—1<xw2}n]x|0<x<2卜{X|O<XW2}.19•已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2}，且AU（[R^）=R，则实数a的取值范围是（）A.aW1B.a<1C.a三2D.a>2答案C解析如图所示，若能保证并集为R,则只需实数a在数2的右边（含端点2），所以a^2.20•如图，丨是全集，M、P、S是丨的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A.（MQP）riSB.（MQP）USc.（Mnp）n（［s）d