集合间的基本关系讲义

2集合间的基本关系一、子集（一）子集:对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A匸B（或BoA）,读作“A含于B”（或“B包含A”）数学语言表示形式为：若对任意的xGA有xGB,则A匸B子集关系用文氏图表示为：AoB（或BoA）根据子集的定义，我们可以知道oA,也就是说任何集合都是它本身的一个子集对于空集我们规同oA,即空集是任何集合的子墓例1：用适当的符号填空0 {0}Q {0}2 {2}2 N{2} N变式练习1：已知A={x|x2—3x+2=0},B={1,2},C={x|xV8,x^N},用适当的符号填空A BA C{2} C2 C例2：写出集合{a,b,c,d}的所有子集。【解析】集合{a,b,c,d}的所有子集可以分为五类，即:（1）含有0个元素的子集，即空集©；2） 含有一个元素的子集：{a},{b},{c},{d}；3） 含有二个元素的子集：{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}4） 含有三个元素的子集：{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}；5）含有四个元素的子集：{a,b,c,d}.

结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有2n个子集变式练习1：已知集合A={xGN|—1WxV4}，则集合A的子集有＋【解析】：8个（二）、集合相等:如果集合A是集合B的子集（A匸B）,且集合B是集合A的子集（B匸A）,则集合A与集合B相等,记作集合人=集合B。即：A匸B且B匸A则A=B。（上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同）例3：已知集合A和集合B都是含三个兀素的集合，且集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac?}，若AoB且BoA,求c的值。la+b=ac【解析】（l）若消去b得：ac2+a—2ac=0,[a+2b=ac2a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故aMO.•°・c2—2c+1=0,即c=1,但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.la+b=ac2（2）若] 消去b得：2ac2—ac—a=0,[a+2b=ac1*.*aM0,A2c2—c—1=0,即（c—1）（2c+1）=0,又cM1,故c=——。厶变式练习：已知集合A和集合B都含有三个元素，A={x,xy,x—y},B={0,|x|,y},若AoB且BoA,求2x+y的值。【解析】：・••由集合的互异性，・：x—y=0,则x=y,此时A={x,X2,0},B={0,|x|,x},则X2=|x|且xMx2，故x=y=—1,此时A={-1,1,0},B={0,1,一1}，符合题意，综上所述，2x+y=-3。（三）、真子集：如果集合AoB,但存在元素xGB，且x电A,我们称集合A是集合B的真子集。记：AWB（或陰A）A真含于BB真包含A注意：即如果AoB且AMB,那么集合A是集合B的真子集，记作AWB（或B二A）。例如{1,2}三N、{a,b}三{a,b,c}等。子集与真子集的区别在于“AoB”允许A=B或AWB,•而AWB是不允许“A=B”的，•所以如果AWB成立，则一定有AoB成立；但如果有AoB成立，AWB不一定成立。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。例4：分别写出集合{a},{a,b}和{a,b,c}的所有子集和真子集。集合{a}的子集有©,{a}，共有2个子集；真子集有{a},共1个真子集。集合{a,b}的子集有©,{a},{b},{a,b},共有4个子集；真子集有©,{a},{b},共3个真子集。集合{a,b,c}的子集有：©,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，共有8个即个子集；真子集有©,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},共7个真子集。结论；如果集合A中肴n个元素，•则集合A共肴2n个子集；2n—1个真子集。例5：有适当的符号填空。TOC\o"1-5"\h\zA={2,3,6}B={x|x是12的约数}A BA={0,1}B={x|X2+y2=1,y$N}A BA={x|—1VxV2}B={x|—2VxV2}A BA={(x,y)|xXyVO}B={(x,y)|x>0,y>O}A BA={x|X2=1}B={y|y2—2y+4=0}A B【解析】：(1)三(2)三(3)三(4)三(5):变式练习1：已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,xWA,y^B}，贝^B的子集有()A：8个B：2个C：4个D：7个【解析】：集合B中有3个元素，子集有8个。A x+1变式练习2：已知集合A={xWZ| <0},B={y|y=X2+1,x^A}，则集x—3合B的含有元素1的子集个数为()A：5B：4C：3D：2【解析】：A={xeZ|—1WxV3}={—1,0,1,2},则B={1,2,5},则集合B的含有元素1的子集有{1},{1,2},{1,5},{1,2,5}共四个，B1 b1变式练习3：已知A={x|x=a+ ,aWZ},B={x|x= ——,bWZ},C6 23={x|x=c+-,cWZ}，则集合A、B、C满足的关系是()26A：A=BWCB：A£B=CC：A三BWCD：BWCm【解析】：A={6x|6x=6a+1,aWZ},B={6x|x=3a—2=3(a—1)+1,bWZ},C={6x|x=3c+1,cWZ}。则AN=CB变式练习4：已知A={x|y=x2一2x+1},B={y|y=x2一2x+1},C={x|x2一2x+1=0},D={x|x2一2x+1VO},E={(x,y)|y=x2一2x+1}，贝U下列结论正确的是()A：A匸B匸C匸DB：DHN4C：B=ED：A=B【解析】：B变式练习5：若集合A满足{1,2}匸A匸{1,2,3,4}，则满足条件的集合A的个数为 个。【解析】：4个二、子集的有关性质1空集©:我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为©，并规定：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即空集©只肴一个子集就是它本身，•而空集没有真子集。2、子集与真子集的性质（1） 任何集合是它本身的子集，即A匸A；（2） 对于集合A、B、C,如果A匸B且B匸C,那么A匸C；（3） 对于集合A、B、C,如果AWB,且BWC,那么AWC；（4） 空集©是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例5：下列集合只有一个子集的是（）A：{xIX2W0}B：{xIX3W0}C：{xIX2<0}D：{xIX3>0}【解析】：C例6：下列表述正确的是（）A：©={0}B：©u{0}C：©n{0}D：©${0}【解析】：B例7：设A={x|2m—1VxVm+3},B={x$R|x2+1=0}问m为何值时能使得A=B。【解析】（1）显然B=©，欲使A=B,必须且只需A=©即可。由于2m—1三m+3可得m±4,此时A={xI2m—1VxVm+3}=©.综上可知，当m±4时，A=B例8：已知集合A={xIx2+x—2=0},B={xIx—a=0}，若B?u人，则a=【解析】易求A={—2,1},B={1}或{—2}当B={1},a=1；B={—2},a=—2综上：a=1或a=—2TOC\o"1-5"\h\z变式练习1：已知集合A={x|x2—8x+15=0},B={x|ax—l=O}，若B?uA,贝Ua= 。【解析】：0或1或13 5例9：设集合A={x|(x+1)(x-4)W0},B={x|xWa}，若AuB?，则a的取值范围是 。【解析】：a三4变式练习1：已知集合A={x|—3WxW5}，若集合B={x|—2m—lWxWm+1},若AuB?,则求m的取值范围。[m+1>5【解析】一2m—1W—3V5Wm+1,即[ m±4[-2m-1<-3变式练习2：集合A={x|—2WxW5},B={x|m+1WxW2m—1}，若BuA,则求m的取值范围。【解析】：(1)若8=©，即m+1>2m—1时，即mV2；(2)若BH©，则mm+1<2m-1满足<m+1>-2解之得2WmW3,综上所述，mW32m-1<5变式练习2:已知函数f(x)—x2+ax+b(a、bWR)，且集合A—{xIx—f(x)},B—{xIx—f[f(x)]},(1)求证:AuB?；(2)当A={_1,3}时，用列举法表示B。【解析】：(1)任取xWA，则有x—f(x),则f[f(x)]—f[x]—x，故xWB,故AuB；[—1—1—a+b[a—-1VA—{—1,3}，故< 得彳 ，故f(x)—x2-x-3,〔3—9+3a+b[b—-3f[f(x)]—(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3，故(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3—x(x2-x-3)2-x2—0,・*.x—3,x——1,x—土<3，故B—{—1,3,^3,-込}课后综合练习

1、下列关系中正确的个数为()①0G{0},②鶴{0},③{0,1}匸{(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)}A：1B：2C：3D：4【解析】：B2、下列图形中，表示M匸N的是()【解析】：CbTOC\o"1-5"\h\z3、 设a、bGR,集合{1,a+b,a}={0,—,b}，则b—a=( )aA：1B：－1C：2D：－2【解析】：C1 1 94、 设集合A={x|x=—k+ ,k<EZ}，若x=-，则下列关系正确的是()2 4 2A：x纟AB：x^AC.{x}GAD.{x}纟A【解析】：A5、 用适当的符号填空：(1)© {x|x2—1=0}；(2){1,2,3} N；{1} {xIX2—x=0}；(4)0 {xIX2—2x=0}【解析】： G6、 已知集合A={x|1WxV4},B={x|xVa}，若A?B，求实数a的取值范围【解析】：a三47、 已知A={x|x2—3x+2=0},B={x|ax—2=0}且BuA,则实数a组成的集合C是 。【解析】：{0,2,1}8、 写出集合A={xI0WxV3,xGN}的真子集。【解析】：3个 +9、 已知M={x|—2WxW5},N={xIa+1WxW2a一1}。(1)若MuN,求实数a的取值范围。(2)若MnN,求实数a的取值范围。【解析】：(1)©(2)a<310、 若集合A={xIaWxWa+2},B={xIxW