集合及集合间的关系

集合及集合间的关系一般地，把研究对象统称为元素（element）,一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集）,记作N正整数集，记作屮或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作尺集合元素的三个特征：确定性可判断某些对象同集合的关系；互异性可用于简化集合的表示；无序性可用于判断集合的关系。集合的表示方法：1、列举法:把集合的元素一一列举出来，并用花括号，及，“｛｝”括起来表示集合的方法．注意：1、元素间要用逗号隔开；2、放在大括号内，不管次序。思考：book中的字母的集合能否表示为：｛b,o,o,k｝（X）2、描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。｛元素的一般符号及取值范围|元素所具有的共同特征｝变式1: “由大于3的整数组成的集合”如何表示.X属于Z可省略，用省略号形式变式2：“由大于3小于10的实数组成的集合”又如何表示.X属于Z可省略，用省略号形式说明：（1）如果从上下文的关系来看，xWR,XWZ是明确的，那么xWR,XWZ可以省略,只写其元素x

注意集合元素的一般符号如｛(x,y)|y=x2+3x+2｝与｛y|y=x2+3x+2｝不同｛｝已含有“所有”的意思如｛全体整数｝,｛实数集｝,｛R｝X3、图示法:(Venn图)1：1：a与｛a｝的含义是否相同?相同吗?2：集合｛1，2｝与集合｛(1，2)湘同吗?3:集合｛y1y=x2,xeR｝与集合x相同吗?4:集合｛(X，y)ly二X2,XeR｝的几何意义如何?集合相等的考查练习题：若x£｛1,3,x3｝，则有( )x=0或x=—1x=—1或x=3x=0或x=—1或x=3x=0或x=3设集合A=｛x,y｝,B=｛0,x2｝，若集合A、B相等，求实数x、y的值.规律总结：由集合相等求参数，应从集合相等的概念入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，需进行分类讨论.注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍.变式：b若将上式中的集合A改为｛a,a，1｝,B改为｛a2,a+b,0｝，其他条件不改变，怎样求a2012a＋b2012的值.分类讨论的思想

［例3］已知集合A是由方程ax2+2x+l=0(a丘R)的实数解作为元素构成的集合.(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；⑵若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；a=0及a=/0;(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．［解析］(1)丁1是A的元素.'.I是方程ax2+2x+l=0的一个根，.・.ax12+2xl+l=0,即a=—3,•:方程即为一3x2+2x+l=0,11.•・x1=1,x2=—3，・：集合A中的其他元素为一亍.1⑵若a=0,方程化为2x+1=0,此时有且仅有一个根x=—2；若aHO,则当且仅当方程的判别式4=4—4a=0,即a=1时，方程有两个相等的实根x1=x2=—1,此时集合A中有且仅有一个元素，.所求集合B={0,1}；(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：A中有且只有一个元素，由(2)知此时a=0或a=1；A中一个元素也没有，即A=，此时aHO,且△=4—4aV0,.°.a>1；综合①、②知所求a的取值范围是{a|a>1或a=0}.集合间的关系：1.子集一般地,对于两个集合,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素,称集合A是集合B的子集，记作A-B.读作“A包含于B”或“B包含A”.区分已也可用-若xgA贝UxgCoA匸C2.集合相等A={x|x是两边相等的三角形}B={x|x是等腰三角形},有A—B,B—A,则A=B.3.真子集如果A匸B,但存在元素xeB且x笑A,则称A是B的真子集示例4：考察下列集合，并指出集合中的元素是什么？A=｛(x,y)|x+y=2｝；B=｛x|x2+l=0,xGR｝.4.空集不含任何元素的集合为空集,记作规定：空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.子集的传递性若A匸B,B匸C,贝UA C.例：记得空集⑴写出集合｛a,b｝的所有子集；⑵写出所有｛a,b,c｝的所有子集；⑶写出所有｛a，b，c，d｝的所有子集.子集：A匸BoxeA,nxeB真子集：AuBoxeAnxeB丰但存在xeB且x电A00集合相等：A=BoA匸B且B匸A空集：不含任何元素的集合，记作屮性质：(1)屮匸A,若A非空则屮uA丰(2)A匸A⑶A匸B且B匸CnA匸C课后练习1、下列各组对象中不能形成集合的是( )正三角形的全体；大于2的所有整数；所有的无理数；高一数学书中的所有难题.2、 用适当的方