新疆北屯高级中学2021届高三10月月考理科数学试卷含解析

北屯高级中学2020-2021学年第一学期10月

月考考试高三试卷

第1卷(选择题共60分)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.已知全集〃={123,4,5,6},集合A={1,3},集合8={3,4,5},则集合4(4UB)=()

A.{3}B.{2,6}c.{1,3,4,5}D.

{1,2,4,5,6}

【答案】B

【解析】

【分析】

利用并集和补集的概念即可得出答案.

【详解】vA={1,3},B={3,4,5},

AUB={1,3,4,5},

又U={1,2,3,4,5,6},

・•.a"4UB)={2,6},

故选B.

2.若z(l+i)=l-i,贝z=()

AIB.1+/C.-iD.i

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用除法运算求得I,再利用共舸复数的概念得到z即可.

【详解】因为z=-=「.J.=?=一"所以z=i.

1+z(l+z)(l-z)2

故选：D

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共规复数的概念，是一道基础题.

<i、-0.8

3.设a=3°,,b——,c=log。70.8,则a,。,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a/,c的大小关系.

【详解】因为a=3°7>l，

匕=《）=3°$>3°i=a,

c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<8.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幕和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指

数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对基形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数单调性：y=a"当a>l时，函数递增；当0<。<1时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：>'=10gflX,当a>l时，函数递增；当0<。<1时，函数递减;

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

4.“机〉；”是“f+V-Zsx—-5机+3=0为圆方程”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.

【详解】方程x2+/-2/nx-w2-5/M+3-0表示圆需满足

一4(一加2-5m+3j>0,m<-3或6>5,

所以“加>〈”是“/+3；2-2〃认一〃22一56+3=0为圆方程”的充分不必要条件,

故选：A.

【点睛】本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

S”

5.记S"为等比数列｛%｝的前〃项和.若的-。3=12,06-04=24,则——=()

A.2"-1B.2-2〜C.2-2"iD.2'-"-1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列

的通项公式和前“项和公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为q,

a}q-qq-=12=2

由。5-%=12,。6一。4=24可得:

a4—ad=24[q=l

所以%=q/=2：S“=*=E=2"T,

q-i

因此」丁=2-2「".

42"T

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前1项和公式的应用,

考查了数学运算能力.

X3,x0

6.己知函数/(x)=<X<0若函数g(x)=f(x)-\la2-2x\(keR)恰有4个零点，则

—x,

Z的取值范围是O

(―co,—51U(2夜,+8)B.f-oo,--j|J(0,2\/2)

A.

C.(-8,0)u(0,2夜)D.(F,0)U(2夜,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】

由g（0）=0,结合已知，将问题转化为y=|依-2|与力（为=曾有3个不同交点，分

\x\

k=0,k<0,k>0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【详解】注意到g（0）=0,所以要使g（九）恰有4个零点，只需方程I依-2|=誓恰有3个

\x\

实根

即可,

令即y=|京-2|与/龙）=智的图象有3个不同交点.

\x\\x\

因为心）=胃弋x>0

x<0

y=2与7?。）=曾有1个不同交点，不满足题意;

当％=0时，此时y=2,如图1,

\x\

f（x）

当左<0时，如图2,此时y=|履-2|与人。）=安恒有3个不同交点，满足题意；

\x\

当左>0时，如图3,当丁="-2与y=%2相切时，联立方程得V一日+2=0，

令△=（）得左2—8=0,解得％=2及（负值舍去），所以女>26.

综上，k的取值范围为（—8,0）U（20,+8）.

故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中

档题.

7.已知△A3C的三个内角A,B,C的对边分别为a,》,c,且满足

acosB+bcosA--42ccosA>则A等于（）

3兀

D.—

4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用正弦定理化边为角可得sinAcosB+cosAsinB=一0cosAsinC，则cosA=------，进

2

而求解.

【详解】由题,根据正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=->/2cosAsinC,

所以sin（A+B）=-\/2cosAsinC,

6

因为在AABC中，5抽（4+8）二国11。。0,所以8§4=一注，

2

37r

因为OvA<〃，所以A二二，

4

故选:D

【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角，考查解三角形.

8.在梯形ABC。中，AB=2DC，BE=^BC,P为线段。石上的动点（包括端点），且

AP=AAB+pBC（2，〃wR）,则储+〃的最小值为（）

115459

A.—B.-C.-D.—

94348

【答案】A

【解析】

【分析】

―._.一1—12—

如图，设=,化简得到AP=（1—]〃?）AB+（5+§m）6C,即得到

=-+所以42+〃=’m2一』m+^（0«机41）,利用二次函数求出最小

233433

值得解.

如图，设而=机而（OVmWl）,

由题得丽=亚+丽=砺+而+加丽=通+1贷+机（比+m,

——1——2——1一1一12——

所以AP==AB^-BC-^-mBC一一mAB=（l一一m）/lB+（-+-m）5C,

332233

112

所以/1=1——m,u=-+-m,

233

,1,14

所以>V+〃=一加———m+—（0<m<V）,

433

2

二次函数图象的对称轴为机=一，

3

211

所以当机=1时，万+〃的最小值为§

故选：A.

【点睛】本题主要考查向量的运算法则和平面向量基本定理，考查二次函数的图象和性质，

意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为

天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一

环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层

多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

【答案】C

【解析】

【分析】

第"环天石心块数为第一层共有〃环，则｛《,｝是以9为首项，9为公差的等差数列，

设S,为｛q,｝的前”项和，由题意可得S3“-S2“=S2,-S“+729,解方程即可得到“，进一

步得到S.”

【详解】设第〃环天石心块数为凡，第一层共有"环，

则｛%｝是以9为首项，9为公差的等差数列，«„=9+（n-l）x9=9n,

设S,为他“｝的前”项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为S..S2,,-5“，邑”—§2”,因为下层比中层多729块，

所以S3,,—$2,=$2“一S”+729,

3n(9+27n)2〃(9+18〃)_2〃(9+18〃)n(9+9n)+^9

22-22+

即9n2=729，解得〃=9,

所NS-v_27(9+9x27)

所以A”='7-------------------------------=3402-

故选：C

【点晴】本题主要考查等差数列前〃项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容

易题.

14,y,

10.若两个正实数x,y满足一+一=1,且不等式%+上</〃2-3加有解，则实数机的取值范

xy4

围()

A.(-1,4)B.y,-l)U(4,”)

C.(-4,1)D.(-oo,0)D(3,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

v)cV14.

不等式X+3〈加2-3”有解，即为根2—3加大于X+2的最小值，运用一+—=1和基本不等

44xy

式相乘，计算得到所求最小值，解不等式可得，〃的范围.

14,

【详解】正实数x,y满足一+—=1则

xy

当且仅当y=4x=8,x+)取得最小值4

4

由有解，即加2—3〃?>4

4

解得>4或，〃<-1.

故选B

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，结合“1”的代换、基本不等式，将问题转化为含参

代数式大于另一侧的最小值

11.如图，在正方体ABC。-A旦G。中，点E，/分别是棱GR，AR上的动点.给出

下面四个命题：

①若直线AE与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；

②若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线上；

③若直线AF与直线CE相交，则直线DD］与平面ACE所成角的正切值最大为之；

2

④直线AF与直线CE所成角的最大值是：7T.

其中，所有正确命题的序号是()

A.0@B.②④C.①②④D.②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面的性质，以及直线与平面所成角，判断选项的正误即可.

【详解】在正方体ABCO—A与中，点、E,尸分别是棱G。，4〃上的动点.

①如果点E在G，/在a时，直线AE与直线CE平行，可得直线AE与直线CE共面，但

直线AE与直线CE不相交，①不正确；

②因为空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交与一点，因为直线AE与

直线CE相交，所以则交点一定在直线。。上，所以②正确；

③若直线AF与直线CE相交，则直线。。与平面ACE所成角的正切值最大值，应该是E，

F与A重合，此时直线OR与平面ACE所成角的正切值最大为2竺=交，所以③正确;

DD、2

④直线AF与直线CE所成角最大值就是E，尸与Q重合时取得，夹角是7F:，所以④正确;

故选：D.

【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的直线与直线的位置关系的应用，直线与

平面所成角的求法，考查空间想象能力，判断能力.

12.如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为

H的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干

大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最

多可放入()个小球.

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【解析】

【分析】

圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及

大球都相切，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可.

【详解】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R,实

心小球的半径为广，由题意可得：叵r+r+R=OR，解得：R=(3+2>/I)r,

R+r

因为小球球心在以£为圆心，EF■为半径的圆上，EF周长为2%EF,

所以即

2兀EF2兀忑逝乃(R+r)垃万[(3+2&)r+r]

n<------=------——=-----------=--------------------=|2+2v2^15.16

2r2r2r2r''

故该工艺品最多可放入15个小球.

故选：B.

【点睛】本题考查空间几何体与球接、切问题的求解方法.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题

时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用

平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

二、填空题(共4题；共4分)

13.设向量之=(1,—4),b=(//1+L2/W—4),若&_LB,贝4加="

【答案】5

【解析】

【分析】

由。得。石=0，即可求出.

【详解】alb>

：.ab=1X(/774-1)+(-1)X(2/«-4)=0,解得〃z=5.

故答案为：5.

x+”0,

14.若x,y满足约束条件<2x-y»0,,则z=3x+2y的最大值为.

x<1,

【答案】7

【解析】

【分析】

作出可行域，利用截距的几何意义解决.

【详解】不等式组所表示的可行域如图

_3xz7

因为z=3x+2y,所以y=—二+一，易知截距一越大，则z越大，

222

3r3xz

平移直线^=-三，当,=一书+］经过4点时截距最大，此时z最大，

y=2x\x=\

由《，，得〈c，A(l,2),

%=11y=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案为：7.

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数

形结合的思想，是一道容易题.

25

15.已知lgx+lgy=l,则一+一的最小值是________.

xy

【答案】2

【解析】

【分析】

s25

由题可得到=10,代入一+一利用基本不等式即可求解.

尤y

【详解】VIgx+lgy=lgxy=l,%>0,y>0,xy=10,

2+55x+2y11c

--x+—y>21-1x--1y2,

xyxy25-

当且仅当=即x=2,y=5时等号成立,

25

故一+一的最小值是2.

xy

故答案为：2.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等"“一正''就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)''三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个

定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16.若不等式x-2融2+办4府对任意的工€口目恒成立，则实数〃的最大值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

由x-2领月+奴+人4/%对任意的xe［l,e］恒成立，得一丁+%-2剜a+方4/收一丁对任意的

e］恒成立，令/(幻=一无2+%一2,g(x)=4/〃x-x2.利用导数研究函数g(x)的单调

性，在同一坐标平面内作出两个函数的图象，求出过(1,一1)且与函数/(无)=-/+%-2相切

的直线在>轴上的截距，数形结合得答案.

【详解】解：由x-2领E+6+〃4以对任意的xeU,e］恒成立，

得-x2+x-2漱以+b4lnx-x2对任意的xe［1,e］恒成立，

令/(x)=—X?+x—2，g(x)=4/〃x-d.

r44-7r2

由gW=41nx-x2,得g〈x)=——2x=------(掇ke).

XX

当xe(1,0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当xe("e)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.

在同一平面直角坐标系内，作出函数y=/(x)与y=g(x)的图象如图：

设过(1,一1)与/(幻=一/+%一2相切的直线方程为丁+1=左*-1),

y=1)—1

联立〈2「，消去y得/+(攵

y=-x+x-2

由△=(斤一1)2-4(1-6=0,解得左=一3或攵=1.

当％=—3时，直线方程为y=-3x+2.

由图可知，满足不等式x-2领月+以+人4/nx对任意的xe[l,e]恒成立的实数力的最大值为

2.

故答案为:2.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思

想方法，属于中档题.

三、解答题(共6题；共55分)

17.等比数列｛4｝的前〃项和为S“，4=1,%=9%.

(1)求数列｛。”｝的通项公式；

(2)若S,“=40,求用.

【答案】(1)=3"T或«„=(-3)"-';(2)m=4

【解析】

【分析】

⑴由题意，%=4/=9%，又生r0,可得q=±3,即可求出数列｛《,｝的通项公式；(2)由

=-(1-4),结合q=±3,解方程可求出答案.

tn1

i-q

【详解】(1)由题意可得，%=%/=9%，又4A。，可得/=9,即4=±3.

nnl

当4=3时，an=a｛q-'=3,当q=-3时，4=q尸=(一3严.

Q(]—nni\1_a”？

(2)当q=3时，s=』------=---=40-则3"'=81,解得加=4；

m\-q1-3

当q=-3时;s)=]_(-3)“'=40,则(-3)"'=—159,因为m是正整数，所以

\-q1-(-3)

(—3)"'=—159无解.

故S,“=40时，m=4.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法，考查了等比数列前〃项和公式的运用，考查

了学生的计算能力，属于基础题.

18.在△MC中，角所对的边分别为已知〃=2五,。=5,c=

(I)求角。的大小；

(II)求sinA的值；

(III)求sin(2A+?)的值.

【答案】(I)C=-；(U)sinA=^^；(皿)sin(24+四］=

413I4J26

【解析】

【分析】

(I)直接利用余弦定理运算即可；

(II)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先计算出sinA,cosA,进一步求出sin2A,cos2A,再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（I）在AABC中，由。=242,。=5,。=，13及余弦定理得

ca2+b2-c28+25-13历

cosC=--------------=--------——=——,

2ab2x242x52

TT

又因Ce（O,乃），所以C=上；

4

（H）在AABC中，由C=7，a=2j"c=及正弦定理,可得

,4«sinC20x#迤

sinA=--------=-----]—乙=1Q

CV132

（III）由a<c知角A为锐角，由sinA="3,可得cosA=J,.2,3713

1-sinA=M，

125

进而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-1=一,

1313

V2_175/2

所以sin（2A+工）=sin2Acos工+cos2Asin^=

444132132-26

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考

查学生的数学运算能力，是一道容易题.

19.在等差数列｛。“｝中，S”为其前〃项和(〃eN*),且4=5,S3=9.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设么=-——，求数列｛4｝的前〃项和却

anan+\

⑶设c.=2"q,求数列匕｝的前几项和Q„

【答案】(1)。“=2〃-1；(2)7；.=—^—；(3)Q.=(2〃-3)-2向+6.

2〃+1

【解析】

【分析】

(1)由题已知等差数列，及%=5,$3=9.可运用通项公式及求和公式，化为基本量％,d,

建立方程可求出％,d,则可得的通项公式:

(2)由(1)已知等差数列的通项公式，可利用勿=」一，求出｛4｝的通项公式，利用裂

项相消法求和.

(3)由(1)可得%=(2〃-1>2",再利用错位相减法求和;

a.+2d=5,

【详解】解：(1)由已知条件得〈」c解得4=1，〃=2,所以通项公式为：勺=2〃-1.

3q+6d-9,

(2)由(1)知，an=2〃-1,

：h二111______L]

"anan+t(2”一1)(2〃+1)2(2〃-12n+lJ

数列也,｝的前〃项和

=U1--].

212H+1J2n+l

(3)由c,=2"-a“=(2〃—1)-2"

Q“=l•2l+3•22+5•23+…+(2〃-3)•2"T+(2〃一l)2"①

2Q,=1•2?+3•23+5•24+…+(2〃-3)•2"+(2〃-1)2向②

①-②得，—Q=2'2・(22+23+…+2")-(2鹿一1)2川

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项相消法求和”及“错位相减法求和”，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

20.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如

图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Lew的清洁棒在弯头内

恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，

A30,1）.

（1）请用角夕表示清洁棒的长L；

（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.

278，呵0，多；

【答案】（1）-----------1-----------（2）1

sin0cos0

【解析】

【分析】

（1）过A作PC的垂线，垂足为C,易得4P=今，进一步可得£；

sin夕cos0

（2）利用导数求27+—8，0,9\得最大值即可.

sin0cos0\2J

【详解】（1）如图，过A作尸C的垂线，垂足为C,在直角△APC中，ZAPC=0,

278

AC=27cm,所以AP=-cm,同理=-cm,

sin6cos0

,278幻

L=-----+------,（9G0,—I

sin。cos（9I2）

r/八、278八（八万、

（2）设L（6）=—+-0,-,

sin6cos6\27

mr"、27cos8sin68sit?6-27cos?6

sin-0cos_0sin_6cos-0

,73

令£（。）=0,则tai?O=W，即tan6=1.

设且tanq=1,则

3

当ew（O,%）时，tane<],Z（e）<0,所以单调递减;

当时，tane〉|,Z(e)〉O,所以L(6)单调递增，

所以当e=4时，取得极小值，

所以LS)mM=L(q).

33

因为tan4=-,所以sin"=-cos^,又sin?4+cos?4=1,

所以cos?4=白，又

2.3

所以COS4=7^,所以sin%=7^,

所以乙(4)=二^~+—^=13万(57),

sin00cos00

所以能通过此钢管的铁棒最大长度为13mC/M.

【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

21.已知函数/(x)=2COSXCOS^JC-^j-V3sin2x+sinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期和单调递增区间；

(II)将函数＞=/(力的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得

到的图像向左平移;个单位长度，得到函数y=g(x)的图像，若关于x的方程

[g(x)]-(2+a)g(x)+2a=0在上恰有2个根,求"的取值范围.

【答案】(1)最小正周期为7.k兀一*k兀+是(^eZ)；(II)[-1,1).

【解析】

【分析】

.2兀

(I)利用两角差的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式对函数化简，利用公式丁=同求最

小正周期，利用正弦函数的图像性质列不等式求单调增区间.

(IJ)通过伸缩和平移变换，求g(x),解方程，转化为g(x)与y=a仅有一个交点问题,

进而求出。的取值范围.

【详解】(I)/(x)=2cosxcosx+sinxcosx

=2sin[2x+§J.

所以/(x)的最小正周期为丁=§二乃.

令2%万一工<2x+工<2攵乃+工，k7i--<x<k7r+—(A:GZ).

2321212

所以的单调递增区间为"-得K+A(丘Z).

(II)由(I)知/'(x)=2sin(2x+gj,

n7T]__IITJTI

所以g(x)=2sinxd----1——2sinxH-----.

34I12

由[g(x)J-(2+a)g(x)+2a=0,得g(r)=2或g(x)=a.

3n7t77r兀57r

当XG--丁，丁时,X~\--------€

4412~6,~6

1>rr

当且仅当x+—=—，即％=——时，g(x)=2.

12212''

所以g(x)=a仅有一个根，因为2sin(q)=—l,2sin1=l,

所以。的取值范围是[-1,1).

【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，三角恒等变换等基本知识，考查了分析解决问题

的能力和数学运算能力，转化的数学思想，属于中档题目.

22.已知函数/(x)=ae*T-]nx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y寸(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积:

(2)若/(x)>1,求a的取值范围.

2

【答案】(I)-----(2)[l,+oo)

e-1

【解析】

【分析】

【分析】(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与

坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果：

(2)解法一：利用导数研究，得到函数“X)得导函数/'(X)的单调递增，当a=l时由

广⑴=。得八％)符合题意；当a>i时，可证'⑴<。，从而r(x)存

在零点玉)>0