数学丨2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟（二）数学试卷及答案

2023年高考数学全真模拟卷二（全国卷）

理科数学

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求）

1.复数2=?型的虚部为（）

1-1

A.3iB.-3iC.-3

2.某高中为促进学生的全面发展，秋季学期合唱团、朗

会、脱口秀、街舞社、音乐社等五个社团面向1200名高

年级同学招新，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加

中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中

加音乐社社团的同学有15名，参加脱口秀社团的有20

则（）

A.高一年级同学参加街舞社社团的同学有120名

B.脱口秀社团的人数占这五个社团总人数的20%

C.高一年级参加这五个社团总人数占全年级人数的12%

D.高一年级同学参加这五个社团的总人数为200名

3.已知全集0=%集合M={xeZ卜一1|<3},7V={-4,-2,0,1,5}

则下列Venn图中阴影部分的集合为（）

A.{0,1}B.{-3,1,4}C.{-1,2,3}

4.如图，网格纸上每个小正方形的边长都为1,粗的实线和虚线画

出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（)

A.2B.4C.8

(x+1)2+sinx

5.函数/(%)=的大致图象为（）

X2+1

试卷第1页，共4页

6.曲线/(x)=(2x-l)sinx在点(OJ(O))处的切线方程为()

A.x+y=OB.x-y=O

C.x+y+l=OD.x-y+\=0

7.如图，正方体的棱长为1，过点4作平面

48。的垂线，垂足为点〃，则下列结论错误的是（）

A.点”是48D的垂心B.4”的延长线经过点G

C.AH_L平面D.直线/”和所成的角为45。

8.过点（五0）引直线/与曲线y=相交于Z、8两点，

O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线/的斜率等于（）.

A.3B.-巫C.±—D.-如

333

9.已知正四棱锥的侧棱长为布，底面边长为2,则该四棱锥的内切球的体积为（）

.4^3D△4兀r-

A.—^―B.——C.—D.4A/3

3273

22

10.己知点耳，工分别为椭圆C:—+2=1（〃>6>0）的左、右焦点，点/在直线/:x=-a上

运动，若N耳蟠的最大值为60。，则椭圆。的离心率是（）

A.-B.；C.在D.3

3223

11.关于函数/。卜^^足上一^+忖岂有下述四个结论：①〃x）的最小正周期为乃；

②“X）的最大值为1+&；③/（x）的最小值为也；④〃x）在区间仁，9上单调递增；其

中所有正确结论的编号是（）

A.①②④B.①③④C.①③D.②④

12.已知e"=1.02,6=71^-1,/）'=1.01,则（）

A.a<b<cB.h<a<cC.b<c<aD.c<a<b

第II卷（非选择题）

试卷第2页，共4页

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知同=5,何=8,且」与)的夹角为150°,则曰3=.

22

14.已知双曲线C：—.....匚=1的离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为___________.

加-12-m

15.一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分

到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法

有种.

16.在48C中，内角4,B,C所对应的边分别是a,b,c,a=4,36cos/-acosC=ccosN,

点D在线段BC上，2BD=DC,过点D作DEqAB,DF1AC,垂足分别是E,F,贝UDEF

面积的最大值是.

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜

21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答)

(-)必考题：共60分

17.在数列｛对｝中，ai—\,an—2anj+n-2(n>2).

(1)证明：数列｛%+〃｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

(2)求数列｛丽｝的前n项和Sn.

18.如图所不，在直三棱柱/8C-中,

是4G的中点，BC=CA=2,CCt=1.

(1)求异面直线AF.与CB,所成角的余弦值；

(2)求直线与平面BCC岗所成的角.

19.近些年来，学生的近视情况由高年级向低年级漫延，为调查某小学生的视力情况与电子

产品的使用时间之间的关系，调查者规定：平均每天使用电子产品累计5小时或连续使用2

小时定义为长时间使用电子产品，否则为非长时间使用.随机抽取了某小学的150名学生，其

中非长时间使用电子产品的100名，长时间使用电子产品的50名，调查表明非长时间使用电

子产品的学生中有95人视力正常，长时间使用电子产品的学生中有40人视力正常.

(1)是否有99.5%的把握认为视力正常与否与是否长时间使用电子产品有关？

(2)如果用这150名学生中，长时间使用电子产品的学生和非长时间使用电子产品的学生视力

正常的在各自范围内所占比率分别代替该校长时间使用电子产品的学生和非长时间使用电子

产品的学生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3

人(2个非长时间使用和1个长时间使用电子产品)，设随机变量X表示“3人中视力正常”的

人数，试求X的分布列和数学期望.

试卷第3页，共4页

附:,=")(:%?)(»)

,n=a+b+c=d.

pQ%0)0.100.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

20.已知直线x+2y-2=0过抛物线C:x?=2加(p>0)的焦点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)动点/在抛物线C的准线上，过点力作抛物线C的两条切线分别交x轴于M,N两点，当

NMN的面积是在时，求点力的坐标.

2

21.已知函数/O)=(x-4)e'-i+6%,g(x)=lnx-(a+l)x,a>-\.

(1)求的极值;

⑵若存在对任意的马€“2］］,使得不等式g(%)>/(王)成立，求实数。的取值

范围.(e3»20.09)

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

fx=3+3cos。，,

22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，.。(。为参数)，直线/的参数方程

［y=3sm”

71

x=fcos—,

为a为参数).

/.n

y=6+/sin—

I3

(1)判断直线/和圆。的位置关系，并说明理由；

⑵设尸是圆C上一动点，4(4,0),若点尸到直线/的距离为地，求0.丽的值.

2

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知a>0,b>0,c>0.

(1)当a+b=2时，求证：+22；

(2)求/+/+1+仕+，+』丫的最小值

\ahcI

试卷第4页，共4页

2023年高考数学全真模拟卷二（全国卷）

理科数学

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

一、单选题

1.复数2=登•的虚部为（）

1-1

A.3iB.-3iC.-3D.3

【答案】c

【分析】将复数Z=衿化简为一般形式，即可判断虚部.

1-1

2-8i（2-8i）（l+i）10-6i

【详解】Z=L===631,虚部为-3.故选：C.

1-1（1-1）（1+1）2

2.某高中为促进学生的全面发展，秋季学期合唱团、朗诵会、脱口秀、街舞社、音乐

社等五个社团面向1200名高一年级同学招新，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加

其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加音乐社社团的同学有15

名，参加脱口秀社团的有20名，则（）

A.高一年级同学参加街舞社社团的同学有120名

B.脱口秀社团的人数占这五个社团总人数的20%

C.高一年级参加这五个社团总人数占全年级人数的12%

D.高一年级同学参加这五个社团的总人数为200名

【答案】B

【分析】根据饼状图逐一判断即可.

【详解】参加音乐社社团或者脱口秀社团的同学共有35名，结合扇形图知：其占这五

试卷第1页，共17页

个社团总人数的35%,

所以高一加这五个社团总人数为3急5=100名，故AD均错，

35%

脱口秀社团的人数占这五个社团总比为2益0=20%,故B对，

参加这五个社团总人数占全年级人数的占比为黑=卷=8.33%,故C错.故选：B

3.已知全集0=酊集合M={xeZ|x-l|<3},N={-4,-2,0,1,5},则下列花〃〃图中

阴影部分的集合为（）

A.{0,1}B.{-3,1,4}C.{-1,2,3}D.{-1,0,2,3)

【答案】C

【分析】由给定条件求出集合M,再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得.

【详解】集合

M={xeZ||x-l|<31={xeZ|-3<x-l<3}={xeZ|-2<x<4}力-1,0,1,2,^,

Venn图中阴影部分表示的集合是={-1,2,3}.故选：C

4.如图，网格纸上每个小正方形的边长都为1,粗的实线和虚线画出的是某几何体的

C.8D.16

【答案】C

【分析】根据三视图可知该几何体为三棱锥，再计算即可

【详解】根据三视图可知该几何体为三棱锥，其底面面积

S=4x4-；x2x2-；x2x4-b2x4=6,高为4,故体积为展;x6x4=8

试卷第2页，共17页

5.函数〃x)=(x+"+：nx的大致图象为()

【答案】C

【分析】根据特质排除法和诱导公式可得答案.

x+l)~+sinx

【详解】/")=

x2+l

-j+1]+sin(《)兀2

-------71

因为/(£)=_4____专竺＜0,根据图象可知，A和B不正

22

兀-17+4

+1—+1

4

确;

,〃(-7t+l)2+sin(-7t)

!兀2—2兀+1

因为八一无)=~/、，>0,根据图象可知，D不正确.故选：C

(-兀)+17U2+1

6.曲线〃x)=(2x-l)sinx在点(OJ(O))处的切线方程为()

A.x+y=0B.x-y=0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

【答案】A

【分析】求出导函数后计算导数值/'(0),再求得/(0)后，由斜截点斜式得直线方程

【详解】/'(x)=2sinx+(2x-Dcosx,所以/'(0)=2sin0+(0-l)cos0=-I,又/(0)=0,

所以切线方程为y=-x,即x+y=0.故选：A.

试卷第3页，共17页

7.如图，正方体力88-45£0的棱长为1,过点X作平面/田。的垂线，垂足为点

A.点，是4?。的垂心B.4”的延长线经过点G

C.AH_L平面C4RD.直线和所成的角为45。

【答案】D

【分析】根据正三棱锥的性质判断A、B,根据面面平行的性质判断C,求出异面直线

所成角的正弦值判断D.

对于A,因为三棱锥是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面正48。的

中心，所以点〃是也是△48。的垂心，故A正确；

对于B,因为三棱锥G-48。是正三棱锥，而//是底面的中心，故G，_L平面48。，

由己知得AH±平面AtBD,因为经过点H与平面A}BD垂直的直线有且只有一条,故A、

H、G三点共线，即力”的延长线经过点G，故B正确；

对于©,；媚〃42，皿=42,，品'24为平行四边形，，。。〃84，

又8/]U平面48£>,CR(Z平面48。，则CR平面

同理8Q平面48。，又CRu平面C8Q,8Qu平面C8Q,B^CDy=Dit

:.平面CBQ1平面48。，又AH_L平面48。，平面C'42，故C正确；

试卷第4页，共17页

对于D,•；BB、44，・•.一①〃是直线4H和网所成的角,

在正月田。中，AtB=5/2,贝！］4//=J7x■^■x,

又Rj/0中，A4=l,:.血卬//=萼写故D错误.故选：D.

AAt32

8.过点（a,0）引直线/与曲线卜=^］二「相交于力、B两点,O为坐标原点，当AOB

的面积取最大值时，直线/的斜率等于（）.

A.—B.-立C.+—D.-73

333

【答案】B

【分析】根据直线与圆的位置关系，用d的代数式表示再利用基本不等式求出

最大值即可.

【详解】设直线/方程：x=my+6,如图所示:

曲线y=7i=｝表示圆心为（。，0），半径为1的半圆,

则原点（0,0）到直线x=my+>/2的距离d=,

Vl+w

•••\AB\=2Ji-d2=2y/］-d2,

s3;•网

当且仅当d=VTN，即d=q时，s“阴有最大值9

此时,m=±-73>

Vl+w22

此时直线斜率％='=土正，

m3

由图可知，当卜=3时，直线与半圆无交点，所以k=-3.故选：B

33

9.已知正四棱锥的侧棱长为行，底面边长为2,则该四棱锥的内切球的体积为（）

.4A/J4A/5兀_47i/—

A.—DB.——C.-D.4j3

3273

【答案】B

试卷第5页，共17页

【分析】求得四棱锥的高和斜高，利用等体积法求得内切球的半径，即可求得其体积.

【详解】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,

则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，

因为8c=2,尸8=石，故尸E=JT万=2，则尸。="二7=6，

设该四棱锥的内切球的半径为r,

则§,SABCD-P。=3(S“BCD+4SPBC)1")

BP-x4xV3=-(4+4x-x2x2)xr,解得，

3323

故内切球的体积为(曰)3=室，故选：B

10.已知点不入分别为椭圆。]+/=1(。>6>0)的左、右焦点，点M在直线

/:x=-a上运动，若/《奶的最大值为60。，则椭圆C的离心率是()

.1।「也门拒

A.~BR.~C.—D.—

3223

【答案】C

【分析】设直线孙，"鸟的倾斜角分别为“，B,阴(-“)(，>0),且《必玛=夕-。，

利用差角正切公式、基本不等式求(tan4]A/E)a关于椭圆参数的表达式，结合已知求

椭圆参数的数量关系，进而求离心率.

【详解】由题意知，々(-c,0),g(c,0),直线/为x=-a,设直线/E，加&的倾斜角

分别为a,P,

由椭圆的对称性，不妨设M为第二象限的点，即M(-aJ),(/>0),贝ljtana='一，

c-a

tan/=------.

c+a

•・•HMF?=p-a9

试卷第6页，共17页

tan/Tana二+2a

tanZFMF=tan(y5-cr)=

}22

1+tancrtanp1t

当且仅当f=Q,即f=6时取等号，又tanN£A心得最大值为：=tan60。=石,

11.关于函数/（x）=75sin卜-?J+|sin*有下述四个结论:①/（x）的最小正周期为万;

②“X）的最大值为1+JL③“X）的最小值为也；④〃x）在区间（上单调递增;

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②④B.①③④C.①③D.②④

【答案】B

【解析】由题意，当xe[0,句时,

cosx,,0,—,

XGL4)

/(x)=|sinx-cosA|+|sin.不进而逐一判断对错即可.

2sinx-cosx,xe—,71

4

【详解】解：了=应sin|x-?J和y=|sinx|的最小正周期均为乃,

+|sin*的最小正周期为7,故①正确;

cosx,x,0,—.

GL4)

当XE[0,句时，/(x)=|sinx-cosA|4-|sin

2sinx-cosx,xG—,71

4

试卷第7页，共17页

当xe0,?j时，/（x）在上单调递减,〃x)e

当xeR时,/(x)=2sinx-cosx=V5sin(x-(p^其中tan0=

2

3=卜,.1可设/由一二4》一夕47，^-—+(p<x<—+(p,

2222

7r71

又T7丁婷展乃，

・•・/（x）在（，1+夕）上单调递增,在上单调递减,

"卜）而=氐/（/=#，•.•②错误，③正确；

・•.（?，5卜，，5+。），,/（X）在（?，?上单调递增，二④正确.故选：B.

12.已知e"=1.02,6=AO?-1,(而'=1.01，则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=21n(x+l)-痴TT+l,xe|b,l],

/?(x)=ln(x+l)-S7，T+l,xe区1]利用导数判断其单调性，结合题意即可容易比较大

小.

【详解】由题可得：a=lnl.02,c=21n1.01,

令/(x)=21n(x+l)-j4x+l+l,xe|0,11,贝----/2=2(.4x+^,

x+1V4x+1(x+l)v4x+l

当xe[0,l]时，<4x+l>0,x+l>0,又(J4x+I)-(x+1)-=-x(x-2)>0,

贝IJQTT-X-I",即/'。）20,故〃X）在［0,1］单调递增，〃x）2/（O）=O,

则当x=0.01时，21n(1.01)-VT^+l>0,gp21n(1.01)>^/^(j4-l,c>b

令g)=In(x+1)一标+Lxe[0,1],则“«=士-^=T=(=;J；]，

当xe[0,l]时，V2x+1>0,x+l>0,X(V2X+1)2-(X+1)2=-X2<0,

则岳币'4x+1,即/（x）W0,故〃（x）在［0,1］单调递减，A（x）<A（0）=0,

故当x=0.02时，lnl.02-5/T04+l<0,BPlnl.02<VL04-l.a<b;

综上所述，Q<b<c.故选：A.

第II卷（非选择题）

试卷第8页，共17页

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知同=5,问=8,且值与石的夹角为150',则@4=.

【答案】-20也

【分析】根据向量数量积的定义可直接求得结果.

【详解】）石=|斗Wcosl5（T=5x8x［-曰］=-206.故答案为：一20分

\7

14.已知双曲线C：工——士=1的离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为

tn—12？

【答案】y=±y/3x

【分析】分焦点在X轴上和焦点在y轴上进行讨论即可求出结果.

【详解】若焦点在y轴上，则加-1<0且2-时，加不存在，

若点在R轴上，贝！］加一1>0且2—〃？>0,得1<加<2,e2=—~——=4=>/??=—,

tn-\4

所以〃=b=B,双曲线渐近线的方程为"士"v.故答案为：尸士gx.

L2

15.一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医

院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的

分配方法有种.

【答案】684

【分析】先将护士和医生分别分成三组，再将分好的三组护士和三组医生安排到三家医

院，根据分步乘法计数原理可求出结果.

【详解】根据题意，分3步完成：

第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，

若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有;C；+C：=7种分组方法；

若甲乙组恰有3人,从其他4人中选1人分到甲乙组,剩下的3人分成2组，有4C；=12

种分组方法；

则护士有7+12=19种分组方法；

第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；

第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有人？；=6、6=36种安排方

法；

根据分步乘法计数原理得19x1x36=684种分配方法.故答案为：684.

试卷第9页，共17页

16.在ABC^p,内角力，8,C所对应的边分别是a,b,c,a=4,3bcosA-acosC=ccosA,

点。在线段8c上，1BD=DC,过点。作。E248,DF1AC,垂足分别是E,F,

则。砂面积的最大值是.

【答案】处

81

【分析】先由%cos力-acosC=ccos/结合正弦定理求得cos/,sin/,再由余弦定理

2

可得加=16,结合不等式〃+c，222税证得bcW12,又由28。=。。得

2

5”0=2$力和=§5少/，从而求得。E，DF,由此得。所面积的关于b,c的表达式，

进而求得其最大值.

【详解】因为防cos/-acosC=ccosA,所以由正弦定理得

3sinBcos-sinJcosC=sinCcosA,

则3sin8cos力=sinCcos/+sin力cosC=sir(4+g=si《兀-§=sin2,

因为0<8<九，所以sin8〉0,

所以cos力=：,贝!Isin/=马旦，

33

2

222

由余弦定理可得a=b+c-2bccos/,即。2=〃+,2一§庆二16,

2

因为〃+C2*2A,所以2bc-§6cW16,则加412,当且仅当c=6=2行时，等号成立,

2

连结，因为23。=。(7,所以44C0=力=,

所以Lb•D产=2X—exDE=­X—bex-^3,则DE=?近b,DF=48c,

2232399

则SA%=-DEDFsinNEDF=」DE.OFsinAbe

△团2224381

三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第

17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答）

（一）必考题：共60分

试卷第10页，共17页

17.在数列｛%｝中，a/=1,an=2anj+n-2(n>2).

⑴证明：数列｛〃"+〃｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛。〃｝的前n项和Sn.

【答案】(1)证明见解析，4=2"-〃

⑵S.=2向—"2+；+4(〃eN*)

【分析】(1)根据定义法证明｛%+小是等比数列，然后求出数列｛“,,+〃｝的通项公式即

可得到｛g｝的通项公式

(2)根据｛q,,｝数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可

(2a”-i+"-2)+〃_2%+2"2

【详解】(1)明：因为一丁不

%+"-13+〃-1

/.数列｛an+n｝是首项为al+l=2,公比为2的等比数列,

那么%+〃=22'T=2",即an=r-n.

(2)由(1)知5„=(2'+22+23+---2')-(1+2+3+--+„)

,J

_2x(1-2)HX(H+1)_+|w+n+4.

------------------------------------------------------Z------------------------(A?G/V)

1-222

18.如图所示，在直三棱柱/8C-4耳G中，N8C/=90。，点片是4G的中点,

BC=CA=2,CC,=1.

C

(1)求异面直线N片与C4所成角的余弦值；

(2)求直线AF,与平面BCCe所成的角.

【答案】(1)噜；

呜

【分析】(1)建立空间坐标系，利用向量夹角公式即可得到结果；

(2)利用向量夹角公式即可得到直线AFt与平面BCCB所成的角.

【详解】(1)如图所示，以点C为原点，以C/,CB,cq所在直线为x轴、y轴、？轴

试卷第11页，共17页

建立空间直角坐标,

由8C=C/=2,CC,=1,得4(2,0,0),8(0,2,0),G=(0,0,1),4=(2,0,1),8,=(0,2,1),

因为点耳是4G的中点，所以点(1,0,1),

所以西=(0,2,1),亚=(-1,0,1),

西.斯(0,2,1卜(-1,0,1)二

所以cos(函，否)=M

|CB'|.|^；|V5XV2-10

(2)因为在直三棱柱ABC-44G中，8用，平面/sc,ZCu平面N8C,

所以因为Z8C/=90。，所以8c1AC,

因为BCCBB]=B,BC,BB\u平面BCQB、,

所以AC_L平面BCC、B,，所以第=(2,0,0)是平面BCC,B、的一个法向量，

7T

设直线"；与平面所成的角。£0,-,

贝!)疝0=卜05(福,卜二日，所以。=：,

所以直线g与平面BCC、B1所成的角为£.

19.近些年来，学生的近视情况由高年级向低年级漫延，为调查某小学生的视力情况与

电子产品的使用时间之间的关系，调查者规定：平均每天使用电子产品累计5小时或连

续使用2小时定义为长时间使用电子产品，否则为非长时间使用.随机抽取了某小学的

150名学生，其中非长时间使用电子产品的100名，长时间使用电子产品的50名，调

查表明非长时间使用电子产品的学生中有95人视力正常，长时间使用电子产品的学生

中有40人视力正常.

(1)是否有99.5%的把握认为视力正常与否与是否长时间使用电子产品有关？

(2)如果用这150名学生中，长时间使用电子产品的学生和非长时间使用电子产品的学生

视力正常的在各自范围内所占比率分别代替该校长时间使用电子产品的学生和非长时

间使用电子产品的学生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校

试卷第12页，共17页

学生中随机抽取3人（2个非长时间使用和1个长时间使用电子产品），设随机变量X表

示“3人中视力正常”的人数，试求X的分布列和数学期望.

附.八_______________________

/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

尸年温）0.100.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

【答案】⑴有

（2）2.7

【分析】（1）列出列联表，计算/的值，比较后得到结论；

（2）根据题意，求出X的可能取值为0,1,2,3,分别计算概率，得到分布列和期望即可.

【详解】（1）根据题意，列出如下列联表：

视力正常视力不正常总计

长时间使用电子产品401050

非长时间使用电子产品955100

总计13515150

…当黑蔡察—.8”,

所以有99.5%的把握认为视力正常与否与是否长时间使用电子产品有关.

（2）长时间使用电子产品视力正常的概率是非长时间使用电子产品视力正常

的概率是9丽5=为19，由题意可知：X的可能取值为01,2,3,

/>(^=0)=(—)2xi=—!—；P(Z=1)=C'X—X—xl+(—)2x-=42

20520002202052052000

c/叱C、小1914,19，1513c〜八/9、241444

P(X=2)=C>x—x—x—F(—x-=----•P(X=3)=(—)-x-二-----

22020520520002052000

所以X的分布列为:

X0123

1425131444

P

2000200020002000

试卷第13页，共17页

14251314445400_

贝(]E(X)=Ox+lx+2x+3x2.7.

20002000200020002000~

20.已知I直线x+2y-2=0过抛物线C:/=2力(p>0)的焦点.

(1)求抛物线。的方程；

(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M,N两

点，当/MN的面积是且时，求点”的坐标.

2

【答案】⑴/=49

⑵力(1,-1)或(-1,-1)

【分析】(1)求出焦点坐标为(0,1),从而得到。=2,求出抛物线方程；

(2)设出力(加1),过点A的抛物线的切线方程设为了=-1+人(》-加)，与抛物线方程

联立，根据△=()得到16/一16加左-16=0,设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率

分别为KA，求出勺+&=机，板2=-1，表达出|〃叫='-司=月-左I，

SM=1J/+4,列出方程上厢77=正，求出，”=±1，得到点A的坐标•

222

【详解】⑴x+2y-2=0中令x=0得：y=l,

故焦点坐标为(0,1),故5=1，解得：P=2,故抛物线方程为》2=4y；

(2)抛物线准线方程为：J=-l,

设义外-1),过点A的抛物线的切线方程设为y=T+Mx-M，

联立得：x2—4kx+4km+4=0,

由A=16^-16^-16=0,设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为人,左2，

故占+k2=m9k]k2=-i,

令y=-1+%(工一加)中，令y=0得：x=：+

不妨设西=；+机=；+加，^\MN\=\x^77^=l^2-A：|If

t-X2\=Y-Y-=

则SAMN=；|胸卜1=gh-%卜+储)2-映自=2+4=£-,

解得：，"=±1,故点A的坐标为4(1,7)或(-1,-1).

21.已知函数/(》)=(》一4卜'-/+6》，g(x)=lnx-(a+l)x,a>-\.

⑴求/(x)的极值;

试卷第14页，共17页

⑵若存在国对任意的马6乒4］,使得不等式g(x2)>/(xJ成立，求实数。的

取值范围.(eJ~20.09)

【答案】⑴极大值-(ln2y+81n2-8,极小值为9-e，

【分析】(1)求出了(X),令/'(x)=0,得x=3或x=ln2,再列出xj'(x)J(x)的变化

关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；

(2)根据(1)求出“X)在［,3］上的最小值为"3)=9-小，则将若存在(41,3］,对

任意的》2©5，叫，使得不等式成立，转化为〃+1<，*-9+=在卜2曾［

上恒成立，再构造函数/7。)=比二”《，xeFe2,^］,转化为。+1</心濡，利用导

X

数求出〃(X)mm代入可得解

【详解】(1)由/(x)=(x-4)e=/+6x,

^.f(x)=ex+(x-4)eI-2x+6=(x-3)e'-2x+6=(x-3)(ex-2),

令/'(x)=0,得x=3或x=In2,

x,f(x),f(x)的变化关系如下表：

X(—00,In2)In2(In2,3)3(3,+8)

(卜)+0——0+

/(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

由表可知，当x=ln2时，/(x)取得极大值，为

/(ln2)=(In2-4)eln2-(ln2)2+61n2=-(ln2)2+81n2-8,当x=3时，/(x)取得极小值,

为〃3)=(3-4户—32+18=9—e3.

(2)由(1)知，/(x)在［1,3］上单调递减，所以当xe［l,3］时，/(x)min=/(3)=9-^,

于是若存在对任意的X2e|>2,e］,使得不等式g(》2)>/(国)成立，则

1内-(.+1.>9-4">-1)在/,叫上恒成立，

试卷第15页，共17页

即°+1<巫等£在后2©]上恒成立，

令/?(x)=Ex-9+e,》《『普?],贝I]a+1<〃。"府，

--x-(lnx-9+e3)10-e3+lnx

l(x)=^----------.-----------=—P

X

因为工£卜2普3],所以inxe[2,3],10-e3+Inxe[12-e\13-e3],

因为e〃20.09,所以13七=13-20.09=-7.09<0,所以〃

3

所以〃(x)单调递减，故/,(x)min=A(e)=M/-9=1-^,

ee

于是a+l<l—r,得a<—r,又a>—1,

ee

所以实数a的取值范围是卜，娟.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做

的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]