南京市2015-2016学年度第一学期期末学情调研

高一数学期末调研第3页共4页南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研高一数学2016.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f(x)＝eq\f(1,eq\r(x–3))的定义域是▲．2．集合{0，1}的子集的个数为▲．3．求值：log345－log35＝▲．4．已知角的终边经过点P(2，－1)，则sin的值为▲．5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为▲cm2．6．函数f(x)＝cos(x－eq\f(,3))，x[0，eq\f(,2)]的值域是▲．7．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是▲（用a，b，c表示，并用“＜”连结）．ABCDEF（第9题）8．将函数y＝sin2x的图象向右平移eq\f(,6)个单位长度，所得图象的函数解析式是ABCDEF（第9题）9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝2，且eq\o(BE,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\o(EC,\d\fo1()\s\up7(→))，eq\o(DF,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\F(1,2)eq\o(FC,\d\fo1()\s\up7(→))，则eq\o(AE,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(BF,\d\fo1()\s\up7(→))＝▲．10．已知函数f(x)＝eq\f(3,x)－log2x的零点为x0，若x0(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝▲．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))其中e为自然对数的底数，则f[f(eq\f(1,2))]＝▲．12．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋)上是单调增函数，且f(lgx)＜f(1)，则x的取值范围是▲．13．若函数f(x)＝m·4x－3×2x＋1－2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是▲．14．若函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(,3))(ω＞0)在区间[0，2]上取得最大值1和最小值－1的x的值均唯一，则ω的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）已知sinx＝eq\f(4,5)，其中0≤x≤eq\f(,2)．（1）求cosx的值；（2）求eq\f(cos(－x),sin(eq\f(,2)－x)－sin(2－x))的值．16．（本小题满分10分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4)．（1）求a·(b＋c)；（2）若(a＋b)∥c，求实数的值．17．（本小题满分10分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f(t)＝－t＋30(1≤t≤20，tN*)，日销售价格(单位：元)近似地满足：g(t)＝eq\b\lc\{(\a\al(2t+40，1≤t≤10，tN*，,15，11≤t≤20，tN*．))（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．18．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝Asin(x＋)（A＞0，＞0，0＜＜2）的部分图象如图所示，eq\f(,6)eq\f(5,6)yxO–2eq\f(,6)eq\f(5,6)yxO–2（第18题）●●（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的解析式，并写出它的单调增区间．19．（本小题满分10分）已知|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b．（1）当bc时，求实数x的值；（2）当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．20．（本小题满分10分）对于定义在[0，＋)上的函数f(x)，若函数y=f(x)－(ax＋b)满足：①在区间[0，＋)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g(x)＝ax＋b为f(x)的“渐近函数”．（1）证明：函数g(x)＝x＋1是函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)，x[0，＋)的渐近函数，并求此时实数p的值；（2）若函数f(x)＝eq\r(x2＋1)，x[0，＋)的渐近函数是g(x)＝ax，求实数a的值，并说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研高一数学参考答案2016.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．(3，＋)2．43．24．－eq\f(eq\r(5),5)5．96．[eq\f(1,2)，1]7．b＜a＜c8．y＝sin(2x－eq\f(,3))9．－410．211．eq\f(1,2)12．(eq\f(1,10)，10)13．(0，＋)14．[eq\f(7,12)，eq\f(13,12))二、解答题：本大题共6小题，共58分．15．解（1）因为sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝1－sin2x＝1－(eq\f(4,5))2＝eq\f(9,25)．………2分又因为0≤x≤eq\f(,2)，故cosx≥≤0，所以cosx＝eq\f(3,5)．…4分（2）原式＝eq\f(cosx,cosx―(―sinx))＝eq\f(cosx,cosx＋sinx)………7分＝eq\f(eq\f(3,5),eq\f(3,5)＋eq\f(4,5))＝eq\f(3,7)．………8分16．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)，………2分所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10．………5分（2）因为a＋b＝(2，－1)＋(3，－2)＝(2＋3，－1－2)，又(a＋b)//c，所以4(2＋3＝3(－1－2)，………8分解得＝－eq\f(11,18)．………10分17．解（1）由题意知，S＝f(t)·g(t)＝eq\b\lc\{(\a\al((2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，tN*，,15(－t＋30)，11≤t≤20，tN*．))…………4分（2）当1≤t≤10，tN*时，S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2t2＋20t＋1200＝－2(t－5)2＋1250．因此，当t＝5时，S最大值为1250；………7分当11≤t≤20，tN*时，S＝15(－t＋30)＝－15t＋450为减函数，因此，当t＝11时，S最大值为285．………9分综上，S的最大值为1250．答：当t＝5时，日销售额S最大，最大值为1250元．……………10分18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x＝eq\f(0＋eq\f(5,6),2)＝eq\f(5,12)，…………2分则eq\f(T,4)＝eq\f(5,12)－eq\f(,6)＝eq\f(,4)，即T＝．所以函数的最小正周期是π．………4分（2）由图可知，A＝2，因为T＝，所以＝eq\f(2,T)＝2．………6分又f(eq\f(5,12))＝－2，所以2sin(eq\f(5,6)＋)＝－2，即sin(eq\f(5,6)＋)＝－1，因此eq\f(5,6)＋＝2k－eq\f(,2)，即＝2k－eq\f(4,3)，k∈Z．因为0＜＜2，所以＝eq\f(2,3)．所以函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋eq\f(2,3))．………8分由2k－eq\f(,2)≤2x＋eq\f(2,3)≤2k＋eq\f(,2)，k∈Z，解得k－eq\f(7,12)≤x≤k－eq\f(,12)，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k－eq\f(7,12)，k－eq\f(,12)]，k∈Z．………………10分19．解（1）b·c＝b·[xa＋(1－x)b]＝xb·a＋(1－x)b2＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0，解得x＝eq\f(1,2)．………………4分（2）|c|2＝[xa＋(1－x)b]2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2＝25x2－20x＋5＝25(x－eq\f(2,5))2＋1．所以，当x＝eq\f(2,5)时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1．……………7分此时，c＝eq\f(2,5)a＋eq\f(3,5)b．又a·c＝a·（eq\f(2,5)a＋eq\f(3,5)b）＝eq\f(2,5)a2＋eq\f(3,5)a·b＝eq\f(2,5)×10＋eq\f(3,5)×(－5)＝1．设向量a，c的夹角为，则cos＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(1,1×eq\r(10))＝eq\f(eq\r(10),10)．………10分20．解（1）由题意知，f(x)－x－1＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)－x－1＝eq\f(x2＋2x＋3－(x＋1)2,x＋1)＝eq\f(2,x＋1)．易知，函数y＝eq\f(2,x＋1)在[0，＋)上单调递减，且值域为(0，2]．所以，函数g(x)＝x＋1是函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)，x[0，＋)的渐近函数，此时p＝2．………3分（2）①当a＞1时，考察函数y＝eq\r(x2＋1)－ax，令y＝0，得eq\r(x2＋1)＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝eq\f(1,a2－1)，因为x≥0，所以x＝eq\r(eq\f(1,a2－1))，即x＝eq\r(eq\f(1,a2－1))时，函数y＝eq\r(x2＋1)－ax的值为0．因此，函数y＝eq\r(x2＋1)－ax的值域不是(0，p]．所以g(x)＝ax不是函数f(x)＝eq\r(x2＋1)的渐近函数．…5分②当a＝1时，考察函数y＝eq\r(x2＋1)－x，由于eq\r(x2＋1)－x＝eq\f(1,eq\r(x2＋1)＋x)，下面考察t＝eq\r(x2＋1)＋x．任取x1，x2[0，＋)，且x1＜x2，则t1－t2＝eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)＋x1－eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1)－x2＝eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)－eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1)＋x1－x2＝eq\f(xeq\o\al(\s\up2(2),1)－xeq\o\al(\s\up2(2),2),eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)+eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1))＋x1－x2＝(x1－x2)(eq\f(x1＋x2,eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)＋eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1))＋1)＜0，所以函数t＝eq\r(x2＋1)＋x在[0，＋)上单调递增，又当x无限增大时，t的值也无限增大，所以t的取值范围是[1，＋)．因为函数y＝eq\