中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三年级下册3月诊断性考试+数学（理科）+含答案

中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试

理科数学试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

L设集合A={x[(x+l)(x-l)<0}，B={y|y>0},则AD(『RB)=

A.0B.[0,1)C.(-l,0)D.(-l>0]

22

2.已知双曲线二一与=1的一条渐近线过点(2,1),则此双曲线的离心率为

ab

A.GB,C.V5D.与

3.若复数z满足z(l+i)=2i—l(i为虚数单位)，则下列说法正确的是

A.z的虚部为aiB.|z|=®C.z+z=3D.z在复平面内对应的点在第二象限

22

4

4.设a>0,b>0,则"9a+bW4”是“abW-"的

9

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是

A.f(x)=ln(l+cosx2)B.f(x)=x,ln(l—cosx2)

C.f(x)=ln(l+sinx2)D.f(x)=x,ln(l—sinx2)

TTTT

6.为了得到函数丫=411(2*+—)的图象，可以将函数y=cos(2x+-)的图象

34

A.向左平移三个单位B.向右平移3个单位

2424

C.向左平移三TT个单位D.向右平移三7T个单位

22

7.已知(ax+1)6(a>0)的展开式中含x”的系数为60,则(ax-Lp的展开式中的常数项为

XX

A.-160B.160C.80D.-80

8.如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30。的直

角三角形ACD拼接而成，将4ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是

A.CD1ABB.BC1ADC.BD±ABD.BC1CD

9.已知随机变量，的分布列如下表所示，且满足E«)=0,则下列方差值中最大的是

4-102

1

Pab

2

A.D《)B.D(KI)C.D(2，+1)D.D(3|；|—2)

10.已知椭圆二•+与=\｛a>b>0)的离心率为—，过左焦点F作一条斜率为k(k>0)的直

a~b~3

线，与椭圆交于A,B两点，满足|AF|=2|FB|,则实数k的值为

A.lB.V2C.x/3D.2

11.对任意的x”X2G(1,2],当xi<X2时，X2—xi+qln上<0恒成立，则实数a的取值范围

2x2

是

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.(4,+oo)D.[4,+oo)

12.设数列｛a,｝的前n项和为S“，满足2Sn=%"(n6N*),则下列说法正确的是

4

A.32021,32022<1B.3202I,32022>IC.32022<-2A/2022D.32022>2A/2022

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在长方体ABCD-AiBiCiD(中，已知AB=2,BC=t,若在线段AB上存在点E,使得

EC,±ED,则实数t的取值范围是。

14.平面向量a,B满足：|a|=1,+231=—3。•B,设向量a,B的夹角为0,则sinO

的最大值为o

15.已知实数a,b满足2a+2b+i=4a+4%则1=2口+2b的取值范围是。

16.电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排,

问恰有两个连续的空座位的情况有种。

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~

21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)在aABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b=2,且cosC=0-2。

24

(1)求角B的大小；

(2)若AABC是锐角三角形，求AABC面积的取值范围。

18.(12分)已知数列｛aj满足ai=l,且ai•a2,aj..an=n(neN*)»

(1)求数列｛4,｝的通项公式；

凡・(〃-1)-(〃+1)

(2)设｛2n-n，且数列｛、｝的前n项和为S”若Sn23—Mn+2)恒成立，

q,(〃=l)

求入的取值范围。

19.(12分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PABJ_平面ABCD,四边形ABCD是边

长为2的菱形，ZABC=120°,PB=1,PB±ABo

(1)求证：平面PBD_L平面PAC；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小。

20.(12分)已知实数x,y满足x2+(ex—y)2+e2y=2«

(1)若x=0时，试问上述关于y的方程有几个实根？

(2)证明：使方程x?+(ex-y)2+e2y=2有解的必要条件为：-2WxW0。

21.(12分)如图所示，已知抛物线E：y2=2px,其焦点与准线的距离为6,过点M(4,0)作直

线/i，b与E相交，其中A与E交于A,B两点，6与E交于C,D两点，直线AD过E的

焦点F,若AD,BC的斜率为ki，k2«

(1)求抛物线E的方程；

k

(2)问，是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由。

k2

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。作答时请写清题号。

22.(10分)［选修：坐标系与参数方程］

以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，

已知直线I的参数方程为\(t为参数,0Wa<2),曲线C的极坐标方程为pcos20

y=2+Zsina2

=8sin0o

⑴求曲线C的直角坐标方程；

⑵设直线/与曲线C相交于A,B两点，当a变化时，求|AB|的最小值。

23.(10分)［选修：不等式选讲］

设函数f(x)=x2—x+2。

(1)若|f(x)—X2+4X+4|>3,求x的取值范围；

(2)若|x—a|《2,求证：|f(x)—f(a)|6+4|a|。

中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试

理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)

(1)解：由余弦定理可得：cosC=----------=——，.....................................2分

4a24

2-A1

整理得4=02+1--,解得cosB="+'-..................................4分

lac2

■■■3e(O.n),故8................................................................5分

(2)由(1)可知：-----=―=■

sinBy/3

2

-^sin4c

所以有:=^c

1616(2116(61]

故〃c=—sin•smC=—sin/sin-n-A=—sin•——cosA+—sinA

33UJ322J

一(/cos4+sin-zl)=——sin2A—cos2A+-=-sinf2/1—]+—........8分

3V732223I6)3

兀

0<A<—

2

•・•\ABC是锐角三角形，＜,可得：AG9分

八八2n

0<C=-7T—A<—

32

7T九5兀,所以：

2A-----esin(24-

66*T

故A4BC的面积S=LacsinN=—ac

234

18.(12分)

(1)解：ax-a2an=GNe)

当〃N2时，有:=〃一1,2分

-------(7J-1),(72+1)

〃+1

〃-1=，

(2)当〃22时，bn

9•〃2n

9

当〃=1时，=1=—,所以对任意的〃wN"均有b"5分

S„=4+^r+---+-®>S.23〃+1

----=1d-------+2”"②'

“212-2"22223

11-

S111w+14n+1

利用错位相减法:①-②：y=l-

+7+7+词一声=1+,H+l

1-i

2

=2"F"2^T求得凡=3一击_^^

8分

由S“N3-忒”+2)得2W9分

(〃+2卜2

〃+3

令g(〃)=

(〃+2〉2”

〃+4

则处由一把0—(学<].....................................“分

g(，)"32(〃+3y

(w+2)2n

因为g(〃)〉0,所以有：g(〃+l)<g(〃)，即随着〃增大，g(〃)减小，

2

=^(1)=y.......................................................12分

19.(12分)

(1)证明：•.•平面平面J5CD，面PZBn面.空CD=AB,且尸81AB,

PB±平面ABCD,...........................................................2分

•••/Cu面ABCD,/.ACLPB,

由菱形性质知ACLBD,■：PBCBD=B,

AC1平面P8O............................................................4分

又4Cu平面&C,.•.平面PROJ"平面以C...................................5分

(2)如图，设8的中点为E,CE=工8=1,ZBCE=60°.BC=2,:.BEA.CE,

2

BE1.4B，:平面尸他J.平面8CD,面D面相CD=AB,且3E1AB,

5£1ffiPAB..............................................................7分

以点B为原点，以直线B4BP、BE为x、y、二轴，如图所示建立空间直角坐标系,

可得3(0.0.0),*(2.0.0),P(0.1.0),C(-l,0.6),D(L0.6)

设平面尸4D的一个法向量为，”=(x,y,:),而

.4O=(-L0,6),NP=(-2.L0),

tn-AD=0…星=0,取8百

由｛-----，得

m-AP=0-2x+y=0

得，"=(0,26.1),9分

设平面依C的一个法向量为〃=(〃,瓦c),且3尸=(0,1,0),BC=(-1,0,、6)，

[it-BP=0fb=01-—,「、

由｛-----，得<，取〃=得〃=(j3,0,l),...................11分

-BC=0[-6T+y/3c=0

设平面尸亚)与平面尸BC所成锐二面角为。，则

I/一"'I"I，〃3+11

COS0=COS(77/,7/)="[.[=.-——=—,所以0=60°,

1'71川173+12+1x22

故平面P4D与平面P5C所成锐二面角为60。.........................................12分

注：其他解法酌情给分.

20.(12分)

⑴解：将x=0代入得：07)2+/=2,

不妨记/(>)=./-2y+l+e”,f(y)=2y-2+2e2r.............................2分

易知/()，)在R上递增，且/(0)=0,

可得：当y<0时，f(y)<0：当y>0时，f(y)>0,

即：f(y)在(-8,0)单调递减，(0,+8)单调递增；.....................................4分

由于/(，)2/(0)=0,故x=。时关于V的方程有唯一的根.............................5分

(2)先证e*2x+l,令g(x)=e*-(x+1),贝i]g'(x)=e*-1,

当xvO时，g(x)<0,g(x)单调递减：x>0时，g(.r)>0,g(x)单调递增；

g(x)之g(0)=0,所以有e"A%+1恒成立，.......................................8分

由(e,-y)-2(e*-y)+l=(e*-y-1)>0»可得：(e'-y)>2(eT-yj-1............10分

所以有：2=x2+(e'-y)+e2'>x2+2(e'-y)-l+1+2y=x2+2ev>x2+2(1+x)»

所以/+2xW0,即-24x40......................................................12分

21.(12分)

(1)解：抛物线E：y2=2px,焦点广准线：x=-g.

：.焦点与准线的距离为p=6,则抛物线E的方程为：y2=12x...........................3分

(2)设X(3r；.6r)5(3r;.6r,).C(3t；.6rJ,O(3r：,6r)

—6q29

同理左2=---

八+14…3

2

==X•①...................................................................................................................5分

42_二—A+L

,2+，3

/小'-64=广-卜-3办..............................................................................................................6分

将尸（3,0）代人可得：（（=-1②..........................................................................................................7分

/1月：》-6乙=-----(x-3ff)»将M(4,0)代入可得：I】•'----③

…2'3

4

同理：r3-^4=--..........................................................................................................................8分

由②®®可知：L=」j,=-*小=-幺="...................................10分

?1•3rl3G3

此为定值，值为±..............................................................12分

%3

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作

答时请写清题号.

22.（10分）

(1)解：由pcos?夕=8sin夕,得(pcose)2=80sM6，

所以曲线C的直角坐标方程为/=8.y...........................................................................................3分

（2）将直线/的参数方程代入/=8.y,得（，cosQf=8（，sina+2）,

化简得：cos2ar2-8sinar-16=0,△>()恒成立5分

设45两点对应的参数分别为不〃，

8sina

‘1+’2=2

则C0S0,.......................................................................................................................7分