2015-2016学年北师大版选修2-2数学归纳法课件

2015-2016学年北师大版选修2-2数学归纳法课件目录CONTENCT引言数学归纳法的基本原理数学归纳法的应用实例数学归纳法的扩展与深化总结与回顾习题与解答01引言课程目标课程安排课程简介本课程旨在帮助学生理解数学归纳法的概念、原理和应用，培养逻辑推理和解决问题的能力。本课程将通过讲解、实例演示和练习等多种方式进行学习，使学生全面掌握数学归纳法的知识。数学归纳法是一种证明无穷序列或无限集合中的命题的方法，通过有限步骤来证明无限情况。数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤，其中基础步骤证明命题在某个初始值成立，而归纳步骤证明对于任意自然数n，命题都成立。数学归纳法的定义010203证明等式或不等式的恒等性或不等式性质。证明组合数学中的一些问题，如排列、组合、概率等。解决一些数列求和问题，如求前n项和的公式。数学归纳法的应用场景02数学归纳法的基本原理初始步骤初始步骤：验证$n=1$时，等式是否成立。初始步骤是数学归纳法的第一步，它验证了等式在$n=1$时的成立情况。这是整个归纳过程的基础，确保了递推关系的起始点是正确的。归纳步骤：假设当$n=k$时等式成立，证明当$n=k+1$时等式也成立。归纳步骤是数学归纳法的核心，它基于归纳假设，通过一系列推理，证明当$n=k+1$时等式也成立。这一步确保了等式的正确性可以由前一步推导出来，从而实现了递推关系的建立。归纳步骤归纳假设：假设当$n=k$时等式成立。归纳假设是数学归纳法的关键，它设定了一个假设条件，即当$n=k$时等式成立。这个假设是递推关系建立的基础，使得我们可以利用它来证明当$n=k+1$时等式也成立。通过归纳假设，我们能够将问题简化，并逐步推导出更一般性的结论。归纳假设03数学归纳法的应用实例总结词通过数学归纳法证明等差数列求和公式，可以得出等差数列的求和公式为$S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)$。要点一要点二详细描述首先，我们假设等差数列的前$k$项和为$S_k=frac{k}{2}(a_1+a_k)$。然后，我们使用数学归纳法证明该公式对所有正整数$n$都成立。当$n=1$时，公式显然成立。假设当$n=k$时公式成立，即$S_k=frac{k}{2}(a_1+a_k)$。那么，当$n=k+1$时，$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=frac{k}{2}(a_1+a_k)+a_{k+1}=frac{k+1}{2}(a_1+a_{k+1})$。因此，等差数列求和公式得证。等差数列求和公式的证明总结词通过数学归纳法证明二项式定理，可以得出$(a+b)^n$的展开式为$sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$。详细描述首先，我们假设二项式定理对某个正整数$k$成立，即$(a+b)^k=sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i$。然后，我们使用数学归纳法证明该公式对所有正整数$n$都成立。当$n=1$时，公式显然成立。假设当$n=k$时公式成立，即$(a+b)^k=sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i$。那么，当$n=k+1$时，$(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^k=sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i+a(a+b)^k=sum_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^ia^{k+1-i}b^i$。因此，二项式定理得证。二项式定理的证明总结词通过数学归纳法证明完全平方数的性质，可以得出如果一个数是完全平方数，则它的平方根也是完全平方数。详细描述首先，我们假设一个正整数$n$是完全平方数，即存在一个正整数$m$使得$n=m^2$。然后，我们使用数学归纳法证明该性质对所有正整数都成立。当$n=1$时，性质显然成立。假设当某个正整数$k$时性质成立，即存在一个正整数$m'$使得$k=m'^2$。那么，当$n=k+1$时，$(m'+1)^2=m'^2+2m'+1=k+2m'+1=k+(2m'+1)$。由于$(2m'+1)$是奇数，所以$(m'+1)^2-m'^2=(2m'+1)$是奇数。因此，存在一个正整数$m''=m'+1$使得$(m''+1)^2-m''^2=(2m''+1)$是奇数。因此，完全平方数的性质得证。完全平方数的性质证明04数学归纳法的扩展与深化倒数学归纳法双数学归纳法归纳与演绎结合法在基础步骤之后，使用反向推理来证明结论，适用于某些特定问题。对两个独立的自然数变量同时进行归纳，适用于具有双重性质的问题。将归纳法和演绎法结合使用，以获得更广泛和深入的数学结论。数学归纳法的变种010203组合数学图论离散概率论数学归纳法的其他应用领域用于证明关于组合数的性质和公式。用于证明关于图的性质和结构的结论。用于证明关于离散随机事件的概率性质。80%80%100%数学归纳法的局限性与挑战不是所有数学问题都可以使用数学归纳法解决，需要具体问题具体分析。数学归纳法的有效性依赖于基础步骤的正确性，需要仔细验证。在归纳步骤中，需要巧妙地使用归纳假设，有时需要创造性思维。问题适用性基础步骤的建立归纳假设的使用05总结与回顾数学归纳法的定义与原理数学归纳法在等差数列和等比数列中的应用数学归纳法在几何证明中的应用数学归纳法的应用范围和限制本章重点回顾01020304深入理解数学归纳法的原理，掌握其应用方法学习建议与展望深入理解数学归纳法的原理，掌握其应用方法深入理解数学归纳法的原理，掌握其应用方法深入理解数学归纳法的原理，掌握其应用方法06习题与解答在此添加您的文本17字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字习题1：请写出下列数列的通项公式1,3,7,13,21,...1,1/3,1/7,1/13,1/21,...2,3,5,8,13,...习题2：利用数学归纳法证明：对于任意自然数$n$，都有$frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+...+frac{1}{2n}>frac{47}{90}$。习题3：利用数学归纳法证明：对于任意自然数$n$，都有$1^2+2^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。习题部分答案与解析部分答案1解析通过观察数列的规律，我们可以发现数列的通项公式分别为$a_n=n^2-2n+2$，$b_n=frac{1}{n^2}$和$c_n=F_{n+1}$，其中$F_n$是第$n$个斐波那契数。答案2解析首先，我们利用数学归纳法的基础步骤证明当$n=1$时，不等式成立。然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，再证明当$n=k+1$