小学五年级下册数学《奥数》知识点讲解第5课 同余数的概念和性质 试题附答案

小学五年级下册数学奥数知识点讲解第5课《同余数的概念和性质》试题附答案

第五讲同余的慨念和性质

你会解答下面的问题吗？

问题1：今天是星期日，再过15天就是“六♦一”儿童节了，问“六•

一”儿童节是星期几？

这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15+7=2…1,即15=7X

2+1,所以“六♦一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？

这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7X52+1,所以

1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，

时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生

了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1,那么我们就

说15与365对于模7同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数解有相同的余数，那么称a、b对于

模in同余，用式子表示为：

a=b(modm).(*)

上式可读作：

a同余于b,模:m。

同余式(*)意味着(我们假设a》b)：

a-b=mk,k是整数，即mI(a~b).

例如：①15M365(mod7),因为365-15=350=7X50。

②56=20(mod9),因为56-20=36=9X4。

③90mo(modlO),因为90-0=90=10X9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：(modm)o

例如，表示a是一个偶数，可以写

a=0(mod2)

表示b是一个奇数，可以写

b—1(mod2)

补充定义：若m*(a-b),就说a、b对模m不同余，用式子表示是：

a卢b(modin)

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其

性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数，而提自然

数)。

性质1：a^a(modm),(反身性)

这个性质很显然.因为a-a=0=m•0。

性质2：若a三b(modm),那么b^a(roodm),(对称性)。

性质3：若a^b(modm),b=c(modm),那么a=c(modm),(传递

性)。

性质4：若a^b(modm),c—d(modm),那么a士c^b士d(modm),

(可加减性)o

性质5：若a=b(modm),c=d(modm),那么ac=bd(modm)(可乘

性)。

性质6：若a=b(modm),那么理三h(modm),(其中n为自然数)。

性质7：若ac=bc(modm),(c,m)=1,那么a=b(modm),(记号

(c,ID)裴示c与m的最关公药数)o

注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样，两边约去，

就是错的。

例如6=10(mod4),而3卉5(mod4),因为(2,4)

请你自己举些例子验证上面的性质。

例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

例2求乘积418X814X1616除以13所得的余数。

例3求143E称以7的余数。

例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上

下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，

…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

H回30秒回国3。秒H囿

开始第一次第二次

例5设自然数N=anan-l，，，ala0,其中a。、a：az、…，an分别是个位,

十位，…上的数码，再设M=a0+al+…+an,求证：N=M(mod9)。

例6用弃九法检验下面的计算是否正确：

23372458+7312=3544。

例7求自然数2100+3101+4102的个位数字。

答案

例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：:288-214=74=37X2。

二288=214(mod37)。

V74-20=54,而37*54,

二.74卢20(rood37)。

例2求乘积418X814XI616除以13所得的余数。

分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化

小”，减少计算量。

解：7418=2(modi3),

814=8(modi3),1616—4(modi3),

,根据同余的性质5可得：

418X814X1616=2X8X4=64=12(modi3)。

答：乘积418X814X1616除以13余数是12。

例3求143*滁以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的

性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次嘉入手，重复

平方，找找有什么规律。

解法1：,二143三3(mod?)

.•.143.=3折(mod7)

89=64+16+8+1

而于=2(rood7),

31—4(mod?),

3—16—2(mod7),

3ie—4(mod7),

16—2(mod7),

3J4=4(mod7)。

V3E5=3w3~.3―3三4义4X2X3三5(mod7),

/.143£5=5(rood7)。

答：14小滁以7的余数是5。

解法2：证得143野三3的(rood7)后,

3*=32X3」M2X4=1(mod7),

.•⑶』(3s)—I(mod7)o

.•，3»=3E4.34.3=IX4X3=5(mod7)。

.­.143=5=5(mod7)。

例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上

下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，

…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

-[Ue]f[M

固百ho秒回葡30秒匿囿

开始第一次第二次

分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重

复一次，而1小时=60分钟=120X30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，

因为120三0(rood4),所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

例5设自然数N=anan-l，，，ala0,其中a。、a「az、…，an分别是个位,

十位，…上的数阴，再设M=a0+al+…+an,求证：N三M(mod9)。

分析首先把整数N改写成关于10的嘉的形式，然后利用10三1(rood9)。

证明：:N=4a1rl…a】a。

壮O,nT-0,,1个0

=、X100-0+、_1x100-0+・・・+、X10+a0

=，X10n+an_1X10衣_1+・・・+&1X10+a0

又二1三1(mod9),

10=1(inod9),

102=1(mod9),

10r—1(mod9),

上面这些同余式两边分别同乘以、、⑦、勺、・・,、4,再相加得：

an+a,X10+a-X10^-+aX10

=a0+ax+a：4—+、(mod9),

即N—M(mod9).

这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之

和，再求这个和被9除的余数即可。

例如，求1827496被9除的余数，只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求

和被9除的余数。

再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1+

8,2+7,9被9除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求4+6被9除的余数.因

此，1827496被9除余数是1。

有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对

不对，这种检查方法叫：弃九法。

弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。

用弃九法检验乘式5483*9117曰49888511是否正确？

因为5483=5+4+8+3=11—2(mod9),

9117—9+1+1+7=0(mod9),

所以5483X9117=2X0=0(rood9)。

但是49888511=4+9+8+8+8+5+1+1

—8(mod9),

所以5483X9117^49888511,即乘积不正确。

要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正

确。

例如，9875三9+8+7+5=2(mod9),

4873—4+8+7+3=4(mod9),

32475689=3+2+4+74-5+6+8+9

=8(mod9),

这时，9875X4873=2X4=32475689(mod9)。

但观察个位数字立刻可以判定9875X4873r32475689.因为末位数字5和3

相乘不可能等于9。

弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

例6用弃九法检验下面的计算是否正确：

23372458+7312=3544。

解：把除式转化为：

3544X?312=23372458o

3544=3+5+4+4=7(mod9),

7312=7+3+1+2-(mod9),

?.3544X7312=7X4=1(mod9),

但23372458三2+3+3+8三7(rood9)。

而1卢7(rood9)

.­.3544X7312户23372458,

即23372458+7312户3544。

例7求自然数2100+3101+4102的个位数字。

分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。

解：21OC=24X：5=62--6(mod10),

31C1=34X：5••3:=3(mod10),

41cz=(2:)100♦4:=6•6=6(mod10),

.，.210°+3101+4102=6+3+6=5(mod10),

即自然数218+3】。1+4侬的个位数字是5.

习题五

1.验证对于任意整数a、b,式子a^b(modi)成立，并说出它的含义。

2.已知自然数a、b,c,其中c〉3,以c余1,b除以c余2,则ab除以c余

多少？

3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？

4.求3333”*+5555”交被7除的余数。

5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？

ABCDEFG

~~~2_3_

765

891011

141312

1516…

1993个1

6.五二1数，被13除余多少？(提示：先试除，可知131111111,而1993M

1(mod6))。

7.用弃九法检验下面运算是否正确：

①8