《复变函数第3讲》课件

《复变函数第3讲》ppt课件目录复数与复变函数复变函数的极限和连续性复变函数的导数与积分幂级数与泰勒级数解析函数与全纯函数调和函数与次调和函数01复数与复变函数Part总结词定义与性质详细描述复数是由实数和虚数两部分组成的数，形式为$z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。复数具有加法、减法、乘法和除法等运算性质。复数的概念总结词：几何表示详细描述：复数在几何上可以用平面上的点或向量来表示。实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。复数的模表示点或向量到原点的距离，幅角表示点或向量在实轴上的投影与正实轴之间的夹角。复数的几何意义总结词：运算规则详细描述：复数的乘法运算可以按照分配律进行，如$(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$。除法运算可以通过乘以共轭复数的方法进行，如$frac{a+bi}{c+di}=frac{a+bi}{c+di}timesfrac{c-di}{c-di}=frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。复数代数形式的乘除运算02复变函数的极限和连续性Part复变函数的极限定义对于复数函数f(z)，若z0是z平面上的一点，当z趋于z0时，f(z)的极限存在，则称f(z)在z0有极限。性质极限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部保序性、局部四则运算性质。计算方法利用极限的运算法则和复合函数的极限运算法则进行计算。性质连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复合性。判定方法利用连续性的定义和性质进行判定。定义如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|z-z0|<δ时，有|f(z)-f(z0)|<ε，则称f(z)在z0处连续。复变函数的连续性对于复数函数f(z)，若当z趋于无穷远处时，f(z)的极限存在，则称f(z)在无穷远处有极限。定义无穷远点的极限具有唯一性、局部有界性和局部保序性。性质利用极限的运算法则和复合函数的极限运算法则进行计算。计算方法复数函数在无穷远点的极限03复变函数的导数与积分PartSTEP01STEP02STEP03复变函数的导数定义导数表示函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。几何意义计算方法通过极限定义，利用实部和虚部的导数计算复变函数的导数。复变函数的导数定义为函数在复平面上的切线的斜率。复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面积。定义积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个区间上的增量。几何意义通过分割区间、近似函数、求和、取极限的方法计算复数函数的积分。计算方法复数函数的积分柯西积分公式定义柯西积分公式是复变函数中的一个基本公式，用于计算复数函数的积分。应用柯西积分公式在复变函数中有着广泛的应用，可以用于求解一些复杂的积分问题，简化计算过程。04幂级数与泰勒级数Part幂级数的定义幂级数是形如(a_0+a_1x+a_2x^2+ldots)的无穷级数，其中(a_0,a_1,a_2,ldots)是常数，(x)是变量。幂级数的性质幂级数具有很多重要的性质，如收敛性、可导性、可积性等。这些性质使得幂级数在数学和物理中有广泛的应用。幂级数的应用幂级数在数学分析、微积分、复变函数等领域有广泛的应用。例如，它可以用来求解微分方程、积分方程，以及研究函数的性质等。幂级数泰勒级数的定义泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。泰勒级数的性质泰勒级数具有很多重要的性质，如收敛性、可导性、可积性等。这些性质使得泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用。泰勒级数的应用泰勒级数在数学分析、微积分、复变函数等领域有广泛的应用。例如，它可以用来求解微分方程、积分方程，以及研究函数的性质等。此外，泰勒级数还在数值分析、计算物理等领域有重要的应用。泰勒级数05解析函数与全纯函数Part解析函数如果一个复函数在某区域内的每一点都可微，则称该函数在该区域内解析。泰勒级数一个在某点解析的函数，可以展开为该点的泰勒级数。解析函数的几何意义曲线在每点的切线斜率都存在。解析函数的概念定义域全纯函数的定义域是复平面上的一个区域。柯西积分公式对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算其在任意点的值。值域全纯函数的值域是实数域上的一个区域。全纯函数的性质积分公式全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。柯西积分定理对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。柯西积分公式与全纯函数的积分表示全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。全纯函数的积分表示06调和函数与次调和函数Part如果一个复平面上的可微函数f(z)的实部和虚部都是调和的，则称f(z)是调和函数。调和函数如果一个复平面上的可微函数f(z)的实部和虚部都是可微的，则称f(z)是解析函数。解析函数如果一个复平面上的可微函数f(z)满足f'(z)=g'(z)，则称f(z)和g(z)是共轭函数。共轭函数010203调和函数的概念次调和函数的性质次调和函数的导数仍然是调和的。次调和函数的实部和虚部都是次调和的。次调和函数的导数在边界上为零。STEP01STEP02STEP