长方体公式解决外接球问题大全 练习-2023届高三数学一轮复习

长方体公式解决外接球问题大全

一.直接法

1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为（）

971Lc八

A.--B.3V37CC.9兀D.277c

2

2.体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

3.（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M,该正方体的内切球上有一个动点N,若线段MN的最

小值为6-1，则下列说法正确的是（）

47r

A.正方体的外接球的表面积为12"B.正方体的内切球的体积为《-

C.正方体的棱长为2D.线段脑V的最大值为

二.直棱柱.棱锥转化

4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，璧如“堑堵”

意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱,“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥,

“鳖膈”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥，现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC-,其中

AC，BC楮AA=A8=2,当“阳马唧四棱锥B-AACG的体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC-44G的外

接球的表面积为（）

D.还

A.4nB.8兀C.16n7c

3

5.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.在鳖般尸-ABC中，平面

ABC,A8=3C=2"=4,则鳖嚅P—ABC外接球的表面积是（）

A.36万B.727rC.144万D.288万

6.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，且必，平面ABC,若该棱锥的体积为毡，AB=2,

3

AC=1,ACJ.BC,则此球的表面积等于（）

A.5TTB.8%C,167rD.20乃

7.已知三棱锥尸-ABC中，上4J_平面ABC,ABJ.BC,若PA=3,A8=2,BC=E,则该三棱锥的外接球

的表面积为.

三.面面垂直转化

8.已知三棱锥P—A8C的顶点都在球。上，AB=2娓,BC=\,AC=5,平面平面ABC,且上41PB,

则球。的体积为.

9.已知四棱锥P—A5CD的顶点都在球。上，43=3,BC=4,CD=\,AD=2娓,AC=5,平面皿

平面ABC。，且24_LPr）,则球。的体积为.

10.在平面四边形A8CQ中，ADLCD,ACLBC,/D4C=NBAC=30。，现将AACO沿AC折起，并连接

BD,使得平面AC。_L平面ABC,若所得三棱锥O-ABC的外接球的表面积为4万，则三棱锥O-ABC的体

积为______

DD

四.对棱相等对角线转化

11.在四面体P-ABC中，PA=BC=3,PB=AC=2,PC=AB=也,则该四面体外接球的体积为.

12.四面体A-BCD中，AB^CD=5,AC=BD=5,AD=BC=^，则四面体A-BCD外接球的表

面积为•

五.升级版综合类

13.在正三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱PC,BC的中点，且AMJ.MN,设三棱锥P-ABC外接球

的体积和表面积分别是丫和S.若A8=2,则（）

A.V=6为rB.V=T2将rC.S=6万D.S=24^

14.已知在四棱锥P-MCD中，平面ABCQ,底面ABC。为矩形，PB=4,AD=2近，当".尸。最

大时，该四棱锥外接球的表面积为.

长方体公式解决外接球问题大全

1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为（）

9兀

A.-B.3>j3nC.9兀D.27兀

2

【答案】A

【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.

【详解】设正方体的边长为贝U6a2=18,“=有，

正方体的对角线长为正+3+3=3,

3

所以球的直径2R=3,半径&=—,

2

所以球的体积为色xja1=史.

3⑵2

故选：A

2.体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

【答案】487t

【分析】根据正方体的体积公式，求得棱长，结合球与正方体的对称性，求正方体的体对角线，可得球的

半径，利用球的表面积公式，可得答案.

【详解】设正方体的棱长为。，则体积丫=°3=64,即a=4,

易知正方体的体对角线为外接球的直径，设外接球的半径为『，则2r=J/+a2+/=46,即r=2g,

故该球的表面积S=4兀尸=48兀.

故答案为：48K.

3.（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M,该正方体的内切球上有一个动点N,若线段MN的最

小值为6-1，则下列说法正确的是（）

47r

A.正方体的外接球的表面积为12万B.正方体的内切球的体积为飞-

C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为26

【答案】ABC

【分析】设正方体的棱长为。，即可求出正方体的内切球与外接球半径，进而求出M，N的最小值，由此求

出〃的值，然后对应各选项一一判断即可得出答案.

【详解】设正方体的棱长为a,则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即R=

2

内切球半径为棱长的一半，即〃=£.

・・・M,N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，

MN.=a——=--a=>/3—1，解得。=2,

m'"222

•••正方体的棱长为2,C正确.

正方体的外接球的表面积为4/x(0)2=12/，A正确.

正方体的内切球的体积为三4万X1a=芋47r，B正确，

线段MV的最大值为且a+@=6+l，D错误.

22

故选：ABC.

4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，璧如“堑堵”

意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥,

“鳖腌”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥，现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC-4啰«，其中

ACJ.BC渚M=AB=2,当“阳马”即四棱锥"A4CG的体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC-的外

接球的表面积为()

小K---------------------

A.4兀B.87rC.16兀D.-----兀

【答案】B

【分析】设出AC=x,BC=y,表达出四棱锥B-AACG的体积，并用基本不等式求出体积最大值，从而

确定x=y=夜，根据墙角模型求出三棱柱ABC-A冉G的外接球的半径，求出表面积.

【详解】设AC=x,BC=y,

因为AC1BC,AAt=AB=2,

则x2+y2=4,

四棱锥8-AACG的体积为：4\»。80=：个，4；■2+丁）=：,

当且仅当x=y=0时，等号成立，

此时三棱柱ABC-AB©的外接球的半径为,JAC2+8C2+A42=；乂。2+2+4=e,

则三棱柱A8C-AB©的外接球的表面积为47tx（&）=8n.

故选：B

5.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.在鳖膈P-ABC中，/%_!_平面

ABC,AB=8C=2PA=4,则鳖膈p—MC外接球的表面积是（）

A.367rB.727rC.144万D.288万

【答案】A

【分析】判段出P-MC补全后为长方体，再利用长方体外接圆半径的计算公式得出半径，即可直接得出

答案.

【详解】由题意可知482BC,

如图，将鳖席P-ABC补全成长方体，

P

c

则鳖腌P-ABC外接球的半径R=1+/+.=3,

故鳖嚅PA3C外接球的表面积为4万齐=36万.

故选：A.

6.已知三棱锥P-43C的各顶点都在同一球面上，且PA,平面ABC,若该棱锥的体积为2叵，/$=2,

3

AC=1,AC±BC,则此球的表面积等于（）

A.5万B.8乃C.16万D.207r

【答案】D

【分析】由线面垂直的性质定理证明BCA.PC,取PB中点0,连接0A,0C,则有

OB=OP=OA=OC=gpB,即。是该棱锥外接球的球心，尸8是球的直径，求出其长得球半径，从而得球

表面积.

【详解】平面ABC,A8,3Cu平面A5C,所以PAVBC,

又3CJ.AC,ACcE4=4,AC,APu平面PAC,

所以8C_L平面PAC,而PCu平面PAC,所以8C_LPC,

取P8中点0,连接OA,0C,则有O3=OP=OA=OC=；PB,

22

BC=-JAB—AC=6，5,AHC='ACBC=，

VP-ABC=—=-x—xPA,APA-4,:•PB=2亚,

332

所以外接球球半径为gPB=45,表面积为4万x(右了=2()乃.

故选：D.

7.已知三棱锥P-A5C中，B4L平面ABC,AB1BC,若24=3,A8=2,8C=6，则该三棱锥的外接球

的表面积为.

【答案】16K

【分析】由题意可得PC为外接球的直径，求出半径，再根据球的表面积公式即可得解.

【详解】解：由已知PC为外接球的直径，PC=y/PA1+AB2+BC2=4^

所以外接圆半径为R=2,外接球表面积为S=4兀4=1671.

故答案为：16兀.

二、多选题（共0分）

三、填空题（共0分）

8.已知三棱锥尸-ABC的顶点都在球。上，AB=2R,BC=1,AC=5,平面平面ABC,且P±PB,

则球。的体积为.

【答案】〒125乃

6

【解析】分别取AB,AC的中点《,。2,根据AB13C又R4J.尸3,得到。“。2分别为截面附B,截面A8C

外接圆的圆心，再由平面的，平面ABC,得到。。2,平面BW,从而。2为球心。求解.

【详解】如图所示：

分别取AB,AC的中点0“5,

因为A8=26,BC=1,AC=5,

所以4313C又上4±PB,

所以9,a分别为截面PA8,截面ABC外接圆的圆心,

又平面平面ABC,opj/BC,

所以。。2,平面EU3,

所以。2为球心。，

所以球的半径为R=|,

所以球的体积为丫=：乃代=学乃

36

故答案为：?125

6

9.已知四棱锥P—A5co的顶点都在球。上，43=3,BC=4,CD=\,AD=2娓,AC=5,平面皿

平面ABC。，且Q4_LP£>,则球。的体积为

【分析】取AC中点0,4。中点”，连接OH,OB,0D,PH,根据题中边长，可得4518C,ADLDC,

根据面面垂直的性质定理，可得OH_L平面尸根据题意，可得。为四棱锥P-ABCD外接球的球心，利

用勾股定理，求得。。，代入公式，即可得答案.

【详解】取AC中点0,AO中点”，连接。H,OB,OD,PH,如图所示：

因为AB=3,BC=4,CD=\,AD=2而,AC=5,

所以A82+8C2=AC2,即他工BC,

AD2+DC2=AC2,即AO_LDC,

又。为AC中点，

所以。到4,B,C,。的距离相等.

因为平面BID1,平面ABC。，平面2De平面ABC£>=4),AD1DC,

所以0cl,平面PA£>,

又因为0,H,分别为AC,A。中点，

所以OH//OC,即。HJ•平面R4O,

又PALPD,

所以。到P,A,O的距离相等，

所以。为四棱锥尸-ABCD外接球的球心，

在MAADC中，0D=^OH-+DH2=J+（而丫=|

所以球0的体积V=—jrfV=—^xODi=—xf—=L,

333⑵6

125万

故答案为:

6

【点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，勾股定理，并灵活应用，直角三角形斜边中点，即

为三角形的外心，以此作为突破口求解，属中档题.

10.在平面四边形ABC。中，ADLCD,ACLBC,ND4C=NBAC=30。，现将△AC£>沿AC折起，并连接

%>，使得平面AC£>_L平面A8C,若所得三棱锥£>-ABC的外接球的表面积为4万，则三棱锥。-A8C的体

【答案】曲

8

【分析】由题意，找到底面和侧面的外接圆圆心，通过面面垂直性质定理，作出线面垂直，确定球心，进

而求得棱长，可得答案.

【详解】/AOC=NACB=90。,

...△AOC的外接圆圆心为AC中点。-AABC的外接圆圆心为48中点。*如图所示:

过。作平面4OC的垂线，过。2作平面ABC的垂线,

•.•平面ADCL平面ABC,

...两垂线交于点。2，可得02为三棱锥D-ABC外接球的球心，

由三棱锥。-ABC外接球的表面积为4兀，可得外接球的半径r=l,AB=2,

在AABC中，BC=ABsin30=1,AC=ABcos30=A/3,

在AAC£＞中，CD=ACsin30=—,4。=4Ccos30,

22

••,平面AQC_L平面ABC,平面AOS平面ABC=AC,BCVAC,8Cu平面ABC,

.•.8。，平面4?。，则8c为三棱锥的高，

则三棱锥。-ABC的体积为•lBCxSacp=1xlxLx?x@=3.

3-32228

故答案为：2.

8

11.在四面体P—A5c中，PA=BC=3,PB=AC=2,PC=AB=®则该四面体外接球的体积为.

【答案】迪兀

3

【分析】如图所示：将四面体P-A5C放入长方体中，利用勾股定理得到/+〃+C2=R2=8,计算得到答

案.

【详解】如图所示：将四面体P-ABC放入长方体中：

a2+b2=3

22122

设长方体的边长分别为。，》，c,则\h+c=9相加得到a+〃+c=4/?=8.­.7?=72

/+=4

体积为：V=♦TIR=*应冗

33

故答案为成兀

3

A

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入长方体是解题的关键.

12.四面体A-BC3中，AB=CD=5,AC=BD=4,A。=BC=闻，则四面体4-88外接球的表

面积为.

【答案】50兀

【分析】把四面体A-BCD补成一个长方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此可求得外接球半

径，从而得表面积.

【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体4-8CO的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上

一个以5,A，标为三边的三角形作为底面，且分别以。，b,c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到

一个长、宽、高分别为“，b,c的长方体，

并且〃2+"=25,a2+c2=34,b2+c2—41,

2

设球半径为R,则有(27?)2="2+62+(?=50,

.Mgs。，

，球的表面积为5=4兀尸=50兀.

故答案为：507t.

13.在正三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱PC,BC的中点，且.AM上MN,设三棱锥P-ABC外接球

的体积和表面积分别是丫和S.若A8=2,则()

A.V=6瓜兀B.V=12&C.S=67D.5=24万

【答案】C

【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明尸PBLPC,PC1.PA,将三棱

锥P-43c补成以P4