训练19：图形的变换-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求

2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练19：图形的变换（含答案）

一、知识要点：

1、平移

（1）定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。

（2）平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行（或

在同一条直线上）且相等。

（3）坐标的平移：点（x,y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（户a,y）；

点（x,y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a,y）；

点（x,y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x,j+a）；

点（x,y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x,厂a）。

2、轴对称

（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就

说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫

做对称点。

（2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。

（3）轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形•

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（4）线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

（5）坐标与轴对称：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标是"X,y）；

3、旋转

（1）旋转

定义：把一个平面图形绕着平面内某一点。转动一个角度，叫做图形的旋转。点。叫做

旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫

做这个旋转的对应点。

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角；③旋转前后的图形全等。

(2)中心对称

定义：把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的

对应点叫做关于对称中心的对称点。

中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对

称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。

(3)中心对称图形

定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称

图形。这个点叫做它的对称中心。

(4)关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点PU力关于原点。的对称点为P'

(-x,-y)<>

二、课标要求：

1、图形的平移

(1)通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，

两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。

(2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。

(3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。

(4)在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶

点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。

(5)在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的

图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。

2、图形的轴对称

(1)通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对

应点的连线被对称轴垂直平分。

(2)能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。

(3)了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性

质。

(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。

(5)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平

分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

(6)在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图

形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。

3、图形的旋转

(1)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和

它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线

所成的角相等。

(2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形

中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。

(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。

三、常见考点：

1、对图形平移、轴对称图形、图形旋转、中心对称图形的识别。平面图形的折叠。

2、平移、轴对称、旋转、中心对称等图形变换的性质。

3、坐标的平移、轴对称、中心对称变换。

四、专题训练：

1.在平面直角坐标系中，线段46的端点分别为4(2,0),6(0,4),将线段46平移到46”

且点4的坐标为(8,4),则点用的坐标为()

A.(7,6)B.(6,7)C.(6,8)D.(8,6)

2.如图，对折矩形纸片/比〃使/〃与a'重合，得到折痕牙；把纸片展平后再次折叠，使

点/落在)上的点力'处，得到折痕用/,且8%与舒,相交于点M若直线胡'交直线切

于点0,比三5«,EN=M，则勿的长为()

245

3.如图，在a'中，△?1比1的面积为05，AB=2瓜BD平分~NABC,E、尸分别为6C、

功上的动点，则⑪厮的最小值是（）

4.如图，在平面直角坐标系中，A（0,3）,B（5,3）,<7（5,0）,点〃在线段》上，将4

板沿着直线切折叠，点/的对应点为£,当点£在线段OC上时，则力〃的长是（）

33

5.如图，将长方形仍面沿对角线加折叠，使点C落在点C'处，BC交AD于E,AD=8,

49=4,则重叠部分（即△糜）的面积为（）

A.6B.7.5C.10D.20

6.如图，是等边三角形，/〃是外边上的高，£1是1。的中点，一是/〃上的一个动点,

当小与阳的和最小时，/月6?的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.若点/(a,b)和点8(〃，n)关于原点对称，且a+6=l,则下列说法正确的是()

A.mn--1B.n--1C.n^n—-1D.—=-1

n

8.如图，回中，/CAB=72°,在同一平面内，将△?1比绕点力旋转到△/!&C的位置，

9.如图，在Rt△/a'中，曲=90°,4C=4,BC=3,将比'绕直角边4C的中点。旋

转，得到△&见连接44若朦恰好经过点G且应'交46于点G,则tan/ZMG的值为

A.-LB.-LC.-LD.J-

24131224

10.如图，将矩形16切绕点8顺时针旋转90°至矩形融声的位置，连接〃1、EG,取〃；

比的中点以N,连接秘4若48=8,BC=6,则例—()

A.8B.6C.5D.55/2

11.如图，在△4%中，/4方=90°,将△4比绕点力逆时针旋转到△力厮，延长BC交.EF

于点。，若劭=5,BC=4,则〃£=.

BE

12.如图，在中，N8=90°,AB=2,BC=1.将△48C绕点/按逆时针方向旋转

90°得到△［夕C,连接8C,则tan/力密=

13.如图，四边形力中，N8=60°,AB=BC,将边为绕点〃逆时针旋转60°得到线段

DE,过点、E做EFLBC,垂足为凡若EF=2,BF=3,则线段切的长是.

14.如图，而为。。的直径，。为。0上一动点，将/C绕点/逆时针旋转120°得若

AB=2,则必的最大值为.

15.如图，正方形4?（力的边长为8,£为比1上一点，且应'=2.5,尸为46边上的一个动点,

连接储以成为边向右侧作等边△哥'G,连接CC,则CC的最小值为.

16.如图所示，在△力配中，M=AC=\Q匹,BD、四为的两条中线，且加_L四于点

用"为线段劭上的动点，则4出以1的最小值为.

17.矩形015c在平面直角坐标系中的位置如图所示，点6的坐标为（6,8）,点〃是物的

中点，点£在线段4?上，当△龙£的周长最小时，点后的坐标是

18.如图，将长方形/时沿对角线/C翻折，点8落在点尸处，FC交AD于点、E,若/5=4,

BC=8,则的长为.

19.平面直角坐标系中，已知点/的坐标为（勿，3）.若将点4先向下平移2个单位，再向

左平移1个单位后得到点8（1,〃），则册〃=.

20.如图，在三角形4回中，NABC=90°,将三角形沿47方向平移的长度得到三

角形应冗己EF=8,应=6,CG=3.则图中阴影部分的面积是.

21.如图1,将三角形纸片45G沿91折叠，使点占落在外上的尸点处；展开后，再沿加

折叠，使点4恰好仍落在园上的尸点处（如图2）,连接力：

（1）求N/a'的度数；

（2）若△物为直角三角形，且N677=90°,求NC的度数;

（3）若为等腰三角形，求/C的度数.

22.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△/回的顶点都在正方形网

格的格点（网格线的交点）上.

（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点力坐标为（4,3）,点C坐标为（-

1,-2）；

（2）在（1）的条件下.

①画出关于x轴对称的△⑷B'C；

②点。是y轴上的一个动点，连接BD、DC,则△a®周长的最小值为.

23.如图1,等边中，AB=6,于点。，点一为线段初上任一点，连接AG将

线段PC绕前。逆时针旋转60°得到线段CQ,连接PQ.

（1）如图2,当点0恰好在的延长线上时，阳的长为；

（2）如图3,连接80,求证：△4^△6（为；

（3）连接〃Q,

①若△破0为等腰三角形时，求/员%的度数；

②求线段闻的最小值.

图1图2图3

24.在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1,ZACB=

90°,AC=BC,ADVCE,BEICE,垂足分别为。，E,A片2.5cm,DE=\Jcm,求缈的长

(1)请你也独立完成这道题；

(2)待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下,

将2所在直线旋转到△/8C的外部(如图2),请你猜想/〃，DE,缈三者之间的数量关系,

直接写出结论，不需证明.

25.如图1,在△力比1中，已知/水方=90°,A0BC,点、D,£分别在边4GBC上,且切

=CE,此时显然4?=%AD1BE成立.若保持△/8C不动，将△腔绕点，逆时针旋转,

旋转角为a.

(I)如图2,当0°<a<90°时，问：AD=BE,ADL8E是否成立?若成立，请证明，若

不成立，请说明理由;

(II)如图3,当a=45°时，延长缈交于点若龙=&,船=3,则线段斯=(直

接写出结果即可).

26.折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.

例如，在中，4Q4C(如图1),怎样证明NGN3呢？

把然沿乙4的平分线4〃翻折，因为所以点。落在四上的点C处(如图2).于是,

由//0O=NC,ZACD>ZB,可得/6>N8.

利用上述方法(或者思路)解决下列问题：

(1)如图2,上述阅读材料中，若/8=45°,/C=60°,则/。的=°.

(2)如图3,△4?。中，ZACB=90a,1。平分/班G交比'于点〃若切=2,AB=6.求

△/劭的面积.

(3)如图4,△45。中，已知6c于点。，且CH丹BD.若NO24°,求的度

数.

参考答案

1.解：：线段四的端点分别为/（2,0）,8（0,4）,将线段4?平移到45,且点4的坐

标为（8,4）,

.•.5的坐标为：（6,8）,

故选：C.

■:E3品

...由中位线定理得4犷=2«,

:对折矩形纸片/时，使A9与a1重合，得到折痕所；

."'4=4B,

•.•把纸片展平后再次折叠，使点4落在斯上的点4处，得到折痕的/,

AB=AB,/ABQ//BM,

：./XABA为等边三角形，

：.ZABA'=ZBA'A=ZA'48=60°,

又6aNM片90°,

NABM=Z/BM=Z/8C=30°,

BW=2AQ4百，AB=6=CD.

在直角中，VZO=90°,/仍（=30°,

OC=BOtanZOBC=5ax返=5,

3

C.OD^CD-OC=6-5=1.

故选：B.

3.解：如图，CHLAB,垂足为〃，交班于尸点，过少点作电''LBC,垂足为炉，则CF+E'

尸为所求的最小值,

•.•劭是N4比1的平分线，

：.FH=E'F,

是点6到直线用的最短距离(垂线段最短),

•.•△力比I的面积为、/76,4?=2加,

...出遥，

2V2

■:CRE'厂的最小值是出炉F=CFHH=y1^.

故选：D.

4.,：A(0,3),B(5,3),C(5,0),

轴，6C〃y轴，4夕=比三5,AgBC=3,

:.NDAB=NAOC=9Q°,

N颇=90°,

•.•将△/勿沿着直线龙折叠，点A的对应点为E,

：.AD=DE,AB=BE=5,

22=22=

**,CE=VBE-BCVS-34，

设AD=DE=X,则如=3-x,OE=1,

,/切+第二应2,

(3-JT)2+\'=x,

解得x=A.

3

.•.仍=5.

3

故选：D.

5.解：•.•四边形/f仇》是矩形，

：.AD//BC,

：.2EDB=ZCBD,

由折叠的性质得：NCBD=/CBD,

：.Z.EDB=ACBD,

:.BE=DE,

设AE—x,则BE—DE—3-x,

在口△4%■中，/4+力必=8户，

即42+/=(8-x)2,

解得：x=3,

则/E=3,DE=8-3=5,

则8刎工X5X4=10,

22

故选：C.

6.解：如连接应；与AD交于点、P,此时必最小,

・・•△/!及7是等边三角形，ADVBC,

:・PC=PB,

:.PE^PC=PfhPE=BE,

即筋就是阳的最小值，

・・・△/优是等边三角形，

：・NBCE=60°,

YBA=BC,AE=EC,

:.BE1AC,

・・・N皈=90°,

：.ZEBC=3(0o,

YPB=PC,

・・・N"=NW30°,

：.ZACP=t30°,

故选：A,

7.解：•.•点1(a,b)和点8(加，n)关于原点对称,

••/n—~-a,n—~-b,

a+b—1,

研〃=-a-b=-(a+Z?)=-1.

故选：C.

8.解：-：CC//AB,

:.NCCA=NCAB=72。,

•.•将绕点/旋转到△姐C的位置，

：.AC=AC,NBAB=NCAC,

：.AACC^-AAC072°,

胡4=180°-72°X2=36°,

故选：B.

在中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

22=

'AB=VAC+BC"2+32=5'

:点。是4c边的中点,

：.0C=0A=0D=XAC=2,

2

：.ZGCg/0DC=NBAC,NADC=90°,

:.AG=CG,

：.OGVAC,

在RtZ\4?C中，sin/胡。=正卫，cos/胡。=至］,

AB5AB5

.".sinZOCG=—,cosZOCG——,

55

在RtZ\OCG中，CG=——二——=5,在口△/切中，CD=AC,cosNOCG=也,AD=AC-sin

cos/OCG25

/OCG=里，

5

：.DG=CD-CG=^--

5210

7

5

故选：D.

10.解：如图，连接劭，BF,DF,

•••四边形/及力，四边形婀；都是矩形，以N是AC、曲的中点,

.•.点"是劭的中点，点M是跖的中点，

:.MN=LDF.

2

・・•力Q8,BC=6,

‘''=JAB2+BC”<64+36=1。,

:.AC=BD=此

・・,将矩形ABCD绕点、夕顺时针旋转90°至矩形9亦的位置,

:.DB=BF=10,/DBF=9G,

：.DF=y/2BD=10y[2^

:,MN=3后,故选：D.

11.解：如图，连接49.

BE

在口△〃!/花口口△/%中，

[AD=AD,

lAF=AC，

；.RtZW走（HL）,

:.DF=DC,

,:BD=3,BC=4,

：.CD=DF-5-4=1,

,:EF=BC=4,

:.DE=EF-DF=4-1=3.

故答案为：3.

12.解：在Rta/fSC中，由勾股定理得：AC^7AB2+AC2^722+12=

过C作CMLAB'于M,过4作ANLCB'于N,

:根据旋转得出/夕=AB=2,AB'/8=90°,

即/。〃=乙附6=/6=90°,

CMAB=2,4M=BC=1,

:.B'42-1=1,

在口△",监中，由勾股定理得：B'（7=7CM2+B7M2=V22+l2=

S^AffC=1.B'C'AN=1.C.^AB',

22

...AxJ5X朋.JLX2X2,

22

解得：4¥=生区，

5

由勾股定理得：③=卮肃=J（代）2_（华）2=等,

在RtZUM；中,

W5

理__5一匹

CN3/5T

5

故答案为：A.

3

BE=^gp2+gp2=74+9=

VZ5=60°,AB=BC,

・・・△/阿是等边三角形，

：.AB=AC,N掰C=60°,

・・,将边DA绕点〃逆时针旋转60°得到线段DE,

：.AD=AE,/ADE=60°,

•••△/龙是等边三角形，

:・AE=AD,/DAE=60°,

:・/DAE=/BAC,

:"BAE=/DAC,

在△力庞和△力切中，

，AB=AC

,ZBAE=ZDAC，

AE=AD

二△ABE^XACD(S4S),

***BE=CD=♦13'

故答案为：V13-

14.解：解法一：如图，将绕点力顺时针旋转120°,则〃与C重合，月是定点，BD

的最大值即Z/C的最大值，即夕、0、C三点共线时，BD最大,过夕作夕£1团于点区

D

B'

由题意得：AB=AB=2,ABAS=120°,

：.AEAS=60°，

RtZU函中，N4夕£=30°,

AE=1-AB=1,EB=«2_J=如,

2，

由勾股定理得：OB=,\/OE+BJE2={22+（圾）2=V7>

:.BC=OB+Og畀］..

解法二：如图1,连接OC,将绕点1逆时针旋转120°得到△川〃，发现点〃的运动轨

迹是：以G为圆心，以为半径的圆，所以当6、G、〃三点共线时，物的值最大，如图2,

过点G作GHLAB,交BA的延长线于H,

从G=60°,

N9=30°,

:.AH=L加返，

22

22=

由勾股定理得：BG=7GH+BH]]2=V?'

做的最大值是行1.

故答案为：A/7+1.

15.解：由题意可知，点厂是主动点，点G是从动点，点厂在线段上运动，点G也一定在直

线轨迹上运动，

将△牙3绕点£旋转60°,使"与总重合，得到△反超

从而可知△幽/为等边三角形，点G在垂直于从,的直线HN上,

过点。作CM1HN,则CV即为面的最小值，

过点《作EPLCM,可知四边形HEPM为矩形,

贝ijMPrCP=HE+1-EC=2.5+旦二祖，

4

16.解：连接DE.

，NABC=ZACB,

,:BE=LB,DC=LC,

22

：.BE=CD,

'：BC=CB,

:./ECB=/DBC,EC=BD,

：.BN=CN,

：.EN=DN,

'：BDVEC,

：./\EDM,都是等腰直角三角形，

,:AE=EB,AD=DC,

：.DE//BC,DE=1.BC,

2

•EN=DE=J_（

"NCBC~2

：.CN=2EN,

:.B42EN,

,:AE=BE=5遥,

:.EN=3,&\=10,

：.BN=CN=\Q,

:.BC=\。弧,

作点4关于直线班的对称点〃，连接）/交切于也连接4M此时4阶£1/的值最小，最小

值=线段07的长，过点〃作〃人相于7,延长交/〃于/

'：AJ//EN,AE=EB,

:.BN=NJ=\O,

:,AJ=JH=2E-BJ=2BN=2Q,A42AJ=20

:九谢=工AB-HT=L・AH'BJ,

22

...〃7=20X*=8&,

10/5

22=22=

"7=7AH-HT720-（8X/5）4遍’

:.ET=AE-47=5旄-4遍=遥，

E=22=

TLVET+EH7（V5）2+（8V5）2=5后，

/功的最小值为55/13.

故答案为55/13.

17.解：如图，作点〃关于直线4?的对称点〃，连接67/与48的交点为其此时△吸的周

长最小.

,:D(3,0),A(6,0),

：.H(9,0),

直线面解析式为y=-“8,

9

；.x=6时，y=—,

3

...点£坐标（6,旦）,

3

故答案为：（6,2）.

3

18.解：由折叠的性质，可知：AF=AB=4,CF=CB=8,NF=NB=90°,AACF=AACB.

'：AD//BC,

:.NCAQ/ACB,

：.ACAD^^ACF,

：.AE=CE.

设AE=x,则EF=8-x.

在RtZUiF中，AF=4fAE=x,EF=8-x,N/=90°,

22

A4+(8-x)=xf

x=5,

：.AE=5.

故答案为：5.

19.解：,・•点4(勿，3)向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点8(1,/?),

.*.//?-1=1,3-2=77,

••in—'2f〃=1,

**•ur^n=3,

故答案为：3.

20.解：・・,三角形力勿沿四方向平移力〃的长度得到三角形分尸,

:•△ABgRDEF,BC=EF=8,

:・BG=BC-CG=8-3=5,

,**S阴影部分+5入以g=5入幽+S梯形BEFG，

；・S阴影部分=5梯形板c=工(5+8)X6=39.

2

故答案为39.

21.解：(1)如图1中，

由翻折的旋转可知，AB=AF,BA=BF,

:・AB=NF=AF,

**•丛ABC是等边三角形，

：.ZABC=600.

(2)如图2中，

图2

♦：DF1BC,

：.ZDFB=ZDFC=90°,

在△力劭和△胸中，

'BA=BF

<NABD=NFBD，

BD=BD

:4B哙XBFD(S4S),

:"BAD=/DFB=9。。,

：・NAgNABC=180°,

・・・N4ZF=180°-60°=120°,

：.ZCDF=1800-户=60°,

，NC=90°-60°=30°.

(3)如图3-1中，当时，设乙DAF=/DFA=x,则/故=NC=2x,

图3-1

VZAFS=ZC+ZFAC=60°,

.•・2x+x=60°,

：.x=20°,

：.ZC=40°.

如图3-2中，当时，设/DAF=/DFA=y,则N&?C=N6K9=2y,

图3・2

：.ZC=180°-4y,

ZAFB=A&Z.FAC=60°,

.*.180°-4尸尸60°,

・••尸40°,

AZ67=180°-160°=20°,

综上所述，ZC=40Q或20°.

22.解：(1)平面直角坐标系如图所示:

②如图，点。即为所求作.△瓦%,的周长的最小值=倔+总,

故答案为：V26+V34-

23.(1)解：如图2中，

Q

图2

：△/!况1是等边三角形，ADVBC,

:.BD=CD=%C=3,

2

'JCP^CQ,NW0=6O°,

.•.△A%是等边三角形，

■:CD1PQ,

:"PCg/DCQ=30",

.•.&=C7>tan30。=«.

故答案为：

(2)证明：如图3中，

图3

丛ABC,/PCQ都是等边三角形，

:.CA=CB,CP=CQ,4ACB=NPCQ,

：.ZACP=ABCQ,

：.^\ACP^/\BCQ（倒S）.

(3)①解：由(1)知，△ACP^XBCQ,

:.NQBD=NPAC=3Q°,

当△加0是等腰三角形时，

①若BgQD,如图3-1,则/8%=30°；

②若BQ=BD,如图3-2,则/应及=75°；

③若加=%如图3-