正方体长方体奥数讲义

长方体和正方体

长方体和正方体这部分知识，是学生首次比较系统全面地接触到的立体图形

•它是学生空间观念的形成、建立和发展的基础。首先要构建一个完整的知识体

系，对长方体、正方体的特征.，表面积和体积的意义及公式的推导有一个全面细

致的掌握。

长方体的特征：8个顶点，6个面，12条棱，相对的两个面完全相同，相对

的四条棱的长度都相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、

高，分别用字母a、b、h表示。

正方体的特征：8个顶点，6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，

正方体是特殊的长方体，棱长用字母a表示。

长方体的表面积：S=（axb+axh+bxh）x2

正方体的表面积：S=axax6=6a2

长方体的体积：V=axbxh

=Sh（S表示长方体的底面积）

正方体的体积：V=axaxa=a3

其次在掌握长方体特征、表面积、体积意义及计算方法的基础上，重点是培

养学生的空间想象能力，通过对长方体和正方体的切割、拼摆等动态变化，并且

和生活实际相结合，化"整"为"零"，使问题简单化，以利于问题的解决，同时也

可以站在整体的立场上，直接综观全局研究问题，以利于培养学生的整体思想。

例1一个长方体正好可以切割成3个完全一样的正方体，且没有剩余，三个正方

体的表面积比原来增加了32平方厘米，求原来长方体的表面积。

分析：如下图所示：这个长方体切割成三个正方体，需切割两次，每切割一

次增加2个切面，一共增加了4个切面，每个切面的面积就是32+4=8（平方厘

=112（平方厘米）

例2：把一个长方体的高减少2厘米后，就成了一个正方体，且表面积比原来减

少了40平方厘米，求原长方体的体积是多少？

分析：如上图所示，由于高减少2厘米后，就成了一个正方体，可得这个长

方体的底面是一个正方形。表面积减少了40平方厘米，实际就是图形①②③①

四个完全相等长方形面积和。每个长方形的面积就是40+4=10（平方厘米），

这些长方形的长实际就是原长方体的长和宽，那么长方体的高就是长方形的长加

2厘米的和

解：404-4=10（平方厘米）104-2=5（厘米）

5x5x（5+2）

=25x7

=175（立方厘米）

答：原长方体的体积是175立方厘米。

例3：一个长方体底面积是30平方厘米，底面周长是22厘米，高是10厘

米，求这个长方体的表面积是多少？

..........分析：如下图所

示，把组成这个长方体图（1）的六个面展开可得到图（2）

由图（2）可知，前、后、左、右四个面的面积和就是长22厘米、宽10厘

米长方形的面积。也就是底面周长与高的乘积。

解：30x2+2210

=60+20

=280（平方厘米）

答：这个长方体的表面积是280平方厘米。

例4下图是把19个棱长2厘米的正方体码起来的立体图形，其中有一些正方体

看不到，那么这个立体图形的表面积是多少？

分析：由于每个小正方体的棱长为2厘米，可以知道它每个面的面积就是4平方

厘米。从不同角度观察可以得到如下平面图形

从左右者到的平面图形从前后看到的平面图形从上下看到的平面图形

那么这个立体图形的表面积就是：

（上面+左面+前面）X2

解：2X2=4（平方厘米）

上面面积：4x（3X3）=36（平方厘米

左面面积：4x8=32（平方厘米

前前面积：4x10=40（平方厘米）

表面积：（306+32+40）x2

=108x2

=216（平方厘米）

答：这个立体图形的表面积是216平方厘米。

例5：把3个长、宽、高分别是10厘米.8厘米、3厘米的长方体拼成较大的长

方体，这个长方体的表面积最小是多少？

分析：把这3个完全一样的长方体拼成一个较大的长方体，在拼的时钱，必须把

两个完全一样的面拼和在一起，否则拼成的图形不是一个规则的立体图形。根据

题意这三个长方体拼在一起有以下三种情况。

（1）

表面积（10X8+10X3X3+8x3X3）

=242x2

=484（平方厘米）

（2）

表面积（10X3X8+10X3X3+8X3）

=354x2

=708（平方厘来）

（3）

表面积（10x8x3+10x3+8x3x3）x2

=342x2

=684（平方厘来）

通过比较可得：只有第一种拼法表面积才能最小。也就是几个完全一样的长

方体拼成一个较大的长方体要使表面积最小，应该尽可能使它们最大的面拼合。

因此在做类似题目时可以直接运用方法一求结果，其他两种只作为参考。

例6：一个长方体，如果长减少3厘米，宽和高不变，它的体积就减少48立方

厘米：如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米；如果高增

加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米，原长方体的表面积是多

少？

分析：长减少2厘米，宽和高都不变，它的体积减少48立方厘米，可求得

原长方体宽和高的积为48+3=16（平方厘米）。

若宽增加3厘米，长和高都不变，它的体积增加99立方厘米，可求得原长

方体长与高的积为99+3=33（平方厘米）。

若高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米，可以求得原

长

方体长与宽的积为352+4=88（平方厘米）。

解：原长方体的表面积为：

（48+3+93+3+52+4）X2

=（16+33+88）X2

=137X2

=274（平方厘米）

答：原长方体的表面积是274平方厘米。

例7一个长方体的长、宽、高分别是22厘米、16厘米、13厘米，现在从它的上

面尽可能大的切下一个正方体；然后再从剩余部分尽可能大的切下一个正方体；

最后，再从第二次剩余部分尽可能大的切下一个正方体。求剩下部分的体积是多

少立方厘米？

分析:本题关键在于要清楚怎样才能保证每一次切下的正方体最大。因为正

方体的棱长都相等，那么每次切下的正方体必以短的边为棱长，这样才能使切下

的正方体最大。

从上图可以看到第一次切下尽可能大的正方体棱长是13厘米。剩下的部分是由

长22-13=9米，宽16厘米，高13厘米的长方体和长13厘米，意16-13=3

厘米，高13厘米的两个长方体组成的。由于9大3,那么第二次切下的正方体

棱长应是9厘米。剩下部分是由长9厘米，宽9厘米，高13—9=4厘米的长方

体和长9厘米，宽16—9=7厘米，高12厘米的正方体组成，又因为7大于4,

那么第三次切下正方体的长是7更米。

用原长方体积减去切下的三个正方体体积就得剩余部分的体积。

解：2—13=9（厘米）

6-9=7（厘米）

22X16X13-133-93-73

=4576-2197-729--343

=1307（立方厘米）

答：剩余部分的体积是1307立方厘米

例8：将以个长9厘米、宽8厘米、高3厘米的长方体锯成若干个小正方体（耗

损不记），然后重新排成个长方体，表面积最小是多少？

分析：要使拼成的长方体表面积最小首先考虑切成的小正方体能不能拼成一个正

方体，国为当体积不变时，长、宽、高两两之差最小时，其表面积才能最小。已

知这个长方体的长、宽、高分别是9厘米8厘米、3厘米，它的体积=9X8X3

=3X3X3X2X2X2=63（立方厘米），那么我们就可以把这个长方体切成棱长1

厘米的小正方体。拼成长6厘米、宽6厘米、高6厘米的正方体，其表面积即可

求得

解：长方体体积=9x8x3=3x3x3x2x2x2=6（立方厘米）

拼成的长方体长，宽、高分别都是6厘米。

6x6x6=216（平方厘米）

答：成的长方体表面积最小是216平方厘米

例9在有甲、乙两个长方体容器，从里面量，甲容器的长是20厘米，宽10厘米,

深14厘米，乙容器长30厘米，宽20厘米，深15厘米，现在把甲容器盛满水后,

倒入乙容器里一部分，使乙容器中水的深度是甲的2倍，求这时乙容器中水的深

度。

分析：因为把甲容器中的水倒入乙容一都分，这时两个容器中的水和原来相

并没有改变。列出相应的等量关系为

现在甲容题里面的水+现在乙容器里面的水=原来甲容中的水

解：设现在甲容器中水的深度为x厘米，那么乙容器中水的深度就是2x厘米

列方程得：

20xl0x+30X20X2x=20X10X14

200x+1200x=2800

1400x=2800

x=2

2x=2x2=4（厘米）

香：这时乙容器中水的深度是4厘米。

例10:如