中考数学模拟题汇总《四边形》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《四边形》专项练习（附答案解析）

一、单选题

1.如图，四边形ABCD是正方形，E是3c的中点，连接AE与对角线8D相交于点G,连接

CG并延长，交A3于点F，连接OE交CF于点”.以下结论:①ZCDE=ZBAE；②CF_L£陀；

③AF=3E；④2CE?=CHCF.其中正确结论的个数有（）

C.3D.4

2.如图，正方期4?切的边长为4,点？在对角线加上，且/员4后=22.5°,七~，48为此则

用的长为（）

A.2B.72C.2垃D.4-272

3.如图，已知正方形4阅9的边长为12,BE=EC,将正方形边Q9沿龙折叠到〃尸，延长"

交4?于G,连接〃G,现在有如下4个结论：①侬△•；②GB=2AG；③NG〃6=45。；

72

@S^=—.在以上4个结论中，正确的有（）

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A.1B.2C.3D.4

4.如图，已知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点，PE//CD于点E,PF//BC于

点F,连接AP,EF.给出下列结论：①PD=J^EC;②四边形PECF的周长为8；③一APD一定

是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为2夜.其中正确结论的序号为（）

A.①②④⑤B.①③④⑤C.②④⑤D.②③⑤

5.如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋

转90°得到EE,连接。E,。尸给出结论：①DE=EF;②NC。尸=45。；（3）—=-；④若

DF5

正方形的边长为2,则点M在射线48上运动时，CF有最小值其中结论正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.如图，E、夕分别是正方形4如9的边6a口的中点，连接/E应交于点只过6作加〃

DE交AD干G,BG与AF交于■点、M.对于下列结论：①/凡L龙'；②G是力〃的中点；③4GBp=4

BPE；④&痣五减=1：4.正确的个数是（）

C.3个D.4个

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7.如图，在正方形加切中，点£是边比上的点，且C斤2BE,连接力反DE,分别交AC

于点P、Q,过点P作PFJ_四交W的延长线于点F,下列结论：①/AE的/EAC+/EDB=90°；

②A六FP；③4后巫力0；④若四边形。”的面积为2,则该正方形的面积为36；⑤

10

CE'EP-EQ-DE.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，四边形A8C。是边长为2的正方形，点P为线段A3上的动点，£为AQ的中点，射

线PE交8的延长线于点。，过点E作尸。的垂线交。于点〃、交8C的延长线于点则

以下结论：①？用?CHF；②DEHQ@DCHF；③当点产与点C重合时3"=PB；④当PA=PB

时，CF=2应.成立的是（）

A.①③④B.②③④C.①③D.②④

二、填空题

9.如图，已知矩形ABC。中，AB=3,BC=4,点M,N分别在边AO,3c上，沿着MN折

叠矩形ABCD,使点A,3分别落在E,尸处，且点尸在线段CO上（不与两端点重合），过

点M作于点H,连接BE.当四边形COM”为正方形时，NC=_____；＜DF=1oC,

则折叠后重叠部分的面积为_____.

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E

10.如图，将边长为1的正方形ABC。绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFC的位置，则图

中阴影部分的面积为.

11.如图，正方形切中，点反尸分别在比1,CD上,绪是等边三角形，连接力。交旗

于6,下列结论：①BE=DF,②4AEB=75°,③％=此且/月必=90°,④①'=用⑤丛鹿

8两.其中正确结论是（填序号）.

12.如图，在正方形/用力中，对角线/C与距相交于点0,£为比上一点，上5,F为DE的

中点.若△野的周长为18,则0的长为.

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13.如图，已知正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点0,AE平分NBAC交BD于点

E,则BE的长为.

14.如图，正方形初中，力6=3,点E为对角线/C上一点，EFLDE交AB于F,若四边形

如初的面积为4,则四边形//沏的周长为.

15.如图，正方形力腼的边长为1,AC,M是对角线，将△颇绕着点。顺时针旋转45°得

到△加〃，HG交AB于点、E,连接应交4C于点E连接用.则下列结论：①四边形力£6户是菱

形；②△磔的面积是1-亚；③N4尸G=135°；④BC+FG=6.其中正确的结论是.（填

2

入正确的序号）

16.如图，以Rt,.ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED,正方形对角线交于点0,

连接C0,如果AC=4,C0=6&,那么BC=.

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三、解答题

17.已知正方形ABCD,点E在AB上，点G在AD,点F在射线BC上，点H在CD上.

(1)如图1,DE±FG,求证：BF=AE+AG；

(2)如图2,DE±DF,P为EF中点，求证：BE=0PC；

(3)如图3,EH交FG于0,ZG0H=45°,若CD=4,BF=DG=1,则线段EH的长为

18.已知正方形ABCD中4c与血交于点0,点材在线段BD上,作直线4V交直线DC于点、E,

过。作血于凡设直线ZW交NC于点儿

(1)如图1,当〃在线段60上时，求证：OM=ON；

(2)如图2,当材在线段切上，连接四和，娜当EV〃物时，求证：四边形如彻/是菱形;

(3)在(2)的条件下，若正方形边长为4,求优的长.

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19.如图，在正方形力用茬中，£、厂是对角线加上两点，且尸=45°,将△4/'绕点/顺

时针旋转90°后，得到△加0,连接£0.

(1)求证：£4是NQ&?的平分线；

(2)已知班=1,DF=3,求绪的长.

20.如图1,在正方形4?切中，E为边BC上一点、(不与点反。重合)，垂直于4?的一条直线

WV分别交力6、AE、CD于点M、P、N.

图1图2图3

(1)求证］£=腑/；

(2)如图2,若垂足。恰好为/£的中点，连接加，交明¥于点0,连接国，并延长交边

于点尸.求N46F的度数；

(3)如图3,若该正方形46Q9边长为10,将正方形沿着直线版V翻折，使得比的对应边6'

C恰好经过点A,过点A作AG1.MN,垂足分别为G,若4G=6,请直接写出AC'的长.

21.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形。钻。的顶点A、C分别在y轴、x轴的

正半轴上，点0在原点.现将正方形。钻。绕点0按顺时针方向旋转，旋转角为8,当点A第

一次落在直线丁=龙上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线丁=》于点M,8C边交x轴于点

N.

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(1)若8=30。时，求点A的坐标；

(2)设的周长为P,在旋转正方形Q4BC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结

论；

22.在ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，以

AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.

(1)观察猜想

如图1,当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：；

②BC,CD,CF之间的数量关系为：.(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若

不成立，请你写出正确结论再给予证明，

(3)拓展延伸

如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=20,CD=1,

请求出GE的长.

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23.如图1,已知正方形ABCD顶点A,3分别在>轴和x轴上，边CO交x轴的正半轴于点E.

(1)若A(0,/-4a+5),且a=6+2,求A点的坐标.

(2)在(1)的条件下，若34。=4反>,。点的坐标.

(3)如图2,连结AC交x轴于点F,点”是A点上方轴上一动点，以AE,AH为边作平行

四边形AFG4,使G点恰好落在A。边上.求证：2HG2+DG2=4BFL

24.已知，四边形是正方形，点£是正方形163所在平面内一动点(不与点〃重合),

AB=AE,过点8作庞的垂线交虚所在直线于凡连接或

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D

提出问题：当点6运动时，线段）与线段龙之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点后的一个特殊位置：当点£与点6重合（如图①）时，点/与点6也重合.用

等式表示线段）与线段龙之间的数量关系：;

（2）然后考察点£的一般位置，分两种情况：

情况1：当点£是正方形453内部一点（如图②）时；

情况2：当点£是正方形/微9外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段6F与线段龙之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都

相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；

拓展问题:

（3）连接力凡用等式表示线段4KCF、〃尸三者之间的数量关系：

25.如图1,在正方形ABCD中，E,F分别是AD,CD上两点，BE交AF于点G,且DE=CF.

（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；

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(2)如图2,若AB=2,点E为AD的中点，连接GD,试证明GD是NEGF的角平分线，并求出

GD的长.

26.基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF_LCE交AB于F,垂足为点

0.求证:CE=DF.

应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG_LCE分别交AB、CD于F、G,垂

足为点0.若正方形ABCD的边长为12,DE=5,则四边形EFCG的面积为.

参考答案与解析

一、单选题

1.【答案】D

【分析】证明AABE之Z\DCE,可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD,BE=CE,

ZDCE=ZABE=90°,ZABD=ZCBD=45°，可证AABE会z^DCE,△ABGgZ\CBG,可得NBCF=/CDE,

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由余角的性质可得结论②；证明4DCE丝ACBF可得结论③，证明△CHFs/^CBF即可得结论④

正确.

【详解】解：•..四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，

.\AB=AD=BC=CD,BE=CE,ZDCE=ZABE=90°,ZABD=ZCBD=45°,

/.△ABE^ADCE(SAS)

/.ZDEC=ZAEB,ZBAE=ZCDE,DE=AE,故①正确，

VAB=BC,NABG=NCBG,BG=BG,

.,.△ABG^ACBG(SAS)

二ZBAE=ZBCF,

AZBCF=ZCDE,且NCDE+NCED=90°,

AZBCF+ZCED=90°,

/.ZCHE=90°,

/.CF±DE,故②正确，

VZCDE=ZBCF,DC=BC,NDCE=NCBF=90°,

/.△DCE^ACBF(ASA),

；.CE=BF,

VCE=-BC=-AB,

22

.\BF=^-AB,

；.AF=BF,故③正确，

VZBCF+ZBFC=90°,ZDEC=ZBFC

.\ZBCF+ZDECC=90°,

ZCHE=90°

二ZCHE=ZFBC

又NDEC=NBFC

/.△CHF^ACBF

.CHCE

BC-CF

VBC=2CE,

.…BC・CE2CE-CE

..CH=----=-----

CFCF

:.2CE2=CHCF

故选：D.

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【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直

角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

2.【答案】D

【分析】在AF上取FG=EF,连接GE,可得4EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的

性质可得EG=0EF,NEGF=45°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

可得NBAE+NAEG=NEGF,然后求出NBAE=NAEG=22.5°,根据等角对等边可得AG=EG,再根

据正方形的对角线平分一组对角求出NABD=45°,然后求出ABEF是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得BF=EF,设EF=x,最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可.

【详解】解：如图，在AF上取FG=EF,连接GE,

VEF±AB,

/.△EFG是等腰直角三角形,

.,.EG=V2EF,ZEGF=45°,

由三角形的外角性质得，ZBAE+ZAEG=ZEGF,

VZBAE=22.5°,NEGF=45°,

AZBAE=ZAEG=22.5°,

；.AG=EG,

在正方形ABCD中，ZABD=45°,

...△BEF是等腰直角三角形，

；.BF=EF,

设EF=x,；AB=AG+FG+BF,

/.4=5/2x+x+x,

解得x=4-2应

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出

等腰直角三角形并根据正方形的边长AB列出方程.

3.【答案】C

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【解析】

试题解析：由折叠可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,

AZDFG=ZA=90o,

「.△ADG四△FDG,①正确；

•.•正方形边长是12,

；.BE=EC=EF=6,

设AG=FG=x,则EG=x+6,BG=12-x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(x+6)2=6,+(12-x)?，

解得：x=4

，AG=GF=4,BG=8,BG=2AG,②正确；

BE=EF=6,aBEF是等腰三角形，易知AGED不是等腰三角形，③错误；

IEF672

SAGBE=-X6X8=24,SABEF=—SAGBE=—x24=—,④正确.

2EG105

故选C.

考点：正方形综合题.

4.【答案】A

【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中,

DP2=DF2+PF-=EC2+EC2=2EC2,求得DP=垃EC;

②根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC,则四边形PECF的周长为8；

③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；

④由PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=Eb；

⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2近.

【详解】①如图，延长FP交AB与G,连PC,延长AP交EF与H,

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AD

VPE±BC,PF±CD,ZBCD=90°,

:.四边形PECF为矩形，

；.PF=CE,

：GF〃BC,

二ZDPF=ZDBC,

•四边形ABCD是正方形，

二ZDBC=45°

.\ZDPF=ZDBC=45°,

.♦.NPDF=NDPF=45°,

；.PF=EC=DF,

ARtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

.,.DP=V2EC.

故①正确；

②•.•四边形PECF为矩形，

二四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,

故②正确；

③.点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45°,

二当NPAD=45。或67.5。或90。时，4APD是等腰三角形，

除此之外，4APD不是等腰三角形，

故③错误；

④•.•四边形PECF为矩形，

，PC=EF,

由正方形为轴对称图形，

，AP=PC,

/.AP=EF,

故④正确；

⑤BD=y/BC2+CD2="2+42=4V2，

由EF=PC,

二当PC最小时，EF最小，

贝1］当PCLBD时，即PC=；BD=gx4夜=2立时，EF的最小值等于2夜,

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故⑤正确；

综上所述，①②④⑤正确，

故选：A.

【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用.本题难度较

大，综合性较强，在解答时要认真审题.

5.【答案】B

【分析】①延长AE交DC的延长线于点H,由“AAS”可证△AME^^HCE,可得AE=EH,由直

角三角形的性质可得AE=EF=EH,即可判断；

②由四边形内角和定理可求2NADE+2NEDF=270°,可得NADF=135°,即可判断；

③由连接AC,过点E作EPLAD于点P,过点F作FN_LEP于N,交CD于G,连接CF,由梯形

中位线定理可求PE=/(AM+CD),由“AAS”可证△APEdENF,可得AP=NE=5AD,即可

DF

求AM=2DG=2X/=V^DF,即可判断；

④由垂线段最短，可得当CF_LDF时，CF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF的最小

值，即可判断.

【详解】①如图，延长AE交DC的延长线于点H,

•点E是CM的中点，

->.ME=EC,

VAB/7CD,

二ZMAE=ZH,ZAME=NHCE,

/.△AME^AHCE(AAS),

.\AE=EH,

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XVZADH=90°,

.\DE=AE=EH,

；AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,

?.AE=EF,ZAEF=90°,

?.AE=DE=EF,故①正确；

②：AE=DE=EF,

-,.ZDAE=ZADE,ZEDF=ZEFD,

,/ZAEF+ZDAE+ZADE+ZEDF+ZEFD=360°,

.\2ZADE+2ZEDF=270°,

.".ZADF=135°,

.\ZCDF=ZADF-ZADC=135°-90°=45°,故②正确;

③；EP_LAD,AM±AD,CD±AD,

，AM〃PE〃CD,

.APME

,.-------=1,

PDEC

?.AP=PD,

APE是梯形AMCD的中位线,

，PE=£(AM+CD),

VZFDC=45°,FN±CD,

.".ZDFG=ZFDC=45°,

，DG=GF,DF=V2DG,

VZAEP+ZFEN=90°,ZAEP+ZEAP=90°,

二NFEN=NEAP,

又；AE=EF,ZAPE=ZENF=90°,

/.△APE^AENF(AAS),

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/.AP=NE=—AD,

：PE=J(AM+CD)=NE+NP=；AD+NP,

AyAM=NP=DG,

DF「

...AM=2DG=2X=5/2DF,

...曾=0，故③错误；

DF

④如图，连接AC,过点E作EPLAD于点P,过点F作FN_LEP于N,交CD于G,连接CF,

VEP±AD,FN±EP,ZADC=90°,

四边形PDGN是矩形，

；.PN=DG,ZDGN=90°,

VZCDF=45°,

.•.点F在DF上运动，

.•.当CFLDF时，CF有最小值，

VCD=2,ZCDF=45°,

2「

...CF的最小值=75=血，故④正确；

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性

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质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关

键.

6.【答案】C

【分析】根据正方形性质得出AD=8C=0C；EC=DF=；BC；NADE=ZDCE,证.

DCE(SAS),推出NAED=NZ)£C,求出NOGE=90。即可判断①；证明四边形切必为平

行四边形，则可知②正确；由平行线的性质可得③正确；证明.AGMsAFD，可得出S.切：

S.°EC=1：5.则④不正确.

【详解】解：:•正方形/质，E,尸均为中点

：.AD=BC=DC,EC=DF=^BC,

:•在△/!如和△〃龙中，

AD=DC

<NADF=4DCE,

DF=CE

，△加修△〃龙(弘5),

二4AFD=/DEC,

■:/DEC+4CDE=9D°,

：.2AFm/CDE=9¥=/DGF,

:.AFIDE,故①正确，

,?BG//DE,GDIIBE,

二.四边形6®切为平行四边形，

：.GD=BE,

\'BE=~BC,

2

?.GD=gAD,

即G是初的中点,

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故②正确，

BG//DE,

：.ZGBP=ZBPE,

故③正确.

,/BG//DG,AFIDE,

:.AFLBG,

"ANG=』ADF=W,

,：ZGAM=ZFAD,

:.XAGMsXAFD,

设AG=a,则AD=2a,AF=逐)a,

.SAGM_(AG)2_£

-一AF"5-

'：/\ADF^/\DCE,

••Szot：S^BfC=1-5.

故④错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，

平行线的性质，平行四边形的判定与和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

7.【答案】B

【分析】①先根据正方形的性质证得/AOP是直角，再利用三角形的外角的性质即可判定；②

直接利用四点共圆可证NAFP=NABP=45°；③设BE=a则EC=2a,然后利用勾股定理得到AE和

0A的长，即可得出结论；④利用相似得到BP与DP的比导出BP与0P的比，同理求出0Q与QC

的比，设4BEP的面积为S,再利用同高时面积比即为底的比求出AOPE和ACQE的面积，表示

出四边形OPEQ的面积，求出S的值，再通过正方形面积是24s即可求出结果；⑤如果当E是

BC边中点时可得△FPESDCE,可得结论，因为已知中EC=2BE时，所以AFPE与aDCE不相似，

所以错误.

【详解】解：如图，连接OE、AF,

VABCD是正方形，

/.AC±BD,

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AZA0P=90°,

,?ZAED+ZEDB=ZAPO,

，ZAED+ZEAC+ZEDB=ZAPO+ZEAC=90°,

故①正确；

VPF1AE,

/.ZAPF=ZABF=90°,即A、P、B、F四点共圆，

AZAFP=ZABP=45°,

.,.ZPAF=ZPFA=45°,

；.PA=PF,

故②正确；

设BE=a,则EC=2a,则AE=Ji6a,OA=OC=OB=OD=—a,

2

4E_Ma2亚

,,AO3^23，

-----a

2

.•.AE=2叵AO,故③错误；

3

连接OE,

VCE=2BE,

ABE：EC：BC==1：2：3

VAD//BC

/.△BEP^ADAP,AEQC^ADQA,

/.BP：DP=1：3,CQ：AQ=2：3,

ABP：OP=1：1,OQ：CQ=1：4,

••设SABEP=S9则S^OPE=S,

贝ISABEO~2S,SAEC（）=4S,

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4

••SAOEQ=1S,SABCO=2S+4S-6S,

・・•四边形OPEQ的面积是2,

4

二.S^—S=2,

5

・s=3

9‘

80

/.正方形ABCD的面积=4SABCO=24S=§,

故④错误；

VBE=2EC

PEEC

二/PEBWNCED,且一丰—

PFCD

：.Z\FPE不一定与4DCE相似，

.EFPE

••9

EDEC

又：EQ#PE,

：.CE*EF^EQ•DE,

故⑤错误；

共有2个正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、

勾股定理等知识，综合性强，难度大，灵活运用所学知识解决问题是解答本题的关键.

8.【答案】C

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【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股

定理等知识，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题.

二、填空题

9.【答案】3^55

212

【分析】根据正方形的性质证明ZW/N4BCF,令HN=x，则CN=3-x,FN=BN=\+x,

求得△FGNAMHN,得到GN=二叵，再证明△MEO^NCF,得到EO=3,即可得到结

23

果；

【详解】解：♦..四边形COM”为正方形，

：.MH=HC=3,

：.BH=\,

•:/\MHN/XBCF,

.MHBC

令HN=x,则OV=3—x,FN=BN=l+x,

：.CF=4FN2-NC2=7（1+-V）2-（3-X）2,

3=_______4_______

"XJ（l+X）2_（37）2，

3

/.%i=p4=3（不符合题意，舍去），

AHN=-HC,即N为HC的中点，

2

13

:.NC=-CH=',

22

VDF^-DC,AB=CD=3,

3

第23页共61页

.£>E=1,CF=2,

BF=y/BC2+CF2=A/42+22=2石，

:.BG=GF=后,

,：/\MHNABCF,

.MHBC

''~HN~~CF'

3

HN=~,

2

:AFGNAMHN,

：.GN=旦,

2

...FN=JNG2+NF1?=J¥+（石『=|,

BH=BC-HN-NC=4-»-»=\,

22

,?/EMO=ZCNF,ZMEO=ZNCF=90°,

.,.△MEOANCF,

.ME_NC

"'~Ed~~CF'

4

：.EO=~,

3

折叠后重叠部分的面积为：

S梯形MEFN+S△2EO=3（ME+F?/）--MExEO,

第24页共61页

55

2n

355

故答案为：r透

【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关

键.

10.【答案】昱

12

【分析】过点M作于点，，利用正方形的性质和旋转的性质可证得4ADE为等边三

角形，由等腰三角形的判定可得aMDE为等腰三角形，继而求得=然后设MH=x,

则"M=2x,根据勾股定理列方程求解可得Mun",进而由三角形面积公式即可求解.

6

【详解】如图，过点M作也于点H,

•.•四边形ABCO为正方形，

,43=AD=1,NB=NBAD=ZADC=90°,

•.•正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，

?.AE-AB=\,ZBAE=3O°,ZAEE=NB=90°

.../m£=60°

/.△ADE为等边三角形，

二NA£D=NADE=60°,DE=AD=l

：.ZMED=/MDE=3QP,

：.AMDE为等腰三角形，

:.DH=EH=L

2

在Rf-MDH中，设=则DW=2x,

(2x)2=%2+J_

第25页共61页

解得：X[=°叵，x2=..—（舍去）,

,6-6

/.MH=立,

6

SAMOE=]xDExMH.

"x回=2

2612

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形判定与性质，解直角三角形，利

用等边三角形和等腰三角形的性质求出OH=E”=:,NMED=NM0£=3O。是解题的关键.

11.【答案】①②③⑤.

【分析】通过条件可以得出△45隹△/〃尸，从而得出/胡夕=/加凡BE=DF,/AEB=75°；

由正方形的性质就可以得出得垂直平分分；得比=用且N4G£=90°；设£Nx,

BE=y,由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出缈与你利用三角形的面积公式分别

表示出丛斯和28鹿，再通过比较大小就可以得出结论.

【详解】解：1•四边形力6切是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,£B=^BCD=£D=ZBAD=9Q°.

「△/I斯等边三角形，

：.AE=EF=AF,N£46=60°.

：.ZBAE+ZDAF^3Q0.

第26页共61页

在Rt△陵和Rt△/所中，

AE^AF

AB=AD'

(HD,

：.BE=DF,

所以故①正确；

V4BAE=4DAF,/胡朋N"0=30°,

：.4BAE=4DAF=15°,

：.4AEB=B,

所以②正确；

'：BC=CD,

：.BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

'：AE=AF,

二/C垂直平分打

...皮=&；且//曲=90°,

所以③正确；

设EC=x,由勾股定理，得

EF=V2x,

：.AE=EF=V2x,

：.FG=BG=CG=—x,

2

用G=30°,

%=yjAE2-EG2=与x,

第27页共61页

：.AC=AG+CG=—x^-—x,

22

AC_V3+1

：.AB=X,

V2~~T

：.BE=BC-CE=^^-x-x=J

x,

22

:.BE丰FG,

所以④错误；

5k郎=C^=/,

=yAB・BE=yX如出才・叵1x=；

22224

••SAABE=5X5矛=5S&CEF,

所以⑤正确.

综上所述，①②③⑤正确，

故答案为：①②③⑤.

【点评】本题考查正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，

等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时

关键.

7

12.【答案】|

【分析】由直角三角形的中线，求出DE的长度，利用三角形中位线定理和勾股定理，求出BE

的长度，即可求出答案.

第28页共61页

【详解】解：二•四边形ABCD是正方形，

/.ZDCE=90°,OD=OB,

VDF=FE,

；.CF=FE=FD,

VEC+EF+CF=18,EC=5,

/.EF+FC=13,

.\DE=13,

.,.DC=7E)£2-EC2=12,

.\BC=CD=12,

.\BE=BC-EC=7,

VOD=OB,DF=FE,

17

..OF=-BE=-；

22

7

故答案为：—.

【点评】本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识,

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

13.【答案】2四-2

【分析】过E作于M,根据正方形性质得出AO_LBO,AO=OB^OC=OD,由勾

股定理求出40=08=0,在RtABME中，由勾股定理得：2ME?=BE?,求出即可.

【详解】解：过后作£"_14?于M,

四边形A8CD是正方形，

:.AO±BD,AO=OB=OC=OD,

则由勾股定理得：AO2+BO2=AB2,

•"AO=OB=>/2,

EM±AB,BOIAO,AE平分NC4B,

ZOAE=ZMOE,ZAOE=ZAME=90°,

VAE=AE,

\EM=EO,AM=AO=y/2,

第29页共61页

四边形ABC。是正方形，

ZMBE=45°=ZMEB,

:.BM=ME=OE,

在RtABME中，由勾股定理得：2ME?=BE：,

即2（2_应）2=8£2,

BE=2立-2,

故答案为：2a-2.

【点评】本题考查了角平分线性质和正方形性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的

点到线段两个端点的距离相等.

14.【答案】4+2逐

【分析】连接BE,DF,过E作EN_LBF于点N,证明4DCE^aBCE和aBEF为等腰三角形，设

AF=x,用x表示DE与EF,由根据四边形ADEF的面积为4,列出x的方程求得x,进而求得四

边形ADEF的周长.

1•四边形ABCD为正方形,

第30页共61页

.♦.CB=CD,ZBCE=ZDCE=45°,

在ABEC和ADEC中，

DC=BC

<ZDCE=NBCE,

CE=CE

/.△DCE^ABCE(SAS),

.\DE=BE,ZCDE=ZCBE,

/.ZADE=ZABE,

VZDAB=90°,NDEF=90°,

/.ZADE+ZAFE=180°,

VZAFE+ZEFB=180°,

ZADE=ZEFB,

二ZABE=ZEFB,

/.EF=BE,

/.DE=EF,

设AF=x,则BF=3-x,

13~x

，FN=BN=—BF=——,

22

.,.AN=AF+FN=^^,

2

VZBAC=ZDAC=45°,ZANF=90°,

.3+x

..EN=AN=——,

二DE=EF=yjEN2+FN2='18+22

2

.四边形AFED的面积为4,

••SAADF^SADEP=4,

2

.1VQ+1V18+2XY.

..X3x+77X--------------=4,

222

\7

解得，x=-7(舍去)，或x=l,

，AF=1,DE=EF=叵二=有，

2

四边形AFED的周长为:3+1+岳石=4+2有,

第31页共61页

故答案为：4+26.

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质,

解题的关键是由面积列出x的方程，属于中考选择题中的压轴题.

15.【答案】①②③

【分析】依据四边形4瓦户为平行四边形，以及AE=GE,即可得到平行四边形力£6厂是菱形;

依据=0-1,即可得到,TIED的面积=gDHxAE=g(及一1+=1一等；依据四

边形力氏亦是菱形，可得NAFG=NGE4=2x67.5。=135。；根据四边形ZA步是菱形，可得

FG=AE=^2-l,进而得到8。+/6=1+/一1=血.

【详解】解：正方形/腼的边长为1,

：.ZBCD=ABAD=9Q°,ZCBD=45°,BD=&,AD=CD=1.

由旋转的性质可知：ZHGD=BCD=90。,NH=NCBD=45。,BD=HD,GD=CD,

:.HA=BG=O-l,NH=NEBG=45。,ZHAE=NBGE=90°,

"4七和—BGE均为直角边为血—1的等腰直角三角形，

:.AE=GE.

在Rt_AED和Rt_GED中，

DE=DE

AD=GD'

:.RtAEDmRtGED(HL),

.•.ZAED=NG£Q=g(180。—NBEG)=67.5。，AE=GE,

ZAFE=180°—ZEAF-ZAEF=180°-45°-67.5°=67.5°=ZAEF,

.\AE=AF.

.AE=GE,AFA.BD,EGA.BD,

.•.■=6£且4尸//6£,

四边形亦为平行四边形，

AE=GE,

・•.平行四边形4仇加是菱形，故①正确；

HA=y/2-\,NH=45°,

AE=y/2-l,

第32页共61页

.•gHED的面积=！£>HxAE=g（/一1+1）（夜一1）=1一也，故②正确；

四边形4叫市是菱形，

ZAFG=ZGEA=2x67.5°=135°,故③正确；

四边形4F期是菱形，

FG=AE=y/2-l,

BC+FG=l+y/2-\=y/2,故④不正确.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，

等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的

夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

16.【答案】8

【分析】通过作辅助线使得ACAO四△GBO,证明ACOG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出

CG后，即可求出BC的长.

如图，延长CB到点G,使BG=AC.

•..根据题意，四边形ABED为正方形，

/.Z4=Z5=45°,ZEBA=90°,

/.Zl+Z2=90°

又二.三角形BCA为直角三角形，AB为斜边,

.,.Z2+Z3=90°

第33页共61页

AZ1=Z3

.\Z1+Z5=Z3+Z4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<NCAO=NGBO

AO=BO

故ACAO之△GBO,

/.C0=G0=6x/2,Z7=Z6,

VZ7+Z8=90°,

.\Z6+Z8=90°,

...三角形COG为等腰直角三角形，

,CG=JU+GO2=«60+（6仞*=12,

VCG=CB+BG,

，CB=CG—BG=12—4=8,

故答案为8.

【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判

定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾

股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键.

三、解答题

17.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）生叵

3

【分析】（1）作GMLBC于M.证aDAE乡△GMF,得AE=FM,AG=BM.所以BF=AE+AG.

（2）作EQ〃CP交BC于Q.证EQ=2CP,EQ=后BE可得BE=/CP.

（3）作BM〃GF交AD于M,作BN〃EH交CD于N,得BM=GF,BF=MG=1,BN=EH,延长DC

到P,使CP=AM=2,证ABAM会aBCP得NABM=NCBP,BM=BP,再证△MBN^^PBN得MN=

4

PN,设CN=x,则MN=PN=CN+PC=x+2,DN=4-x,在RtADMN中，由DM2+DN2=MN2求得x=y,

再在ABCN中利用勾股定理求解可得.

第34页共61页

【详解】解：（1）如图1,过点G作GMJ_BC于M,

贝1JNGMB=NGMF=9O°,

...四边形ABCD是正方形，

.\AD=AB,ZA=ZB=90°,

四边形ABMG是矩形，

/.AG=BM,

VDE±GF,

.,.ZADE+ZDGF=ZADE+ZAED=90°,

?.ZAED=ZDGF,

又NDGF=NMFG,

.\ZAED=ZMFG,

.,.△DAE之△GMF(AAS),

?.AE=MF,

则BF=BM+MF=AG+AE；

(2)如图2,过点E作EQ〃PC,交BC于点Q,

图2

是EF的中点,

APC是△EQF的中位线,

第35页共61页

则EQ=2PC,QC=CF,

VZADC=ZEDF=90°,

，ZADE=ZCDF,

又•.•NA=NDCF=90°,AD=CD,

/.△ADE^ACDF(ASA),

.\AE=CF=QC,

VAB=BC,

.\BE=BQ,

则NBEQ=45°,

，EQ=&BE,

则2PC=^BE,

?.BE=V2PC；

(3)如图3所示，作BM〃GF交AD于M,作BN〃EH交CD于N,

则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，

.\BM=GF,BF=MG=1,BN=EH,

VDG=1,CD=AD=4,

，AM=2,

延长DC到P,使CP=AM=2,

VBA=BC,ZA=ZBCP=90°,

/.△BAM^ABCP(SAS),

/.ZABM=ZCBP,BM=BP,

VZG0H=45°,BN〃EH,BM〃GF,

，NMBN=45°,

第36页共61页

图3

AZABM+ZCBN=45°,

AZCBP+ZCBN=45°,即NPBN=45°,

.♦.△MBN四△PBN(SAS),

.\MN=PN,

设CN=x,则MN=PN=CN+PC=x+2,DN=4-x,

在RtZXDMN中,由DM2+DN=MN2可得2旺(4-x)2=(x+2)2,

解得x=g,

7BC2+CN2=^42+(1)2=

贝i]EH=BN=

故答案为：平

【点评】本题考查正方形背景中的线段和差，线段倍分，求线段长问题，掌握垂线的性质，平

行线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，引垂线构造全等，转化线段的相等

关系，利用平行线，构造中位线与等腰直角三角形，确定倍数关系，利用勾股定理解决线段的

长度问题.

18.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8-472.

【分析】（1）先证明：NODN=ZNAH,再证明：DONWAOM,可得结论；

（2）利用正方形的性质证明：AC±BD,NCZ）O=45。，结合：DON^.AOM,利用全等三

角形的性质证明：ZNMO=45°,可得：EDHMN,结合：ENUBD,DHrAE,从而可得结论；

第37页共61页

（3）利用正方形的性质先求解AC=4ji再利用菱形的性质可得：是〃A『的垂直平分线,

证明AN=AD=4,求解NC=4夜一4,再证明：C