2022年江苏省中考数学模拟题（二模）按题型分层分类汇编-08解答题（较难题）

2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇

编-08解答题（较难题）

一.分式方程的应用（共1小题）

I.（2021•广陵区二模）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回

来两条信息：

信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原

来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；

信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.

根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？

二.反比例函数的应用（共1小题）

2.（2022•仪征市二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的

销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0

<xW8时，T与x+4成反比；当8<xW24时，T-2与x成正比，并预测得到了如表中对

应的数据.设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的

函数关系图象：

力周824

77千套1026

（1）求T与x的函数关系式；

（2）观察图象，当12WxW24时，K与x的函数关系式为.

（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：

①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不

变的值；若不存在，请说明理由.

②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销

售的周利润总额的范围是286WyW504,求在此范围内对应的周销售量7的最小值和最大

值.

3.(2022•姜堰区二模)［定义］平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行

于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数

的“伴随矩形”.

例如，图1中，矩形ABCO的边AO〃2C〃x轴，4B〃C£>〃y轴，且顶点A、C在反比例

函数y=K*W0)的图象上，则矩形ABC。是反比例函数)的''伴随矩形

XX

［解决问题］

(1)已知，矩形48co中，点A、C的坐标分别为：①4(-3,8),C(6,-4)；②4

(1,2),C(2,3)；③A(3,4),C(2,6),其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”

的是;(填序号)

(2)如图1,已知点B(2,3)是反比例函数丫=旦的“伴随矩形"A8CD的顶点，求

2x

直线的函数解析式；

(3)若反比例函数的“伴随矩形"ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线

一定经过原点.

4.(2022•灌南县二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,4)作y轴垂线交反

比例函数y=K(%>0)图象于点艮在48延长线上取点C,连接0C,交反比例函数y

X

=K(x>0)图象于点£),连接02,S^ABO—6.

x

(1)求火的值；

(2)在x轴正半轴上取点E,当。。平分/B0E时，求点。的坐标.

5.(2022•丰县二模)如图①，抛物线y=-工？+2]+〃SW0)与x轴交于A、B两点(点A

2

在点B的右侧)，与y轴交于点C,连接AC、BC,tanZCBO=3.

(1)求匕的值;

(2)如图②，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线I,交

线段AC于点D.抛物线的对称轴与直线/交于点与直线AC交于点M当点。在对

称轴的右侧，且&DMN=S^AOC时，请求出点。的坐标.

五.二次函数综合题(共11小题)

6.(2022•宜兴市二模)如图，抛物线ynaf+bx+cQ为常数，且a<0)与x轴相交于A(-

1,0),B(3,0)两点，与y轴相交于点C,顶点为Q,直线3。与)，轴相交于点E.

(1)求证OC=2OE；

2

(2)M为线段08上一点，N为线段8E上一点，当时，求的周长的最

2

小值；

(3)若。为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC

的面积取得最大值.请判断小林猜想是否正确，并说理由.

7.(2022•姜堰区二模)设一次函数yi=2x+m+〃和二次函数>2=x(2x+m)+n.

(1)求证：力，”的图象必有交点；

(2)若〃?>0,yi，)2的图象交于点4(xi,a)、B(必b),其中xi〈X2，设C(孙b)

为”图象上一点，且X3—X2，求X3-X1的值；

(3)在(2)的条件下，如果存在点。(xi+2,c)在”的图象上，且a>c,求相的取

值范围.

8.(2022•武进区二模)如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线产aAfoc+c交x轴于A,B两

点，交y轴于点C(0,-5).

(1)求小b的值；

(2)已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y=o?+6x+c的另一公共点是点R

①抛物线上是否存在点P,满足AM：MP=2：1,如果存在，求出点P的横坐标；如果

不存在，请说明理由；

②连接AC,当直线AM与直线8c的夹角等于/ACB的2倍时，请直接写出点M的坐

标.

与x轴交于点A(3,0),8(点3在点A左侧)，与y轴交于点C,点。与点C关于x

轴对称，作直线AD

(1)填空：b=；

(2)将△AOC平移到△EFG(点E,F,G依次与A,O,C对应)，若点E落在抛物线

上且点G落在直线AO上，求点E的坐标；

(3)设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H,交AC于点T.若

NCPT+ND4c=180°,求与△CPT的面积之比.

备用图

10.(2022•灌南县二模)如图，抛物线经过点4(1,0),B(3,0)两点，与

y轴交于点C,其顶点为M,连接MA,MC,AC,过点C作y轴的垂线/.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)直线/上是否存在点N,使得SAMBN=2SAAMC?若存在，求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由.

(3)如图2,若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°,求新抛物线与y轴交点P坐标.

11.(2022•惠山区校级二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/+6x+c与y轴

交于点C,与x轴交于A、B两点，直线y=x+3恰好经过8、C两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点。是抛物线上一动点，连接。B、DC.若△BCD的面积为6,求点。的坐标；

(3)设E是抛物线上的一个动点，连结AE,若NBAE=2NACB,求点E的坐

12.(2022•宿城区二模)如图1,二次函数尸以2-3以+力(a、》为参数，其中。＜0)的图

象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,顶点为D

(1)若6=-10a,求tan/CBA的值(结果用含a的式子表示);

(2)若△ABC是等腰三角形，直线AO与y轴交于点P,且AP：DP=2：3.求抛物线

的解析式；

(3)如图2,己知&=-4a,E、尸分别是CA和CB上的动点，且若以EF

5

为直径的圆经过点C,并交x轴于M、N两点，求MN的最大值.

13.(2022•镇江二模)我们定义：两个二次项系数之和为1,对称轴相同，且图象与y轴交

点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y^2x2+4x-5的友好同轴二次函数

为y=-x2-2x-5,

(1)请你分别写出尸-工乂2,尸工x?+x-5的友好同轴二次函数；

33

(2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好

同轴二次函数是它本身？

(3)如图，二次函数Li：与其友好同轴二次函数上都与y轴交于点A,

点8、C分别在上上，点8,C的横坐标均为(0＜根＜2),它们关于心的对称轴

的对称点分别为B',C,连接BB',B'C',CC,CB.

①若a=3,且四边形8*CC为正方形，求小的值；

②若机=1,且四边形88'CC的邻边之比为1：2,直接写出a的值.

14.(2022•海陵区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x-m)(x-ri')Ca＜Q,

相<〃）与x轴交于A、8（点A在点8的左边），与y轴相交于点C.直线y=/z与抛物线

相交于P（xi，"）、Q（刈，”）两点（P、Q不重合），与直线8c交于点N（不，”）.

（1）若a--1,m—\,n—3,

①求线段AB的长；

②当〃<1时，证明：X1+X2的值不会随着人的变化而变化；

（2）若点A在直线BC的上方，

①求〃?的取值范围；

②令h=m2,一定存在一个a的值，对于任何符合（?>0）的nn均可以使得澳+股

m

-X3恒为定值，求。的值以及f的取值范围.

15.（2022•建湖县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=;?+灰+。与y轴交于

点C,与x轴交于A、B两点，直线y=x+4恰好经过B、C两点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D为第三象限抛物线上一点，连接BD,过点。作OELBD,垂足为E,若OE

=2BE,求点。的坐标；

（3）设厂是抛物线上的一个动点，连结AC、AF,若NBAF=2NACB,求点尸的坐标.

备用图

16.（2022•广陵区二模）已知二次函数y=-,病--4/"+4（/«为常数，且机>0）.

（1）求二次函数的顶点坐标；

（2）设该二次函数图象上两点A（a,%）、B（a+2,犯），点4和点B间（含点A,B）

的图象上有一点C,将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h.

①当m=\时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；

②若存在点A和点B使得〃的值是4,则加的取值范围是

六.线段垂直平分线的性质（共1小题）

17.（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AH±BC,垂足为“，且BH=CH,E为

B4延长线上一点，过点E作EFLBC,分别交8C,AC于凡M.

（1）求证/B=/C；

（2）若AB=5,AH=3,AE=2,求MF的长.

18.（2022•仪征市二模）在△ABC中，NA、NB、NC所对的边记为〃、b、c.

（1）如图1,若NC=2NB,

①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D,使得AACD的周长为什c（请保留作

图的相关痕迹）；

②试求证：。2-庐=出

（2）如图2,若/ABD=2NACE,试求证：c2-b2=ac.

19.（2022•武进区二模）在平面直角坐标系xOy中，点。是坐标原点，点4的坐标为（0,

6）,点8的坐标为（-8,0）,点C的坐标为（8,0）.点尸、点”分别为A8和OC上

的动点，点尸从点8出发，沿BA方向以每秒1个单位匀速运动：同时，点H从点C出

发，沿CO方向以每秒1个单位匀速运动.过点〃作与AC交于点E,点尸为

点E关于x轴的对称点，当点”停止运动时，点P也停止运动，连接PE,PF,CF,设

运动时间为/（.V）（0</<8）解答下列问题：

（1）连接OE、OF,若OE〃FC,则/=；

（2）设△PFE的面积为S,求S与f之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻/,使&PFE：5AABC=5：12?若存在，求出，的值，并求出此时

P,E两点间的距离；若不存在，请说明理由.

从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：

某荒岛上有一株橡树A和一株松树B,还有一座木桩P,从木桩P走到橡树A,记住所

走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C.从木桩P

再朝松树8走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也

打个桩，记为D桩C,。的正当中就是宝藏的位置。.

根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹

也看不出了.他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归.

聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？

不妨任取一个位置作为P,根据材料画出如图.

（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面

直角坐标系.不妨设点B的坐标为（10,0）.

①若P的坐标为（6,10）,则Q的坐标为；

②若P的坐标为（-4,8）,则Q的坐标为；

（2）猜想当P在不同位置时，。的位置是否随之变化.

（3）写出证明（2）中猜想的思路.

（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为，可使（2）中的猜想仍然成立.

p

八.四边形综合题(共6小题)

21.(2022•宜兴市二模)如图，矩形ABCQ中，AB=2M，8c=6,点。是中点，点E

从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每

秒2个单位长度的速度沿射线OC匀速运动.E,尸两点同时出发，运动时间为f秒(0

(2)若f=2,求△EFG和矩形ABCO重叠部分的周长；

(3)在整个运动过程中，设△EFG和矩形A8C。重叠部分的面积为S,试求出S与，之

间的函数表达式.

22.(2022•武进区二模)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的

夹边称为邻余线.

(1)如图/,在△ABC中，AB=AC,AQ是△ABC的角平分线，E,F分别是BD,AD

上的点.求证：四边形A8EF是邻余四边形；

(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,8在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形

ABEF,使A8是邻余线，E,尸在格点上；

(3)如图3,已知四边形ABCZ)是以AB为邻余线的邻余四边形，45=15,AD=6,BC

=3,NA£>C=135°,求C£>的长度.

23.(2022•宿城区二模)【问题情境】

(1)如图1,在正方形4BCC中，E,F,G分别是BC,AB,C£>上的点，FG_LAE于点

Q.求证：AE=FG.

【尝试应用】

(2)如图2,正方形网格中，点A,B,C,。为格点，AB交于点。求tan/AOC

的值;

【拓展提升】

(3)如图3,点尸是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCQ

与正方形P8EF,连接OE分别交线段BC,PC于点M,N.

①求/OMC的度数;

②连接AC交DE于点H,直接写出】其的值.

BC

图3

正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一个动点，连接

BE,将△ABE沿直线BE翻折得到△尸BE.

(1)如图1,若点尸落在对角线上，则线段OE与AE的数量关系是；

(2)若点尸落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△F8E(不写作

法，保留作图痕迹).连接。尸，则NE£>F=°；

(3)如图3,连接CF,DF,若NCFD=90°,求AE的长.

图3

25.(2022•广陵区二模)如图，在平面直角坐标系X。)，中，四边形0A8C为矩形，A(0,6),

C(8,0).

(1)如图1,。是OC的中点，将△A。。沿AO翻折后得到△人£»,AE的延长线交BC

于E

①试判断线段E尸与C尸的数量关系，并说明理由;

②求点F的坐标;

(2)如图2,点M、N分别是线段AB、08上的动点，ON=2MB,如果以M、N、B三

点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点(M、N、B三点不在同一条直线上)，求点M

的坐标.

26.(2022•姜堰区二模)如图，正方形ABC£＞中，E为8C边上一点，BF1.AETF,DG1

4E于G,，为线段OG上一点，连接“尸.AB=5,GH=nDG,AG=mAF.

(1)求证：△ABF丝△D4G；

(2)若Z)G=a,①请用含人根、〃的代数式表示H卢；②当〃?、〃满足怎样的数量关系

时，HF的长为定值，并求出这个值;

(3)在“尸为定值的条件下，是否存在相，使得tanNG”F=返，若存在，求出，〃的

12

值，若不存在，试说明理由.

A

BEC

九.直线与圆的位置关系(共1小题)

27.(2022•鼓楼区校级二模)点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x

轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”.例如：下图中的

P(1,3)是“垂距点

(1)在点4(2,2),B(X-旦)，C(-1,5)中，是“垂距点”的点为；

22

(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；

(3)OT的圆心T的坐标为(1,0),半径为r.若OT上存在“垂距点”，则厂的取值范

一十.切线的性质(共1小题)

28.(2022•广陵区二模)己知：如图，在△ABC中，AB=BC,。是AC中点，点。是A8

上一点，过点B且与4c相切于点E,交80于点G,交AB于点F.

(1)求证：BE平分NABC；

(2)当BD=2,sinC=』时，，求。。的半径.

2

C

/

G

AOB

一H圆的综合题(共4小题)

29.(2022•广陵区校级二模)(1)【尝试探究】已知RtAABC中，NACB=90°,点。是

A8的中点，作/POQ=90°,分别交AC、BC于点P、Q,连接PQ.

①如图1,若AC=8C,试探索线段AP、BQ、尸。之间的数量关系；

②如图2,试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；

(2)【解决问题】如图3,已知RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点。是4B

的中点，过C、。两点的圆分别交边AC、BC于点P、Q,连接P。，求aPCQ面积的最

大值.

30.(2022•江都区二模)如图，己知NMON=90°,是NMON的平分线，A是射线OM

上一点,OA=8cm.动点P从点A出发，以Itro/s的速度沿A。水平向左做匀速运动，

与此同时，动点Q从点O出发，也以Icvn/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动.连接PQ,

交OT于点艮经过O,P,。三点作圆，交07于点C,连接PC,QC.设运动时间为f

(s),其中0Vf<8.

(1)求。P+OQ的值；

(2)是否存在实数f,使得线段OB的长度最大？若存在，求出f的值；若不存在，说明

理由.

(3)在点P,。运动过程中(0<z<8),四边形OPCQ的面积是否变化.如果面积变化，

请说出四边形OPCQ面积变化的趋势；如果四边形OPCQ面积不变化，请求出它的面积.

N'T

31.（2022•镇江二模）如图，AB为半。。的直径，尸点从B点开始沿着半圆逆时针运动到

A点，在运动中，作JSPCLAC,已知A8=10.

（1）当尸点不与A,B点重合时，求证：CP为。0切线；

（2）当尸8=6时，AC与。。交于。点，求的长；

（3）P点在运动过程中，当用与AC的差最大时，直接写出此时施的弧长.

32.（2022•秦淮区二模）【概念认识】

与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆；与

矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第H类圆.

【初步理解】

（1）如图①〜③，四边形ABCC是矩形，。。1和。。2都与边A。相切，。。2与边AB

相切，和。03都经过点B,。03经过点。，3个圆都经过点C在这3个圆中，是

矩形ABCZ）的第I类圆的是,是矩形ABCZ）的第H类圆的是.

【计算求解】

（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第I类圆和第H类圆的

半径长.

【深入研究】

（3）如图④，已知矩形ABCD,用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，并写出必要的文

字说明）

①作它的1个第I类圆;

②作它的1个第H类圆.

一十二.翻折变换（折叠问题）（共1小题）

33.（2022•广陵区二模）将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点

。落到。处，折痕为EF.

（1）求证：△ABE丝△47F；

（2）连接C凡判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.

一十三.几何变换综合题（共2小题）

34.（2022•丰县二模）如图①，等边三角形纸片ABC中，48=12,点。在BC上，8=4,

过点£＞折叠该纸片，得点C和折痕QE（点E不与点A、C重合）.

（1）当点。落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC//AB-.

（2）设△ABC的面积为S,S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，

请说明理由；

（3）当B,C,E三点共线时，EC的长为

AAA

DCDC

（备用图）

35.（2022•灌南县二模）在△ABC中，AB=AC,NB4C=90°,点M,N分别是AC,BC

的中点，点尸是直线MN上一点，连接4P,将线段附绕点P顺时针旋转90°得到线段

PQ，连接A。，CQ.

【问题发现】（1）如图（1）,当点P与点“重合时，线段CQ与PN的数量关系是,

ZACQ=.

【探究证明】（2）当点P在射线MN上运动时（不与点N重合），（1）中结论是否一定

成立？请利用图（2）中的情形给出证明.

（3）连接PC,当△PCQ是等边三角形时，请直接写出的岖的值.

2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇

编.07解答题（较难题）

参考答案与试题解析

分式方程的应用（共1小题）

1.（2021•广陵区二模）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回

来两条信息：

信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原

来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；

信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.

根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？

【解答】解：设原来报名参加的学生有x人，

依题意，得磔-侬=4,

x2x

解这个方程，得x=20.

经检验，x=20是原方程的解且符合题意.

答：现在报名参加的学生有40人.

二.反比例函数的应用（共1小题）

2.（2022•仪征市二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的

销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0

<xW8时，T与x+4成反比；当8<启24时，T-2与x成正比，并预测得到了如表中对

应的数据.设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的

函数关系图象：

力周824

77千套1026

（1）求T与x的函数关系式；

（2）观察图象，当12WxW24时，K与x的函数关系式为K=-x+44

（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：

①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不

变的值；若不存在，请说明理由.

②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销

售的周利润总额的范围是286WyW504,求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大

值.

【解答】解：(1)当0<xW8时，设7=4-(相/0),

x+4

根据表格中的数据，当x=8时，7=10,

二10=」L,

8+4

解得：，“=120,

...当8<xW24时,设7-2=nr(〃¥0),

根据表格中的数据，当x=24时，T=26,

.♦.26-2=24”，

解得：〃=1,

：.T-2=x,

综上所述T与x的函数关系式为:

120()

：.\x+40<x<8

x+2(8<x<24)

(2)当12Wx<24时，设K与x的函数关系式为K=&+4

将x=12,K=32；x=24,K=20代入得:

[12k+b=32(

124+b=20'

解得：。=T

lb=44

...当12WxW24时，K与x的函数关系式为K=-x+44,

故答案为：K=-x+44；

(3)①存在，不变的值为240,

由函数图像得：当0<xW12时，设K与x的函数关系式为K=Zix+",

将x=0,K=8；x=12,K=32代入得：

b=8

，

<12k1+b1=32

fk<=2

解得：，

b［=8

，当0<xW12时，K与x的函数关系式为K=2x+8,

.•.当0<xW8时，y=KT=(2x+8)-2°..=240；

x+4

当8cxW12时，y=KT=(2x+8)(x+2)=2?+12x+16；

当12VxW24时，y=KT=(x+2)(-x+44)=-/+42x+88,

综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况,这个不变值为240.

②当8cxW12时，y=2?+12x+16=2(x+3)2-2,抛物线的对称轴为x=-3,

(I)当8<xW12时，在对称轴右侧y随x的增大而增大，

当2(x+3)2-2=286时，

解得：Xi—9,X2—~15(舍去)；

当x=12时，y取最大值，最大值为448,满足286WyW504；

当x=9时，周销售量T的最小值为11；当x=12时，T取最大值14；

(H)当12cxW24时，y=-7+42%+88=-(%-21)2+529,抛物线的对称轴为x=21,

当x=12时，y取最小值，最小值为448,满足286WyW504；

当-(x-21)2+529=504时,

解得：xi=16,X2=26(舍去)；

当x=12时，周销售量T取最小值为14；当x=16时，T取最大值18；

综上所述，当周利润总额的范围是2860W5O4时，对应周销售量T的最小值是11千套,

最大值是18千套.

三.反比例函数综合题(共2小题)

3.(2022•姜堰区二模)［定义］平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行

于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数

的“伴随矩形”.

例如，图1中，矩形ABC。的边AD〃BC〃x轴，AB//CD//y^,且顶点A、C在反比例

函数)，=K(2。)的图象上，则矩形ABCD是反比例函数y=K的“伴随矩形”.

xx

［解决问题］

(1)已知，矩形ABCZ)中，点4、C的坐标分别为：①A(-3,8),C(6,-4)；②A

(1,2),C(2,3)；③4(3,4),C(2,6),其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”

的是①③；(填序号)

(2)如图1,己知点B(2,3)是反比例函数y=2的“伴随矩形"A8C。的顶点，求

2x

直线8。的函数解析式；

(3)若反比例函数的“伴随矩形"ABC。如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线

一定经过原点.

【解答】(1)解：①(-3,8),C(6,-4),

-3X8=-24,6X(-4)=-24,

...4、C满足同一个反比例函数，

②(I,2),C(2,3),

；.1X2=2,2X3=6,

.♦.A、C不满足同一个反比例函数，

③(3,4),C(2,6),

；.3X4=12,2X6=12,

.♦•4、C满足同一个反比例函数，

可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，

故答案为：①③;

(2)W：VB(2,旦)的反比例函数了=旦的“伴随矩形"ABC。的顶点,

2x

AA(2,3),C(4,旦)，

2

：.D(4,3),

设直线BD的解析式为y=kx+b,

3=4k+b

则I3

y=2k+b

:3

b=0

•,«y=­x5

4

(3)证明：•・•?!、C在反比例函数y=K上，

X

设A(m,区)，C(〃，区)，则BCm,—),D(n,—

mnnm

设直线BD的解析式为=cx+d,

Ln+d

m

则《

—=cm+d

n

k

c=—

im，

d=0

即Js-x,

run.

直线BQ过原点.

4.(2022•灌南县二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,4)作y轴垂线交反

比例函数y=X(2>0)图象于点艮在A3延长线上取点C,连接。C,交反比例函数y

x

=K(x>0)图象于点O,连接05,SAABO=6.

x

(1)求Z的值；

(2)在x轴正半轴上取点E,当O。平分N30E时，求点。的坐标.

【解答】解：(1)'：S^ABO=6,A3_Ly轴，

AZ：=6,

2

"=12；

(2)由(1)知，左=12,

...反比例函数的解析式为尸卫①，

x

•.♦48，)，轴，A(0,4),

：.B(3,4),

在RtZ\A8O中，AB=3,0A=4,

AOB=7OA2+AB2=5

•・・OO平分NOBE,

:・/BOC=/COE,

・・・A3，)，轴，

・・・A3〃x轴，

：.ZCOE=ZC,

・・・NBOC=NC,

:.OB=BC=5,

：.C(8,4),

设直线CD的解析式为＞=〃?/,

将(8,4)代入中，得4=8如

*"•rn~=—.

2

直线C。的解析式为y=L②，

2

联立①②解得，x=±2企，

；点。在第一象限内，

：.D（2心娓）.

四.抛物线与x轴的交点（共1小题）

5.（2022•丰县二模）如图①，抛物线>=-工？+2A■+/,（匕4。）与x轴交于A、B两点（点A

2

在点B的右侧），与y轴交于点C,连接4C、BC,tanZCB0=3.

（1）求人的值；

（2）如图②，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点尸作8c的平行线/,交

线段AC于点。.抛物线的对称轴与直线/交于点M,与直线4c交于点M当点。在对

称轴的右侧，且SAO”N=SAAOC时,，请求出点。的坐标.

①②

【解答】解：（1）令x=0,则y=8,

：.C（0,b）.

由题意：b>0,

：.OC=b.

在RtZJSOC中，

：tan/C8O=Q£=3,

OB

：.OB=lb,

3

：.B（-工，0）.

3

-4-X（1b）2+2X9+b=0,

LtOo

解得：6=6或人=0（不合题意，舍去）,

***/?=6；

(2),:b=6,

，抛物线的解析式为y=-2K+2X+6,C(0,6).

2

；.OC=6.

令y=0,则--kr+2x+6=0.

2

解得：x=-2或6,

r.B(-2,0),A(6,0),

.".OA=6,08=2.

设直线AC的解析式为y=ax+c,

.[6a+c=0

Ic=6

解得：卜二T,

1c=6

直线AC的解析式为y=-x+6.

设直线BC的解析式为y=kx+n.

.f-2k+n=0

\n=6

解得：4=3,

In=6

直线BC的解析式为y=3x+6,

•点O为直线AC上一点，

...设£)(m,-〃?+6),其中0<m<6,

二•直线1//BC,

二设直线/的解析式为y=3x+d,

:点。在直线/上，

-m+6=3m+d,

d--4m+6.

直线I的解析式为y=3x-4/n+6.

y=

...抛物线的对称轴为直线x=2,

当x=2时，y=3X2-4m+6=12--4m,

：.M(2,12-4/n).

当x=2时，y=-2+6=4,

：.N(2,4).

•.•点。在对称轴的右侧，

点N在点M的上方，

：.MN=4-(12-4w)=4/«-8.

":SADMN=SMOC，

.•」(4w-8)(/n-2)=AX6X6,

22

'.nr-4m-5=0.

解得：加=5或-1(负数不合题意，舍去)，

••m=5,

/.-7/7+6=1,

：.D(5,1).

五.二次函数综合题(共11小题)

6.(2022•宜兴市二模)如图，抛物线〉=0?+法+°(4为常数，且〃<0)与x轴相交于A(-

1,0),B(3,0)两点，与y轴相交于点C,顶点为。，直线8。与y轴相交于点£

(1)求证OC=2OE；

2

(2)M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当“=」时，求△CMN的周长的最

2

小值；

(3)若0为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点。与点D重合时，四边形ABQC

的面积取得最大值.请判断小林猜想是否正确，并说理由.

【解答】(1)证明：•••抛物线y=/+6x+c(。为常数，且〃<0)与x轴相交于A(-1,

0),B(3,0)两点，

.(a-b+c=O

19a+3b+c=0

解得(b=-2a,

Ic=~3a

2

/.抛物线为y=G?-lax-3a=a(x-1)-4af

：.C(0,-3〃)，D(1,-4〃)，

设直线8。的解析式为y=hx+"，把8、。两点的坐标分别代入得:

3k1+bi=0(ki=2a

,11，解得1,

k[+b]=-4abp-Ga

直线3。为y=2ax-6m

：.E(0,-6a),

OC=3ci9OE=6a,

：.OC=1.OE-,

2

(2)解：当a=-工时，抛物线为y=-工2+x+3,作点C关于BE的对称点C',关

222

于x轴的对称点C",连接C'C",与08交为M,与BE交点、为N,此时△CMN的周

长最小，连接C'E,如图所示：

•：OB=3,

：.OB=OE=3,

VZBO£,=90°,

：.NOEB=NOBE=45°,

'：CC'A.BE,

：.ZCEB=ZECC'=45°,

垂直平分CC',

：.CE=C'E=3-旦=2.CN=CN,

22

：.ZCEB=ZCEB=45°,

/.ZCEC'=90°,

；.CEJ_y轴，

.•.点C，(A,3),

2

:c关于x轴的对称点c”为(o,-3),

2

：.CM=C"M,

...△CMN周长的最小值为:

23VW_.

CM+CN+MN^C"M+CN+MN=C'C"=--,

2

(3)解：小林猜想不正确，理由如下:

过。作QKLx轴，交BC于点、K,

•:B(3,0),C(0,-3a),

/.直线BC为y=ax-3a,

设点。的横坐标为x,则。(x,or2-2ax-3a),K(x,or-3a),

QK=ax-2ax-3a-Cax-3a)=ax-3ax,

AS四边形ABQC=SZ\4BTSZJ?QC=LX4X(-3。)+—(ox2-3ar)义3=冤(x-—)2-23^.

22228

-6。，

Va<0,

・・・当点Q的横坐标为X=3时，S四边形48QC有最大值,

2

・・,点。的横坐标是1,

・・・四边形A3QC的面积取得最大值时，点。与点。不重合，小林猜想不正确.

7.(2022•姜堰区二模)设一次函数yi=2%+团+〃和二次函数”=x(2x+/n)+〃.

(1)求证：yi，”的图象必有交点；

(2)若加>0,yi，”的图象交于点A(xi,a)、B(刈，b),其中xi〈X2，设C(灼，b)

为”图象上一点，且X3#X2，求13-xi的值；

(3)在(2)的条件下，如果存在点。(xi+2,c)在”的图象上，且。〉c,求机的取

值范围.

【解答】(