计算机专业概率论与数理统计

计算机专业概率论与数理统计汇报人：AA2024-01-19目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念与方法方差分析与回归分析应用举例计算机专业中概率论与数理统计实践应用探讨CONTENTS01概率论基本概念CHAPTER不可能事件空集∅，不包含任何样本点的事件。必然事件包含样本空间中所有样本点的事件，即S本身。基本事件只包含一个样本点的事件。样本空间所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合，常用大写字母A、B等表示。样本空间与事件概率定义事件A发生的可能性大小的度量，记为P(A)。非负性对于任何事件A，有P(A)≥0。规范性对于必然事件S，有P(S)=1。可加性对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率定义及性质条件概率与独立性条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。独立性如果事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B相互独立。如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对于任何一个事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。在全概率公式的假设下，有P(Bi|A)=[P(Bi)P(A|Bi)]/∑[P(Bj)P(A|Bj)]，其中i,j=1,2,...,n。全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式全概率公式02随机变量及其分布CHAPTER定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。分类随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值则是充满一个区间。随机变量定义及分类离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。分布律定义二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型随机变量分布非负性、规范性（所有取值的概率之和为1）。分布律性质离散型随机变量分布律常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。概率密度函数性质非负性、规范性（在整个实数轴上的积分为1）。概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，其在某区间内的积分值表示随机变量落在该区间内的概率。连续型随机变量概率密度函数离散型随机变量函数的分布：通过分布律的变换求得。连续型随机变量函数的分布：通过概率密度函数的变换求得，需要注意变换后的概率密度函数可能需要进行归一化处理。随机变量函数的定义：设X是一个随机变量，g(X)是X的函数，那么g(X)也是一个随机变量，其分布称为随机变量函数的分布。随机变量函数的分布03多维随机变量及其分布CHAPTER描述两个随机变量同时取值的概率，通过二维表格或三维图形表示。联合分布律对于连续型随机变量，通过联合密度函数描述其分布情况，表示两个随机变量在某一区域内取值的概率大小。联合密度函数二维随机变量联合分布律/密度函数边缘分布律由联合分布律推导而来，表示一个随机变量取值的概率，与另一个随机变量的取值无关。边缘密度函数对于连续型随机变量，通过边缘密度函数描述一个随机变量的分布情况，与另一个随机变量的取值无关。边缘分布律/密度函数VS在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量取值的概率分布情况。条件密度函数对于连续型随机变量，在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的条件密度函数描述其分布情况。条件分布律条件分布律/密度函数多维随机变量函数的分布描述多维随机变量经过某种函数变换后的分布情况，包括和、差、积、商等运算以及更复杂的函数变换。多维随机变量函数的分布多维随机变量经过函数变换后，其分布性质可能会发生变化，如均值、方差、协方差等统计特征。变换后的分布性质04数理统计基本概念与方法CHAPTER03样本容量样本中包含的个体数目。01总体研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。02样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。总体与样本概念介绍样本的函数，用于描述样本的特征。常见的统计量有样本均值、样本方差、样本标准差、样本矩等。包括无偏性、有效性、一致性等。无偏性指统计量的期望值等于总体参数的真值；有效性指无偏的统计量中，方差最小的最有效；一致性指随着样本容量的增加，统计量的值逐渐接近总体参数的真值。统计量统计量的性质统计量及其性质点估计用样本统计量的某个值来估计总体参数的方法。常见的点估计方法有矩估计法、最大似然估计法等。区间估计在点估计的基础上，给出总体参数的一个置信区间，以区间形式表达估计结果的方法。置信区间由置信水平和样本统计量确定。参数估计方法（点估计、区间估计）假设检验原理：先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设是否成立。如果样本信息与假设矛盾，则拒绝假设；否则，接受假设。假设检验步骤1.提出原假设和备择假设；2.选择适当的检验统计量，并确定拒绝域；3.根据样本观测值计算检验统计量的值；4.判断检验统计量的值是否落入拒绝域，若落入则拒绝原假设，否则接受原假设。假设检验原理及步骤05方差分析与回归分析应用举例CHAPTER方差分析原理计算检验统计量确定显著性水平作出决策构造检验统计量建立假设方差分析是一种通过比较不同组别数据的方差来推断各组均值是否存在显著差异的统计方法。它基于总体方差可以分解为组内方差和组间方差的假设，通过比较组间方差与组内方差的大小来判断不同组别之间的差异是否显著。提出原假设和备择假设，原假设通常为各组均值相等。根据数据特征选择合适的检验统计量，如F统计量。利用样本数据计算检验统计量的值。选择合适的显著性水平，如0.05或0.01。将计算得到的检验统计量与临界值进行比较，若检验统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为各组均值存在显著差异。方差分析原理及步骤回归分析原理参数估计模型检验模型应用建立回归模型确定自变量和因变量回归分析是一种研究自变量与因变量之间关系的统计方法。它通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的依赖关系，并利用样本数据对模型参数进行估计，从而实现对因变量的预测和控制。根据研究目的选择合适的自变量和因变量。根据自变量和因变量的关系，选择合适的回归模型，如线性回归模型、非线性回归模型等。利用样本数据对回归模型的参数进行估计，常用的方法有最小二乘法等。对建立的回归模型进行检验，包括模型的拟合优度检验、参数的显著性检验等。利用通过检验的回归模型对因变量进行预测和控制。回归分析原理及步骤方差分析应用案例在计算机专业中，方差分析可用于比较不同算法或不同参数设置下算法性能的差异。例如，在机器学习领域，可以比较不同学习算法在相同数据集上的准确率、召回率等指标的差异，以确定哪种算法更适合特定任务。要点一要点二回归分析应用案例回归分析在计算机专业中有广泛的应用，如预测模型、控制系统等。例如，在网络安全领域，可以利用回归分析建立网络攻击次数与防御措施投入之间的模型，以预测未来可能出现的攻击次数并制定相应的防御策略。又如，在软件工程中，可以利用回归分析建立软件质量与开发成本之间的模型，以优化软件开发过程并降低成本。计算机专业中方差分析和回归分析应用案例06计算机专业中概率论与数理统计实践应用探讨CHAPTER随机算法设计利用概率论中的随机性原理，设计高效的随机算法，如快速排序、随机森林等。概率图模型将概率论与图论相结合，构建概率图模型，用于表示和处理不确定性问题，如贝叶斯网络、马尔可夫随机场等。蒙特卡罗方法通过随机采样和统计模拟，求解复杂数学问题的近似解，如积分计算、优化问题等。在算法设计和优化中应用概率论思想123利用数理统计方法对数据进行分布拟合和参数估计，为机器学习模型提供数据预处理和特征选择依据。数据分布与参数估计通过假设检验和置信区间分析，评估机器学习模型的性能和泛化能力，以及不同模型之间的差异显著性。假设检验与置信区间将贝叶斯统计原理应用于机器学习领域，实现模型的参数估计、不确定性量化和在线学习等功能。贝叶斯统计与贝叶斯学习在人工智能和机器学习领域应用数理统计方法密码学安全分析运用概率论和数理统计方