高考数学重难点练习题（附答案）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页高考数学重难点练习题（附答案）学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设，则（

）A． B． C． D．2．若为奇函数，则的值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．-1或13．某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（

）A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.14．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（

）A． B． C． D．5．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．6．设等比数列的前项和为.已知，则（

）A． B．16 C．30 D．7．已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．设，和，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知事件A，B满足和，则（

）A．若，则 B．若A与B互斥，则C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立10．已知随机变量X的概率密度函数为(，)且的极大值点为，记，则（

）A．B．C．D．11．下列说法中，其中正确的是（

）A．命题：“”的否定是“”B．化简的结果为2C．…D．在三棱锥中，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.12．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（

）A．是函数为偶函数的充分不必要条件；B．是函数为奇函数的充要条件；C．如果，那么为单调函数；D．如果，那么函数存在极值点.三、填空题13．过点且与圆：相切的直线方程为14．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是．15．已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时直线的斜率为.16．三个元件，和独立正常工作的概率分别是，和，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，和中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是．四、解答题17．已知数列满足，且成等差数列.（Ⅰ）求的值和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.18．已知锐角中，角，和所对的边分别为，和，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值19．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，是底面圆周上一点，与平面所成的角为30°，点，分别在，上，且平面.(1)求的值；(2)求平面与平面夹角的余弦值.20．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；(3)取了，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．21．平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点.设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，B，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.(1)求证：点在定直线上；(2)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标：22．已知，设函数，为的导函数，且恒成立.(1)求实数的取值范围；(2)设的零点为，的极小值点为，证明：.参考答案：1．B【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.【详解】解：因为，因为所以集合是由所有奇数的一半组成而集合是由所有整数的一半组成，故.故选：B2．A【分析】根据奇函数的定义，取特殊情况，可以快速求解出的值.【详解】由题得：，故.故选:A.3．D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：，故因为，所以根据对称性得：.故选：D.4．B【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值.【详解】由题得：，故，而，所以.故选：B.5．C【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.【详解】不妨设正方体的边长为，球О的半径为R，则圆柱的底面半径为a因为正方体的体对角线即为球О直径，故利用勾股定理得：，解得，球的表面积为故选：C.6．D【分析】根据递推关系可求出等比数列的公比、首项，由求和公式得解.【详解】由题得：①，②，①②得：和则，代入①中，即故故选：D.7．B【分析】设，进而得的坐标，进而根据对称性得，再代入椭圆方程整理得，最后求解离心率即可.【详解】解：设，则由题知关于x轴对称，关于轴对称所以，即所以所以，即所以，即所以椭圆的离心率为.故选：B8．A【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾.9．BD【分析】对于A，由题意可得，从而即可判断；对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D，判断是否成立即可.【详解】解：对于A，因为所以，故错误；对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；对于C，因为，所以，所以，故错误；对于D，因为，即，所以又因为，所以所以A与B相互独立，故正确.故选：BD10．BCD【分析】利用随机变量X的概率密度函数可得到，可判断A；利用复合函数单调性可得在上递增，在上递减，即的极大值点为，故可判断B；根据密度曲线关于对称，可判断CD【详解】对于A，由随机变量X的概率密度函数为可得因为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故错误；对于B，因为二次函数在上递增，在上递减由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可得(，)在上递增，在上递减所以的极大值点为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故正确；对于C，因为，又所以，即，故正确；对于D，因为所以，故正确；故选：BCD11．BCD【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B；根据二项式定理即可判断C；利用线面垂直的判定定理可得平面，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断D.【详解】A：命题：“”的否定是“”故A错；B：故B正确；C：…故C正确；D：如图所示由，则，得由是的中点，易知：△为等边三角形且又，所以，得又，平面，所以平面.设球心为且在过△中心垂直于面的垂线上，点到底面的距离为由正弦定理得的外接圆半径球的半径所以三棱锥的外接球的体积为.故D正确.故选：BCD.12．BCD【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A，当时函数定义域为R关于原点对称，故函数为偶函数；当函数为偶函数时，故即，又，故所以是函数为偶函数的充要条件，故A错误；对于B，当时函数定义域为R关于原点对称，故函数为奇函数当函数为奇函数时因为，故.所以是函数为奇函数的充要条件，故B正确；对于C，因为若，则恒成立，则为单调递增函数若则恒成立，则为单调递减函数故，函数为单调函数，故C正确；对于D，令得，又若当，函数为单调递减.当，函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.若当，函数为单调递增.当，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故D正确.故答案为：BCD.13．或【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为当过点的直线斜率不存在时直线方程为是圆的切线，满足题意；当过点的直线斜率存在时可设直线方程为，即利用圆心到直线的距离等于半径得，解得即此直线方程为故答案为：或．14．28【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可．【详解】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①，此时共有种情况；最大数为4的情况：②，此时共有种情况；③，此时共有种情况．当最大数为3时，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组的个数是．故答案为：28．15．【分析】根据题意设直线的方程为，联立抛物线方程，然后结合韦达定理即可得到结果.【详解】如图，易知过点且与直线相切的圆就是以为直径的圆，设则，由有设直线的方程为，代入有所以，结合，得.故答案为:16．【分析】根据题意可知电路正常工作的条件为正常工作，和中至少有一个正常工作，然后利用独立事件乘法公式分类讨论，和接入的元件不同的情况下电路正常工作的概率，结合，和的大小关系判断最大概率.故答案为：17．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）由已知，有，即所以，又因为，故，由，得当时当时所以的通项公式为（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则两式相减得整理得所以数列的前项和为.考点：等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.18．(1)(2)最大值为【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.【详解】（1）由题意知.所以所以所以因为，所以所以，因为，所以由角，所以.（2）由（1）知，所以因为，所以由正弦定理得：，所以因为，所以所以因为为锐角三角形，且，则有，得，所以由二次函数的性质可得，当时取得最大值所以的最大值为.19．(1)(2)【分析】（1）根据线面角定义先求证出到平面的投影落于点O，得出的结论，再以为原点，和，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，找出P、N、C三点坐标即可解出答案；（2）根据（1）坐标系，找出平面与平面的法向量，根据法向量与面面角关系即可解出答案.【详解】（1）过作，垂足为，∵底面，平面∴平面平面，∴平面∴为直线与平面所成的角，即.∴，点与点重合，即.以为原点，和，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，和，和.设，则.故.∵平面，∴，即即，解得，所以.（2）∵平面，∴是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为则，所以，取则.所以平面与平面夹角的余弦值为.20．(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)答案见解析【分析】（1）运用条件概率公式计算；（2）按照独立事件计算；（3）运用独立事件的概率乘法公式结合等比数列求和计算即可.【详解】（1）设取出的是第一次是一次性筷子为事件A，取出的是第二次非一次性筷子为事件B则所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率；（2）对于，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的，；对于，表示三次中有一次筷子，对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子；对于，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分；X012P数学期望；（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子,则前次中有一次取得一次性筷子所以21．(1)证明见解析(2)最大值，点的坐标为【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的，和的关系，解得和，进而得到椭圆的方程，设，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，求得的方程，再令，可得.进而得到定直线；（2）由直线的方程为，令，可得，运用三角形的面积公式，可得，化简整理，再，整理可得的二次方程，进而得到最大值及此时的坐标.【详解】（1）证明：由题意可得，抛物线的焦点为即有解得可得椭圆的方程为；设,可得由的导数为，即有切线的斜率为则切线的方程为可化为，代入椭圆方程可得，可得.设，），）可得，即有中点，）直线的方程为，可令，可