概率论与数理统计2-3

概率论与数理统计2-3汇报人：AA2024-01-19目录CONTENTS概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律和中心极限定理数理统计基本概念参数估计方法假设检验方法01概率论基本概念样本空间所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合，常用大写字母A、B等表示。基本事件只包含一个样本点的事件，是构成样本空间的最小单元。样本空间与事件030201概率定义及性质概率定义事件A发生的可能性大小的度量，记为P(A)，满足非负性、规范性（P(S)=1）和可列可加性。概率性质包括互斥事件的概率加法公式、任意事件的概率减法公式、概率的乘法公式等。在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)，满足P(A|B)=P(AB)/P(B)。如果事件A和事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B是相互独立的。条件概率与独立性事件的独立性条件概率如果事件B1,B2,...,Bn是样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则对任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式在全概率公式的条件下，可以进一步得到P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)，用于在已知某些信息的情况下，更新某事件发生的概率。贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式02随机变量及其分布VS随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量分类根据随机变量取值的特点，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。随机变量定义随机变量定义及分类分布律定义离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率，通常用概率质量函数（PMF）表示。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、几何分布等。离散型随机变量分布律连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。概率密度函数定义正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布随机变量函数是由随机变量构成的函数，其取值也是随机的。当已知随机变量的分布时，可以通过一定的方法求出随机变量函数的分布。例如，通过卷积公式可以求出两个独立随机变量之和的分布。随机变量函数定义随机变量函数的分布随机变量函数分布03多维随机变量及其分布联合密度函数定义对于连续型二维随机变量(X,Y)，其联合密度函数f(x,y)描述了(X,Y)在点(x,y)处的概率密度。性质联合分布律/密度函数必须非负，且其所有可能取值的概率之和/积分为1。联合分布律定义对于二维随机变量(X,Y)，其联合分布律描述了X和Y同时取值的概率，即P{X=xi,Y=yj}。二维随机变量联合分布律/密度函数

边缘分布律/密度函数边缘分布律定义二维随机变量(X,Y)中，X或Y单独取值的概率分布律称为边缘分布律，即P{X=xi}或P{Y=yj}。边缘密度函数定义对于连续型二维随机变量(X,Y)，X或Y单独取值的概率密度函数称为边缘密度函数，即fX(x)或fY(y)。性质边缘分布律/密度函数可以通过对联合分布律/密度函数进行求和/积分得到。在二维随机变量(X,Y)中，当已知X=xi时，Y的条件分布律描述了Y在X=xi条件下的取值概率，即P{Y=yj|X=xi}。条件分布律定义对于连续型二维随机变量(X,Y)，当已知X=x时，Y的条件密度函数描述了Y在X=x条件下的概率密度，即fY|X(y|x)。条件密度函数定义条件分布律/密度函数可以通过联合分布律/密度函数和边缘分布律/密度函数计算得到。性质条件分布律/密度函数定义如果二维随机变量(X,Y)的联合分布律/密度函数可以表示为两个边缘分布律/密度函数的乘积，即P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}或f(x,y)=fX(x)fY(y)，则称X和Y是相互独立的。性质相互独立的随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。相互独立随机变量04随机变量数字特征数学期望定义数学期望是随机变量取值的平均值，用于描述随机变量取值的“中心位置”或“平均水平”。要点一要点二数学期望性质数学期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及随机变量X和Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。此外，数学期望还具有正态分布的性质，即若X服从N(μ,σ^2)分布，则E(X)=μ。数学期望定义及性质方差定义方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，用于描述随机变量取值的离散程度。标准差定义标准差是方差的算术平方根，用于描述随机变量取值的波动范围。协方差定义协方差是衡量两个随机变量变化趋势的统计量，如果两个随机变量同时向相反方向变化（即一个增加，另一个减少），则它们的协方差为负值；如果两个随机变量同时向相同方向变化（即两者都增加或两者都减少），则它们的协方差为正值。方差、标准差和协方差要点三相关系数定义相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的统计量，取值范围为[-1,1]。当相关系数为1时，表示两个随机变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个随机变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个随机变量不相关。要点一要点二矩定义矩是描述随机变量分布形态的统计量，包括原点矩和中心矩。原点矩是随机变量取值的k次方与其概率的乘积之和，而中心矩是随机变量取值与其数学期望之差的k次方与其概率的乘积之和。协方差矩阵定义协方差矩阵是由多个随机变量的协方差组成的矩阵，用于描述多个随机变量之间的线性相关关系。协方差矩阵的对角线元素为各个随机变量的方差，而非对角线元素为不同随机变量之间的协方差。要点三相关系数和矩、协方差矩阵05大数定律和中心极限定理含义大数定律是描述随机事件在大量重复试验中呈现出的稳定性的一种规律。表现形式随着试验次数的增加，随机事件发生的频率逐渐稳定于某一常数，即该随机事件发生的概率。应用场景在保险、金融、医学等领域中，大数定律被广泛应用于风险评估和决策分析。大数定律含义中心极限定理是概率论中的一组定理，它指出在大量独立随机变量的和或平均值的分布将趋向于正态分布，即使这些随机变量本身并不服从正态分布。表现形式当样本量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布，且样本均值的期望等于总体均值，样本均值的方差等于总体方差除以样本量。应用场景中心极限定理在统计学中具有重要的地位，它是许多统计推断方法的基础，如置信区间、假设检验等。同时，在实际问题中，如质量控制、生物医学研究等领域也广泛应用了中心极限定理。中心极限定理06数理统计基本概念研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用n表示。样本容量总体与样本统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。抽样分布统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。抽样分布的性质包括期望、方差、分布形态等，决定了统计推断的准确性和可靠性。统计量与抽样分布性质这些统计量都是无偏的、一致的、有效的，且在大样本情况下具有渐近正态性。样本相关系数两个随机变量样本观测值之间的线性相关程度的标准化度量，用于估计总体相关系数。样本协方差两个随机变量样本观测值之间的线性相关程度，用于估计总体协方差。样本均值所有样本观测值的算术平均数，用于估计总体均值。样本方差样本观测值与样本均值之差的平方的平均数，用于估计总体方差。常用统计量及其性质07参数估计方法利用样本矩来估计总体矩，从而获得参数的估计值。矩估计法根据样本数据，选择使得似然函数达到最大值的参数值作为估计值。最大似然估计法通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，从而得到参数的估计值。最小二乘法点估计方法利用样本数据构造一个区间，使得这个区间以一定的概率包含总体参数的真值。置信区间法根据样本数据确定一个区间，使得总体参数落在这个区间内的概率达到预定的水平。容忍区间法在贝叶斯统计框架下，利用先验信息和样本数据构造参数的后验分布，并基于后验分布给出参数的区间估计。贝叶斯区间估计法010203区间估计方法08假设检验方法原假设与备择假设在假设检验中，原假设（$H_0$）通常表示没有差异或没有效应，而备择假设（$H_1$）则表示存在差异或有效应。检验统计量是根据样本数据计算出的用于判断原假设是否成立的统计量。拒绝域是检验统计量取值的范围，当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设。显著性水平（$alpha$）是事先设定的一个概率值，用于确定拒绝域的大小。P值是在原假设下，观察到的样本数据或更极端情况出现的概率。当P值小于或等于显著性水平时，我们拒绝原假设。检验统计量与拒绝域显著性水平与P值假设检验基本原理单个正态总体均值假设检验当总体服从正态分布，且方差已知时，可以使用Z检验对单个正态总体均值进行假设检验。当总体方差未知时，可以使用t检验。单个正态总体方差假设检验对于单个正态总体方差的假设检验，可以使用卡方检验。卡方检验统计量是样本方差与总体方差之比，服从卡方分布。