选修2-3：1.3.2二项式系数的性质 (共26张)

人教A版选修2-3第一章复习回忆:二项式定理及展开式:二项式系数通项13(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数的性质二项式系数表11121133114641151010511615201561(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？

3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=当n不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：二项式系数的性质111211331146411510105116152015612134610?详解九章算法?记载的表杨辉

三角杨辉以上二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的?详解九章算法?一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在?详解九章算法?一书里，还说明了表里“一〞以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于?释锁?算书，且我国北宋数学家贾宪〔约公元11世纪〕已经用过它。这说明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡〔1623-1662〕首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561二项式系数的性质先增后减对称函数定义：如果A、B都是非空数集，那A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数。可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。★对于二项式系数，r与之间也有对应关系，即：r012

…r…n…二项式系数与函数…

从映射、函数的观点看，二项式系数可以看作是一个定义域为{0，1，2，…，n}的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

即：r是自变量，r自变量二项式系数是函数值，组合数公式就是相应函数的解析式。123二项式函数值二项式系数与函数①当n=6时，二项式系数〔0≤r≤6〕用图象表示：7个孤立的点13……n…12322nOrf(r)6361420①与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等1：对称性2：增减性与最大值①先增后减②关于r=3对称②0~6，共7项，r=3时取得最大值f〔r〕n为奇数；如n=7f（r）rnO6152013n为偶数；如n=620103035On743①关于r=n/2对称②r=3和r=4时取得最大值二项式系数的性质与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值先增后减当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项二项式系数和相等，且同时取得最大值。即

即

和当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当n是偶数时，中间的一项取得最大时；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1)k•(k-1)

=Ck-1n•kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相对于的增减情况由决定由于kn–k+1>1

k<n+12因而2.增减性与最大值且奇数项的二项式系数和等于偶数的二项式系数和性质3：各二项式系数的和二项式系数的性质2n+++…+令x=1：赋值法令x=-1：0

也就是说,(1+x)n的展开式中的各个二项式系数的和为，2n回忆例题例1、证明〔a+b〕n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明:所以〔a+b〕n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。上述证明过程中用到了什么方法？赋值法变式练习1：-2-10941093(1-2x)15的展开式中各项系数和是_____(1-2x)15的展开式中所有二项式系数和是_____变式练习2：37一定要看清楚：各项系数，二项式系数各指什么！！a0,a1,a2,……这是系数的关系解：拔高练习：精选ppt拔高练习：证明略例5.假设的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的的系数相等∴由可得：2n-1=1024解得n=11，∴有两个中间项分别为T6=462x-4，T7=462x123……n…注意：

求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取－1，1，0。例题讲解例2、已知：

的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992。（1）求展开式中二项式系数最大的项（2）求展开式中系数最大的项例题讲解例2、已知：

的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992。（1）求展开式中二项式系数最大的项（2）求展开式中系数最大的项练习2、求：

的求展开式中系数最大的项1、：的展开式中所有二项系数和为128，那么展开式中二项系数是最大的项提高：1、求

的展开式整理过后的常数项是多少？2、求多项式(3x4－x3+2x2－3)8·(3x－5)4·(7x4－4x－2)6展开式各项系数的和.解：设f(x)=(3x4－x3+2x2－3)8·(3x－5)4·(7x4－4x－2)6

=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a60x60.所要求的各项系数的和就是a0+a1+a2+……+a60.又将x=1代入得f(1)=a0+a1+a2+……+a60=(3－1+2－3)8(3－5)4(7－4－2)6=16.∴各项系数的和为16.精选ppt1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().C课堂练习:A.第6项B.第7项

C.第6项和第7项D.第5项和第7项CA.第15项B.第16项C.第17项D.第18项2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项().4，化简+++

+=3，已知展开式中只有第10项二项式系数最大，则n=______。18小结:

（2）数学思想：函数思想a图象、图表；b单调性；c最值。〔3〕数学方法：赋值法〔1〕二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和课后作业精选ppt1.(3-2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么(1)a0+a2+a4的值为_