人教版平行四边形单元 易错题检测试卷

一、选择题

1.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,点M为8c上异于

B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、/WN的中点，当N从A到8的

运动过程中，线段EF扫过图形的面积为（）

2.如图，把正方形ABC。沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN,再过点3折

叠纸片，使点A格在MN上的点尸处，折痕为BE,若A5长为2,则EN的长为（（）

3.如图，正方形ABC。和正方形CEFG中，ACE三点在同一直线上，点。在CG

±.BC=\,CE=3,连接AF,“是AF的中点，连接CH,那么的长是（）

D.472

4.如图，在矩形ABC。中，尸是边AO上的动点，PELAC于E,于尸，

如果AB=3,A0=4,那么（）

D

C.PE+PF=5D.3<PE+PF<4

5.如图，已知AABC的面积为24,点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF

=4CF,四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

BCF

A.3B.4C.6D.8

6.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC为

边向外作正方形，其面积分别为鸟、S2、S3,若5产3,S3=8,则S2的值为（）

24C.44D.48

7.矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的点B'处，折

痕为AE.延长8Z交AB的延长线于点M,折痕AE上有点P,下列结论中：

①NM=NDAB'；②P4PB'；③AE=^/^；®MB'=CD,⑤若B'P_LC。，则

2

EB'=B'P.正确的有（）个

A.2B.3C.4D.5

8.如图，在A8CO中，AB=2AO,6是的中点，作BE_LAO于点E,连接

EF、BF,下列结论：①NCBb=NA8/；②FE=FB；③25人历8=S四边形DEBC；

④NBFE=3NDEF；其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

9.在菱形488中，M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,CM上的一点（不与端点重合），

对于任意的菱形ABCD,下面四个结论中：

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无

数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形

正确的结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4,EC=8,将正方形边AB延AE折

叠刀AF,延长EF交DC于G,连接AG,现在有如下结论：①NEAG=45。；②GC=CF；

③FC〃AG；④SAGFC=14.4；其中结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4,,4c=2遥，则平行四边形ABCD

的周长等于.

12.如图，R3ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段

DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰RtZiAOP.当P从点D出发运动

至点B停止时，点0的运动路径长为.

13.如图，动点从尸分别在正方形A8CO的边A。、BC上,AE=CF,过点。作

CGA.EF,垂足为G,连接BG,若AB=4,则线段长的最小值为.

ED

14.如图，AA8C是边长为1的等边三角形，取边中点E,作EO//AB,

EF//AC,得到四边形EDAE,它的周长记作£；取展中点片，作EQJ/EB,

E\F"EF,得到四边形ERFE，它的周长记作G-照此规律作下去，则

15.如图，四边形ABCD是菱形，ZD4B=48°,对角线AC,BD相交于点。，DH_LA8于

H,连接。"，贝l」NOHO=度.

16.如图，在矩形ABCD中，AD=61AB,/BAD的平分线交BC于点E,DHJ_AE于点

H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交8F于点。，下列结论：①NAED=/CED；

（2）OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤A8=HF,其中正确的有.

17.如图，oABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD

的最小值等于.

18.如图，在矩形纸片ABC。中，718=6,BC=10,点E在C。上，将△BCE沿8E折叠，点

C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将AASG沿BG折叠，点A恰落在线段8F上的

3

点H处,有下列结论：①NEBG=45°；②S"BG='SAFGH;©ADEF^AABG；

④AG+DF=FG.其中正确的是.（把所有正确结论的序号都选上）

19.在平行四边形ABCD中，AE平分NBAD交边BC于E,DF平分NADC交边BC于F,若

AD=11,EF=5,则AB=.

20.已知：如图，在ABC中，ADLBC,垂足为点。，BE1AC,垂足为点E,

M为A3边的中点，连结ME、MD、ED,设AB=4,ND4C=3O。则

EM=；EOM的面积为,

A

三、解答题

21.已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABC。所在平面内一动点（不与点。重

合），AB^AE,过点8作DE的垂线交DE所在直线于F,连接CF.

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重

合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：_；

（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1:当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形A8CD外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如

果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请

说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：

22.已知，在△A8C中，ZB^C=90°,/ABC=45°,。为直线BC上一动点（不与点8,C

重合），以AD为边作正方形ADEF,连接CF.

段之间的数量关系为:

（2）如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关

系BC,CD,CF三条线段之间的数量关系并证明；

（3）如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时，点A,F分别在直线8c的两侧，其他

13

条件不变.若正方形ADEF的对角线DF相交于点。，0C=—,DB=5,则△ABC的面积

2

为.（直接写出答案）

23.如图，在平行四边形A8CO中，NflAQ的平分线交于点E,交OC的延长线于

F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.

G

（1）求证：四边形EC/G是菱形；

（2）连结30、CG,若NABC=120。，则ABOG是等边三角形吗？为什么？

（3）若乙43c=90°,AB=10,AD=24,M是EF的中点，求。”的长.

24.在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E,这时折

痕与边BC或者边C。（含端点）交于点F（如图1和图2）,然后展开铺平，连接8E,

EF.

（1）操作发现：

①在矩形ABCD中，任意折叠所得的ABEF是一个三角形；

②当折痕经过点A时，8£与AE的数量关系为.

（2）深入探究：

在矩形ABC。中，48=73.BC=2y/3.

①当ABEF是等边三角形时，求出8F的长；

②A8EF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由.

图1图2

25.如图，在正方形ABCO中，点M是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用

连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在如图（1）的A8边上求作一点N,连接CN,使CV=A〃；

（2）在如图（2）的AO边上求作一点Q,连接C。，使CQPAM.

26.己知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转a（0°<a<90°）,得到

线段CE,联结BE、CE、DE.过点B作BF,DE交线段DE的延长线于F.

（1）如图，当BE=CE时，求旋转角a的度数；

（2）当旋转角a的大小发生变化时，4EF的度数是否发生变化?如果变化，请用含a的

代数式表示；如果不变，请求出“所的度数；

（3）联结AF,求证：DE=\[2AF-

27.矩形4BCD中，A8=3,BC=4.点E,F在对角线AC上，点M,N分别在边AD,BC

上.

（1）如图1,若AE=CF=1,M,N分别是AD,BC的中点.求证：四边形EMFN为矩形.

（2）如图2,若AE=CF=0.5,AM=CN=MO＜尤＜2）,且四边形E/WFN为矩形，求x的

值.

（图1）（图2）

28.如图，四边形ABCD为正方形.在边AO上取一点E,连接3E,使NAE8=60。.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点8、。为圆心，8C长为半径作弧交正

方形内部于点T,连接BT并延长交边AO于点E,则NAEB=60°；

（2）在前面的条件下，取3E中点过点M的直线分别交边A8、于点P、Q.

①当PQLBE时，求证：BP=2AP；

②当PQ=BE时，延长BE,交于N点，猜想NQ与的数量关系，并说明理由.

29.如图，在正方形ABCO中，点E、F是正方形内两点，BE//DF,EF1BE,为

探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

图1

(1)在图1中，连接BD,且BE=DF

深证：EF与3。互相平分；

蹴证：(BE+DF^+EF?=2AB?；

(2)在图2中，当BE#DF,其它条件不变时，(8E+£>£>+M2=2AB?是否成

立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

图2

NOPB=135°,=时，求P。之长.

图3

30.点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB,FD,ZABF=ZAFB.

(1)如图1,求证：ZAFD=ZADF；

(2)如图2,过点F作垂线交AB于G,交DC的延长线于H,求证：DH=2AG；

(3)在(2)的条件下，若EF=2,CH=3,求EC的长.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.A

解析：A

【分析】

取MB的中点P,连接FP,EP,DN,由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中,

点F在FP所在的直线上运动，即：线段£F扫过图形为AEFP,求出当点N与点A重合时，

FP的值，以及FP上的高，进而即可求解.

【详解】

取MB的中点P,连接FP,EP,DN,

；FP是AMNB的中位线，EF是ADMN的中位线，

；.FP〃BN,FP=-BN,EF〃DN,Ef==-DN,

22

当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为

AEFP.

当点N与点A重合时，FP=-BN=-BA=4,

22

过点D作DQJ_AB于点Q,

'：AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,

；.AQ=8-5=3,

•••DQ=y/AD2-AQ2=752-32=4,

当点N与点Q重合时，EF=-DN=-DQ=2,EF〃DQ,即：EF±AB,即：EF±FP,

22

1.AEFP中,FP上的高=2,

.•.当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=^x4x2=4.

2

故选A.

【点睛】

本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，

构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键.

2.A

解析：A

【分析】

根据翻转变换的性质求出BM、BF,根据勾股定理计算求出FM的值；再在Rt^NEF中，运

用勾股定理列方程求解，即可得到EN的长.

【详解】

•.•四边形ABCD为正方形，AB=2,过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，

1

；.FB=AB=2,BM=—BC=1,BF=BA=2,ZBMF=90°,

2

则在RtZXBMF中，

FM=\lBF2-BM2=V22-12=V3'

FN=MN-FM=2-5

设AE=FE=无，则EN=1—X,

EFN中，NE2+NF2=EF2，

••.(1-X)2+(2-V3)2=X2.

解得：x=4-2百，

，EN=1—x=2石-3.

故选：A.

【点睛】

本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后

图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

3.A

解析：A

【分析】

如下图，根据点H是AF的中点和HM〃FE,可得HP是4ANF的中位线，四边形MPNE是

矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt^HCM中求CH

即可

【详解】

如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M,延长AD交FE于点N,交HM于点P

:四边形ABCD、CEFG是正方形，AADlEF,ZE=90°

VHM±BE

二四边形PMEN是矩形

VBC=1,CE=3

.\NE=1,；.FN=2,PM=1

VHM±BE,FE_LBE,点H是AF的中点

AHM是4ANF的中位线

.,.HP=-£F=1,AP=PN=2

2

.,.在RSCHM中，CH=V5

故选：A

【点睛】

本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角

形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.

4.A

解析：A

【分析】

设AC、BD交于点0,连接。P,根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5,再求出

△A0D的面积，根据面积关系即可求出答案.

【详解】

设AC、BD交于点。，连接0P,

AB—3,AD=4,

；.BD=AC=5,

.,.OA=OD=2.5,

SAOO矩形ABC。=]X3x4=3,

•e•SDOP=3，

・・•PE，AC于E,PF上BD于F,

：.-x2.5PE+-x2.5PF=3,

22

gx|(PE+PF)=3,

PE+PF=—,

5

故选：A.

【点睛】

此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出AAOD的面积是解题的关键.

5.D

解析：D

【分析】

连接EC,过A作AM〃BC交FE的延长线于M,求出平行四边形ACFM,根据等底等高的

三角形面积相等得出4BDE的面积和4CDE的面积相等，AADE的面积和4AME的面积相

等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CFxhcF的值即可.

【详解】

连接DE、EC,过A作AM〃BC交FE的延长线于M,

•.•四边形CDEF是平行四边形，

；.DE〃CF,EF〃CD,

；.AM〃DE〃CF,AC〃FM,

四边形ACFM是平行四边形，

VABDE边DE上的高和4CDE的边DE上的高相同，

...△BDE的面积和4CDE的面积相等，

同理4ADE的面积和4AME的面积相等，

即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是gxCFxhcF，

「△ABC的面积是24,BC=3CF

11

/.一BCX|IBC=_x3CFxhcF=24,

/.CFxhcp=16,

阴影部分的面积是1xl6=8,

2

【点睛】

此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面

积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.

6.C

解析：c

【分析】

根据已知条件得到AB=J5，CD=2及，过A作AE〃CD交BC于E,则NAEB=NDCB,

根据平行四边形的性质得到CE=AD,AE=CD=2及，由已知条件得到/BAE=90°,根

据勾股定理得到BE=7AB2+AE2，于是得到结论.

【详解】

：Si=3,S3=8

;.AB=G，CD=2也

过A作AE〃CD交BC于E

则NAEB=/DCB

VAD/7BC

四边形AECD是平行四边形

；.CE=AD,AE=CD=20

VZABC+ZDCB=90°

.".ZAEB+ZABC=90°

AZBAE=90°

；.BE="两=vn

VBC=2AD

.,.BC=2BE=2A/1T

••&=(2曰『=44

故选：c.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此

题的关键.

7.C

解析：C

【分析】

①由翻折知NABE=/AB'E=903再证NM=/CB'E=/B'AD即可；②借助轴对称可知；③利

用计算，勾股定理求夕D,构造方程，求EB,在构造勾股定理求MB，=上屿；④由相似

2

CB'BM=CE：BE,BM=—,在计算B'M>5；⑤证ABEG&Z\BrG得BE=B'P,再证菱形即

：3

可.

【详解】

①由折叠性质知/ABE=/AB'E=90。，

AZCB'E+ZAB'D=909

VZD=909

/B'AD+/AB'D=90。

AZCB'E=ZB'AD,

：CD〃MB,

AZM=ZCB'E=ZB'AD；

②点P在对称轴上，则B，P=BP；

③由翻折，AB=AB'=5,AD=4,

由勾股定理DB'=3,

.•.CB'=5-3=2,

设BE=x=B'E,CE=4-x,

在RtZ\B'CE中，ZC=90°,

由勾股定理(4-x)2+22=X2,

解得X=4,

2

53

；.CE=4-=-

22

④由BM〃CB'

.*.AECB,^AEBM,

.".CB'：BM=CE：BE,

35

A2：BM=一：-

22

10

>5=CD；

⑤连接BB',由对称性可知,BG=B'G,EPJ_BB',

BE〃B'P,

...△BEGgZXB'PG,

.•.BE=B'P,

，四边形BPB乍为平行四边形,

又BE=EB',

所以四边形BPB，E是菱形,

所以PB'=B'E.

故选择：C.

【点睛】

此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关

键是能够发现^BEG9Z\B'PG.

8.C

解析：c

【分析】

由平行四边形的性质结合AB=2AD,CD=2CF可得CF=CB,从而可得/CBF=NCFB,再根据

CD〃AB,得NCFB=/ABF,继而可得NC8E=NABE,可以判断①正确；延长EF交BC

的延长线与M,证明4DFE与△CFM(AAS),继而得EF=FM=gEM,证明

ZCBE=ZAEB=90°,然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得

SABEF=S,ABMF>SADFE=SACFM，继而可得SAEBF=S/、BMF=SAEDF+SAFBC，继而可得

2sA=S四边形DEBC，可判断③正确；过点F作FN_LBE，垂足为N，则NFNE=90。，则可得

AD〃FN,则有/DEF=/EFN,根据等腰三角形的性质可得NBFE=2/EFN,继而得

NBFE=2NDEF,判断④错误.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

VAB=2AD,CD=2CF,

，CF=CB,

.,.ZCBF=ZCFB,

：CD〃AB,

NCFB=NABF,

:.NCBF=NABF,故①正确；

延长EF交BC的延长线与M,

VAD//BC,

.,•ZDEF=ZM,

XVZDFE=ZCFM,DF=CF,

.'.△DFE与△CFM(AAS),

1

，EF=FM=—EM,

2

VBF1AD,

NAEB=90°,

•.•在平行四边形ABCD中，AD〃BC,

，/CBE=NAEB=90°,

1

，BF=—EM,

2

；.BF=EF,故②正确;

VEF=FM,

SABEF=SABMF>

VADFE^ACFM,

SADFE=$ACFM>

•'•SAEBF=SABMF=S/">.EDF+SAFBC>

2s.FB=S四边形DEBC，故③正确；

过点F作FNJ_BE,垂足为N,则NFNE=90°,

.,.ZAEB=ZFEN,

.•.AD//EF,

AZDEF=ZEFN,

又：EF=FB,

/BFE=2NEFN,

AZBFE=2ZDEF,故④错误，

所以正确的有3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质

等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题

的关键.

9.D

解析:D

【分析】

根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结

论.

【详解】

①如图，连接AC,BD交于。，

四边形ABCD是菱形，过点。直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

则四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确;

②如图，

当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确;

③如图，

当PMJ_QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确;

④如图，

当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正

方形；故④正确；

综上，①②③④4个均正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各

定理是解题的关键.

10.C

解析：C

【分析】

选项①正确.证明/GAF=/GAD,/EAB=NEAF即可.选项②错误.可以证明

DG=GC=FG,显然aGFC不是等边三角形，可得结论.选项③正确.证明CFJ_DF,AG±DF

即可.选项④正确.证明FG：EG=3：5,求出4ECG的面积即可.

【详解】

解：如图，连接DF.

•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC=CD,ZABE=ZBAD=ZADG=ZECG=90°,

由折叠可知：AB=AF,ZABE=ZAFE=ZAFG=90°,BE=EF=4,ZBAE=ZEAF,

VZAFG=ZADG=90°,AG=AG,AD=AF,

ARtAAGD^RtAAGF(HL),

/.ZGAF=ZGAD,

AZEAG=ZEAF+ZGAF=(ZBAF+ZDAF)=45",故①正确，

设GD=GF=x,

在RtAECG中，：EG2=EC2+CG2,

(4+X)2=82+(12-X)2,

・\x=6,

VCD=BC=BE+EC=12,

DG=CG=6,

AFG=GC,

易知aGFC不是等边三角形，显然FG片FC,故②错误，

VGF=GD=GC,

AZDFC=90°,

.\CF±DF,

VAD=AF,GD=GF,

.,.AG1DF,

；.CF〃AG,故③正确，

1

,•,SAECG=—X6X8=24,FG：FE=6：4=3：2,

/.FG：EG=3：5,

372

，SAGFC=)X24=-^-=14.4,故④正确，

故①③④正确，

故选：C.

【点睛】

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时

设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长

度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

二、填空题

11.12或20

【分析】

根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出

即可.

【详解】

解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示:

图1

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4,AB=5,AC=2出,

2

在RtAACE中，由勾股定理可知：CE=VAC-AE2=7(2^)2-42=2，

在由△ABE中，由勾股定理可知：BE=VAB2-AE2=>/52-42=3/

BC=BE+CE=3+2=5,

此时平行四边形ABCD的周长等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20；

情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4,AB=5,AC=2石

在R3ACE中，由勾股定理可知：CE=\lAC2-={(26)2_4?=2,

在RSABE中，由勾股定理可知：BE=JAB2_A£2;6-不=3,

ABC=BE-CE=3-2=1,

，平行四边形ABCD的周长为2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20.

故答案为：12或20.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部

讨论是解题关键.

12.272

【解析】

分析：过。点作OE_LCA于E,OF_LBC于F,连接CO,如图，易得四边形OECF为矩形，

由AAOP为等腰直角三角形得到0A=0P,ZAOP=90°,则可证明AOAE四△OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分/ACP,从而可判断当P

从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，接着证明

CE=；(AC+CP),然后分别计算P点在D点和B点时0C的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长.

详解：过。点作OE_LCA于E,OFJ_BC于F,连接CO,如图,

•••△AOP为等腰直角三角形,

/.OA=OP,ZAOP=90°,

易得四边形OECF为矩形,

/EOF=90°,CE=CF,

AZAOE=ZPOF,

.,.△OAE^AOPF,

；.AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

/.当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径为一条线段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

ACE=—(AC+CP),

2

5

.,.OC=V2CE=^(AC+CP),

当AC=2,CP=CD=1时，0C=—x(2+1)=£1,

22

当AC=2,CP=CB=5时，OC=Y2x(2+5)=2叵，

22

当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长=迪-里=20.

22

故答案为2&.

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定

轨迹的几何特征，然后进行几何计算.也考查了全等三角形的判定与性质.

13.V10-V2

【分析】

连结AC,取0C中点M,连结MB,MG,则MB,MG为定长，利用两点之间线段最短解

决问题即可.

【详解】

连接AC,交EF于。，

：AD〃BC,

NEAO=/FCO,NAEO=NCFO,

；AE=CF,

.".△AEO^ACFO(ASA),

AOA=OC,

AO是正方形的中心，

VAB=BC=4,

；.AC=4a,0C=2拒，

取OC中点M,连结MB,MG,过点M作MH_LBC于H,

VMC=y0C=72>

.,.MH=CH=1,

/.BH=4-1=3,

由勾股定理可得MB="+12=回,

在RtAGOC中，M是OC的中点，则MG=；OC=0,

VBG>BM-MG=V10-亚，

当B,M,G三点共线时，BG最小=而-血，

故答案为：V10->/2•

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E,F运动到AD,BC的中点时,

MG最小是解决本题的关键.

14-L

220,8

【分析】

根据几何图形特征，先求出G、G、c3)根据求出的结果，找出规律，从而得出GO2O-

【详解】

•点E是BC的中点，ED〃AB,EF〃AC

ADE,EF是△ABC的中位线

•.,等边4ABC的边长为1

1

.*.AD=DE=EF=AF=-

2

则G=Jx4=2

同理可求得：C,=l,C,=-

-2

发现规律：规律为依次缩小为原来的!

2

。2020=洒T

故答案为：

【点睛】

本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规

律.

15.24

【分析】

由菱形的性质可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可

得OH=,BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性质可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【详解】

【解答】解：•••四边形A8C。是菱形，

：.OD=OB,ZCOD=90",NDAB=NDCB=48°,

'：DH±AB,

1

AOH=—BD=OB,

2

；.NOHB=NOBH,

又,：AB〃CD,

：.NOBH=NODC,

在Rt^C。。中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtZ\D”8中，ZDHO+ZOHB=90°,

1

；.NDHO=NDCO=—/DCB=24°,

2

故答案为:24.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断

出0H是BD的一半，和/DHO=NDC。是解决本题的关键.

16.①②③④

【分析】

①根据角平分线的定义可得NBAE=NDAE=45°,可得出aABE是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得AE=&A8,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明AABE

和△A”D全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求

出/ADE=NAED=67.5°,根据平角等于180°求出NCED=67.5。，从而判断出①正确；

②求出NAH8=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5<1,然后根据等角对等边可得。E=OD=OH,判断

出②正确；

③求出NEBH=NOHD=22.5°,NAEB=NHDF=45°,然后利用“角边角”证明△8EH和

△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据“E=AE-A”=8C-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判断出④正确;

⑤判断出△A8”不是等边三角形，从而得到即A8WHF,得到⑤错误.

【详解】

•.•在矩形A8CD中，AE平分NBA。，，NBAE=N£ME=45°,...△A8E是等腰直角三角形，

：.AE=yj2AB.

,:AD=历AB,：.AE=AD.

NBAE=NDAE

在aABE和△AHD中，NABE=NAHD=90°，二/XABE^/XAHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

：.ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正确：

VZAHB^^(180°-45°)=67.5°,NOHE=NAHB(对顶角相等)，

:.NOHE=NAED,：.OE=OH.

VZDOH=90°-67.50=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,：.ZDOH=ZODH,

：.OH=OD,.*.OE=OD=OH,故②正确；

；NEBH=90°-67.5°=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BE"和△HDF中，＜BE=DH,:.△BEH^AHDF(ASA),：.BH=HF,

ZAEB=ZHDF

HE=DF,故③正确；

由上述①、②、③可得CD=8E、DF=EH=CE,CF=CD-DF,/.BC-CF=(CD+HF)-(CD-

HE)=2HE,所以④正确；

'：AB=AH,N8AE=45°,.'.△ABH不是等边三角形,J.AB^BH,.,.即A8WHF,故⑤错

误；

综上所述：结论正确的是①②③④.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定

与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角

形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

17.6

【分析】

过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB〃CD,

推出PE=；PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条

直线上，利用NDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=gAB=3,得到2PB+

PD的最小值等于6.

【详解】

过点P作PE±AD交AD的延长线于点E,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

NEDC=NDAB=30°,

：2PB+PD=2(PB+—PD)=2(PB+PE),

.•.当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上,

VZDAB=30°,/AEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=^AB=3,

/.2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

DJ，\P

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化

为三点共线的形式是解题的关键.

18.①②④.

【分析】

利用折叠性质得/CBE=/FBE,NABG=NFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,则可得到

/EBG=：/ABC,于是可对①进行判断；在RtZXABF中利用勾股定理计算出AF=8,则

DF=AD-AF=2,设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到(8-x)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可对②④进行判断；接着证明△ABFS/\DFE,利用

r)>7A17AARARDF

相似比得到芸=黑=9而K=5=2,所以工厂/二，所以4DEF与4ABG不相

DFAB3AG3AGDF

似，于是可对③进行判断.

【详解】

解：:△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，

将aABG沿BG折叠，点A恰落在线段8F上的点H处，

：.ZCBE=ZFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,

AZEBG=ZEBF+ZFBG=yZCBF+^-ZABF=yZABC=45°,所以①正确；

在Rt/\ABF中，AF=^BF2-AB2=71O2-62=8，

：.DF=AD-AF^W-8=2,

设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=10-6=4,

在RtAGFH中，

:GH2+HF2=GP,

.\X2+42=(8-x)2,解得x=3,

：.GF=5,

.：AG+DF=FG=5,所以④正确；

「△8CE沿8E折叠，点C恰落在边AD上的点F处，

.•./8FE=NC=90°,

：.ZEFD+ZAFB=90°,

而/AFB+NABF=90°,

ZABF=ZEFD,

，AABFsADFE,

.AB_AF

"DF-DE)

•DE_AF_8_4

DF-AB-6

十AB6

而---=—=2,

AG3

ABDE

Z.——W-,

AGDF

...△DEF与AABG不相似；所以③错误.

11

：3AABG=-X6X3=9,SAGHF=yX3X4=6,

3

*••SAABG5AFGH»所以立)正确.

故答案是：①②④.

【点睛】

本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有

的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质

时，主要利用相似比计算线段的长.也考查了折叠和矩形的性质.

19.8或3

【分析】

根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线

的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论.

【详解】

解：①当AE和DF相交时，如下图所示

图1

:四边形ABCD为平行四边形，AD=11,EF=5,

.•.BC=AD=ll,AD〃BC,AB=CD

；./DAE=/BEA,NADF=NCFD

：AE平分NBAD,DF平分/ADC

；./DAE=/BAE,ZADF=ZCDF

.\ZBEA=ZBAE,ZCFD=ZCDF

，BE=AB,CF=CD

；.BE=AB=CD=CF

VBE+CF=BC+EF

.\2AB=ll+5

解得：AB=8；

②当AE和DF不相交时，如下图所示

•・•四边形ABCD为平行四边形，AD=11,EF=5,

.•.BC=AD=11,AD〃BC,AB=CD

.".ZDAE=ZBEA,ZADF=ZCFD

TAE平分NBAD,DF平分NADC

・・・NDAE=NBAE,ZADF=ZCDF

.\ZBEA=ZBAE,ZCFD=ZCDF

ABE=AB,CF=CD

ABE=AB=CD=CF

VBE+CF+EF=BC

A2AB+5=11

解得：AB=3

综上所述：AB=8或3

故答案为：8或3.