高考数学一轮复习 专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件（含解析）-人教版高三数学试题

专题02命题及其关系、充分条件与必要条件一、【知识精讲】1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图1­2­1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的充分不必要条件；(3)若peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展]集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、【典例精练】例1.(2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①② B．②③C．④ D．①②③【答案】D【解析】①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．【方法小结】1．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．例2．(1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件例2.(2018·天津高考)设x∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】(1)A(2)A【解析】(1)法一由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A．法二∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，当〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A．(2)由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”⇒“x3＜1”；由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))≥eq\f(1,2)，即“x3＜1”“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”．所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要条件．【方法小结】充分条件、必要条件的三种判断方法1定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.2集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.3等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.例3.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．【答案】[0,3]【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．【方法小结】根据充分、必要条件求参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．三、【名校新题】1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【答案】D【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若¬q,则¬p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则2.(2019·湖北八校联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.3.(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m>eq\f(1,4) B．0<m<1C．m>0 D．m>1【答案】C【解析】若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq\f(1,4)，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.4．（蚌埠一中2019届高三考试题）已知，都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由条件得a>b,不能得到；反之，由得a>b,⇏a5.（滁州市2019届高三统考题）若为实数，则“”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由条件知a,b同号。当a,b都为正时，可得a<1b；当a,b都为负时，可得b>6.（安徽肥东一中2019届高三考试题）若，是两个非零的平面向量，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】⟺a7．（黄山市2019届高三八校联考）“”是“直线的倾斜角大于”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a<−1,直线斜率大于1，所以倾斜角大于π4；反之，当直线倾斜角大于π4时，若大于π2，8．（福建长汀、连城等六校2019届高三联考）下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C.若命题，则；D.命题“”是假命题.【答案】C【解析】按照原命题与逆否命题的定义，知A正确；“函数在区间上为增函数”的充要条件是a>1，∴“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，所以B正确；对于D，∀x∈−∞,0,2x>3x,∴D9．（2019年荆州市高三八校联考）下列有关命题的说法正确的是（）A．，使得成立．B．命题：任意，都有，则：存在，使得．C．命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D．若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．【答案】D【解析】选项A，设，则，在上单调递减，所以当时，取得最小值3，故A错误；选项B，：存在，使得，所以B错误．选项C，逆命题为：“若且，则且”当时，满足且，但不满足且，所以C错误．选项D，若数列是等比数列，，则，反过来，若数列是等比数列，当公比为1时，，不能推出，故D正确．10.（合肥一六八中学2019届高三上学期周考试题）以下有关命题的说法错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“”成立的必要不充分条件C.对于命题，使得，则，均有D.若为真命题，则与至少有一个为真命题【答案】D【解析】若p真q假，则为真，但与都是假命题，所以D错11．（江西省红色七校2019届高三第一次联考）设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a∕∕b时，12．（江西省红色七校2019届高三第一次联考）下列命题正确的个数是()①．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；②．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；③．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；④．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①③④正确13.（合肥市2019届高三一模（理科））已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因fx是偶函数，且在上单调递增，a>b⟹a>b,所以有fa>f14.（合肥市2019届高三一模（文科））已知函数，对于实数，“”是“”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数fx是奇函数且在15.（2019年皖北协作区高三联考）设为正数，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a+b>c,取a=b=2,c=3,则a2+b2=8,c2=9,8<9,所以a2+b2>c2不成立16.(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x＋y＝eq\f(π,2)，则sinx＝cosy”的逆命题是假命题；②“在△ABC中，sinB>sinC是B>C的充要条件”是真命题；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．【答案】①②④【解析】对于①，“若x＋y＝eq\f(π,2)，则sinx＝cosy”的逆命题是“若sinx＝cosy，则x＋y＝eq\f(π,2)”，当x＝0，y＝eq\f(3π,2)时，有sinx＝cosy成立，但x＋y＝eq\f(3π,2)，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sinB>sinC⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．17.（合肥市2019届高三二模）若“”