高考数学二轮专题复习 周周练 第一周 数列与概率统计 理-人教版高三数学试题

星期二(数列与概率统计)2016年____月____日1．数列知识(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等．) 已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝eq\f(2Seq\o\al(2,n),2Sn－1)(n≥2)． (1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列； (2)证明：当n≥2时，S1＋eq\f(1,2)S2＋eq\f(1,3)S3＋…＋eq\f(1,n)Sn＜eq\f(3,2). 证明(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝eq\f(2Seq\o\al(2,n),2Sn－1)， Sn－1－Sn＝2SnSn－1，eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2， 从而eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))构成以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)可知，eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝eq\f(1,2n－1)， ∴当n≥2时，eq\f(1,n)Sn＝eq\f(1,n（2n－1）)＜eq\f(1,n（2n－2）) ＝eq\f(1,2)·eq\f(1,n（n－1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n))) 从而S1＋eq\f(1,2)S2＋eq\f(1,3)S3＋…＋eq\f(1,n)Sn ＜1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n))) ＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)＜eq\f(3,2).2．概率统计知识(命题意图：考查方差的求法，相互独立事件概率的求解以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求法．) 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977 (1)从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明)； (2)若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望． 解(1)两个班数据的平均值都为7， 甲班的方差seq\o\al(2,1)＝ eq\f(（6－7）2＋（5－7）2＋（7－7）2＋（9－7）2＋（8－7）2,5)＝2， 乙班的方差seq\o\al(2,2)＝ eq\f(（4－7）2＋（8－7）2＋（9－7）2＋（7－7）2＋（7－7）2,5)＝eq\f(14,5)， 因为seq\o\al(2,1)＜seq\o\al(2,2)，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定． (2)X可能取0，1，2. P(X＝0)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)， P(X＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)， P(X＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)， 所以X的分布列为：X012Peq\f(1,5)eq\f(1,2)eq\f(3,10) 数学期望E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(11,10). Y可能取0，1，2. P(Y＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,25)， P(Y＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(14,25)， P(Y＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)， 所以Y的分布列为：Y012Peq\f(