高考数学一轮复习 练案（57）第八章 解析几何 第八讲 曲线与方程（含解析）-人教版高三数学试题

[练案57]第八讲曲线与方程A组基础巩固一、单选题1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(D)A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±eq\r(2)) D．x2＋y2＝4(x≠±2)[解析]MN的中点为原点O，易知|OP|＝eq\f(1,2)|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.2．方程eq\r(x－1)lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是(D)3．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线[解析]连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等．∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确．4．(2019·金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(D)A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0[解析]设Q(x，y)，∵|PM|＝|MQ|，∴M为线段PQ的中点，∴则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.5．(2019·四川雅安调研)设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是(B)A．圆 B．两条平行直线C．抛物线 D．双曲线[解析]设P(1，a)，Q(x，y)．以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，eq\f(ay,x×1)＝－1，x＝－ay，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1>0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是(B)A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 D．x2＝16y[解析]M点的轨迹是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．7．(2019·大同模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(D)A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2[解析]如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.又∵|PA|＝1，∴|PM|＝eq\r(|MA|2＋|PA|2)＝eq\r(2)，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.8．已知F是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(A)A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝y－eq\f(1,2) D．x2＝2y－2[解析]把抛物线方程y＝eq\f(1,4)x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)．由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0＋1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y－1，))又∵P(x0，y0)在抛物线y＝eq\f(1,4)x2上，∴2y－1＝eq\f(1,4)(2x)2，即x2＝2y－1，故选A.9．(2019·江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(D)A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[解析]设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|BC|2＝|BE|2＋|CE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，y2＝4x为抛物线．二、多选题10．当α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))时，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示的轨迹可以是(ACD)A．两条直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线[解析]当α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))时，sinα∈(eq\f(\r(2),2)，1)，eq\f(1,sinα)∈(1，eq\r(2))，cosα∈(0，eq\f(\r(2),2))，eq\f(1,cosθ)∈(eq\r(2)，＋∞)，eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0.方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．当α＝eq\f(π,2)时，sinα＝1，cosα＝0，方程x2sinα＋y2cosα＝1化为x2＝1，x＝±1，表示两条直线．当α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))时，sinα∈(eq\f(\r(2),2)，1)，eq\f(1,sinα)∈(1，eq\r(2))，cosα∈(－eq\f(\r(2),2)，0)，eq\f(1,cosα)∈(－∞，－eq\r(2))，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为eq\f(x2,\f(1,sinα))－eq\f(y2,－\f(1,cosα))＝1，表示焦点在x轴上的双曲线．所以曲线不可能表示圆，故选A、C、D.11．已知双曲线C过点(3，eq\r(2))且渐近线为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是(AC)A．C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1B．C的离心率为eq\r(3)C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点D．直线x－eq\r(2)y－1＝0与C有两个公共点[解析]对于选项A：由已知可设所求双曲线方程为eq\f(1,3)x2－y2＝λ，又双曲线C过点(3，eq\r(2))，从而eq\f(1,3)×32－(eq\r(2))2＝λ，即λ＝1，从而A正确；对于选项B：由双曲线方程可知a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，从而离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，所以B错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为(2,0)，满足y＝ex－2－1，从而C正确；对于选项D：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)y－1＝0,\f(x2,3)－y2＝1))，整理，得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，由Δ＝(2eq\r(2))2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，D错误．故选A、C.三、填空题12．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0).[解析]设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)．13．(2019·江西九江联考)设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为__y2＝4x__.[解析]设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))因为eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋yeq\o\al(2,0)＝0，即－x＋eq\f(1,4)y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.四、解答题14．(2019·四川成都诊断)已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))，记动点P的轨迹方程为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设不经过点H(0,1)的直线y＝2x＋t与曲线C相交于M，N若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．[解析](1)设P(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))，∴(x，y－n)＝3(m－x，－y)＝(3m－3x，－3y即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3m－3x,y－n＝－3y))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(4,3)x,n＝4y)).又|AB|＝4，∴m2＋n2＝16.从而eq\f(16x2,9)＋16y2＝16.∴曲线C的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋t,\f(x2,9)＋y2＝1))，消去y，得37x2＋36tx＋9(t2－1)＝0，由Δ＝(36t)2－4×37×9(t2－1)>0，可得－eq\r(37)<t<eq\r(37).又直线y＝2x＋t不经过点H(0,1)，且直线HM与HN的斜率存在，∴t≠±1.∴－eq\r(37)<t<eq\r(37)，且t≠±1.∴x1＋x2＝－eq\f(36t,37)，x1x2＝eq\f(9t2－9,37).∵kHM＋kHN＝eq\f(y1－1,x1)＋eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(4x1x2＋t－1x1＋x2,x1x2)，∴eq\f(4x1x2＋t－1x1＋xt,x1x2)＝4－eq\f(4t,t＋1)＝1.解得t＝3.∴t的值为3.15．(2019·四川省宜宾市诊断)已知点M到定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝eq\f(25,4)的距离的比是常数eq\f(4,5).(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝9相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A、B两点，求证：△FAB的周长为定值．[解析](1)设M(x，y)由题意得eq\f(\r(x－42＋y2),|x－\f(25,4)|)＝eq\f(4,5)，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1为轨迹C的方程．(2)证明：设A(x1，y1)，A到l的距离为d，eq\f(|AF|,d)＝eq\f(4,5)，∴|AF|＝eq\f(4,5)d＝eq\f(4,5)|eq\f(25,4)－x1|，∵x1∈[－5,5]，∴|AF|＝5－eq\f(4,5)x1，∵eq\f(x\o\al(2,1),25)＋eq\f(y\o\al(2,1),9)＝1，∴|AN|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)－9)＝eq\f(4,5)x1，∴|FA|＋|AN|＝5－eq\f(4,5)x1＋eq\f(4,5)x1＝5，同理|FB|＋|BN|＝5，∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝10，∴△FAB的周长为定值10.B组能力提升1．(2019·杭州模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(D)A．eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B．eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1[解析]设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝4eq\r(3).故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.故选D.2．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(C)A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x＞3) D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x＞4)[解析]如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(A)A．y2－eq\f(x2,48)＝1(y≤－1) B．y2－eq\f(x2,48)＝1C．y2－eq\f(x2,48)＝－1 D．x2－eq\f(y2,48)＝1[解析]显然|AC|＝13，|BC|＝15，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝2.∴F的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的下支，故选A.4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为__y2＝4(x－2)__.[解析]设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))联立得x＝x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).y＝y1＋y2＝eq\f(4k,k2)，消去参数k，得y2＝4(x－2)．5．(2019·课标Ⅱ，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－eq\f(1,2).记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．[解析](1)由题设得eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－eq\f(1,2)，化简得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1(