高考数学一轮复习 练案（59）第九讲 圆锥曲线的综合问题 第2课时 最值、范围、证明问题（含解析）-人教版高三数学试题

[练案59]第二课时最值、范围、证明问题A组基础巩固一、单选题1．(2019·北京模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，离心率e∈[eq\r(2)，2]，则两条渐近线的夹角θ的取值范围是(B)A．[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)] B．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]C．[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)] D．[eq\f(2π,3)，π][解析]由eq\r(2)≤e≤2，得eq\r(2)≤eq\f(c,a)≤2，eq\r(2)≤eq\r(\f(a2＋b2,a2))≤2，∴1≤eq\f(b,a)≤eq\r(3)，故两条渐近线的夹角θ的取值范围为[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]．2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆eq\f(x2,10)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(D)A．5eq\r(2) B．eq\r(46)＋eq\r(2)C．7＋eq\r(2) D．6eq\r(2)[解析]设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝eq\r(m2＋n－62)①，因为eq\f(m2,10)＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝eq\r(－9n2－12n＋46)，因为－1≤n≤1，故当n＝－eq\f(2,3)时，|QC|有最大值，最大值为5eq\r(2)，所以|PQ|max＝|QC|max＋eq\r(2)＝6eq\r(2).3．(2019·深圳模拟)M是抛物线y2＝x上的一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称圆⊙C上的一点，则|MN|的最小值是(A)A．eq\f(\r(11),2)－1 B．eq\f(\r(10),2)－1C.eq\r(2)－1 D．eq\r(3)－1[解析]如图所示，设(－1,4)关于x－y＋1＝0的对称点是P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－4,x0＋1)＝－1，,\f(x0－1,2)－\f(y0＋4,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝0，))故⊙C的方程是(x－3)2＋y2＝1.设M(x，y)，则|MP|2＝(x－3)2＋y2＝x2－5x＋9＝(x－eq\f(5,2))2＋eq\f(11,4)，∴|MP|的最小值为eq\f(\r(11),2)，∴|MN|的最小值为eq\f(\r(11),2)－1.4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(C)A．2 B．eq\r(2)C．4 D．2eq\r(2)[解析]∵eq\f(2,p)＝eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AF|＋|BF|,|AF|·|BF|)≥eq\f(2,\r(|AF·BF|))，即1≥eq\f(2,\r(|AF|·|BF|))，∴|AF|·|BF|≥4，(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选C.5．(2020·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(B)A．eq\f(21,4) B．6C．8 D．12[解析]设P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋y2＋x＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，(－2≤x≤2)，显然当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6，故选B.二、多选题6．(2020·皖西南期末改编)若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|＝8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左右焦点，则C的离心率的值可能是(BCD)A．eq\f(1,2) B．eq\f(7,9)C．eq\f(4,5) D．eq\f(\r(3),2)[解析]由|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|＝8|PF2|知|PF2|＝eq\f(2a,9)，∴a－c≤eq\f(2a,9)≤a＋c，∴e＝eq\f(c,a)≥eq\f(7,9)，即e∈[eq\f(7,9)，1)，故选BCD.7．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是(AC)A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为±eq\r(3)D．△AOB的面积为4[解析]不妨设A在第一象限，如图作BH⊥AC于H，记|BF|＝a，则|AH|＝2a，|AB|＝4∴∠HAB＝60°，∴kAB＝eq\r(3).(同理当A在第四象限时kAB＝－eq\r(3))，C正确；又AB：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝\r(3)x－1))得A(3,2eq\r(3))，B(eq\f(1,3)，－eq\f(2\r(3),3))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|yA－yB|＝eq\f(4\r(3),3)，D错；又eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(3))·(2，eq\f(2\r(3),3))＝0，∴eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(DF,\s\up6(→))，即∠CFD＝90°，A正确；又M(eq\f(5,3)，eq\f(2\r(3),3))，∴eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝(eq\f(8,3)，－eq\f(4\r(3),3))·(eq\f(8,3)，eq\f(4\r(3),3))＝eq\f(16,9)≠0，即eq\o(CM,\s\up6(→))与eq\o(DM,\s\up6(→))不垂直，B错．故选AC.三、填空题8．(2020·甘肃诊断)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是__[10，＋∞)__.[解析]由题意可知以O为圆心，eq\f(p,2)为半径的圆与直线有公共点，即5≤eq\f(p,2)，∴p≥10.9．(2019·河南安阳)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为__4__.[解析]因为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的两焦点坐标分别为(－1，0)，(1,0)，离心率为eq\f(1,2)，故双曲线C的离心率为2，c＝1，从而a＝eq\f(1,2)，|PF2|≥eq\f(1,2)，所以eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(2a＋|PF2|2,|PF2|)＝|PF2|＋eq\f(4a2,|PF2|)＋4a＝|PF2|＋eq\f(1,|PF2|)＋2≥2eq\r(|PF2|·\f(1,|PF2|))＋2＝4(当且仅当|PF2|＝1时，等号成立)．10．(2019·福建模拟)已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是[eq\r(3)＋1，＋∞).[解析]以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq\r(3))，双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4－a2)＝1(0<a<2)，c＝2，双曲线与线段CD有交点，则x2＝a2(1＋eq\f(3,4－a2))≤1，又0<a<2，解得0<a≤eq\r(3)－1，则该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)≥eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.四、解答题11．(2020·河南开封模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1.点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足RQ⊥PF，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程E；(2)若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))的最大值．[解析](1)由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，即|QP|＝|QF|，又因为PQ⊥l，即Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q(x，y)，则|x＋1|＝eq\r(x－12＋y2)，化简得y2＝4x，所以动点Q的轨迹方程E为：y2＝4x.(2)由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y＝k(x－1)，CD：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，联立可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1·x2＝1.因为向量eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))方向相反，所以eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝－|eq\o(FA,\s\up6(→))||eq\o(FB,\s\up6(→))|＝－(x1＋1)(x2＋1)＝－(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－(eq\f(4,k2)＋4)，同理，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，可得eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))＝－|eq\o(FC,\s\up6(→))|·|eq\o(FD,\s\up6(→))|＝－4k2－4，所以eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))＝－4(k2＋eq\f(1,k2))－8，因为k2＋eq\f(1,k2)≥2，当且仅当k2＝1，即k＝±1时取等号，所以eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))的最大值为－16.12．(2019·山西模拟)设椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2eq\r(2)＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．[解析](1)∵椭圆的焦点在x轴上，A(0，－1)为顶点，故b＝1，右焦点(c,0)到直线x－y＋2eq\r(2)＝0的距离为3，即eq\f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，c＝eq\r(2)，则a2＝b2＋c2＝3，故椭圆方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∵直线与椭圆交于不同的两点，故Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0得3k2设M(x1，y1)，N(x2，y2)的中点为Q(x0，y0)，则x1＋x2＝－eq\f(6km,1＋3k2)，所以x0＝eq\f(－3km,1＋3k2)，y0＝eq\f(m,1＋3k2)，|AM|＝|AN|等价于AQ垂直平分MN，∴kAQ·k＝－1，即eq\f(\f(m,1＋3k2)＋1,－\f(3km,1＋3k2))·k＝－1，化简得2m＝3k2＋1>1，解得m>eq\f(1,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k2－m2＋1>0，,2m＝3k2＋1，))解得0<m<2.综上可得m的取值范围是(eq\f(1,2)，2)．B组能力提升1．(2019·桂林模拟)若点P在椭圆7x2＋4y2＝28上，则点P到直线3x－2y－16＝0的距离的最大值为(C)A．eq\f(12\r(13),13) B．eq\f(16\r(13),13)C．eq\f(24\r(13),13) D．eq\f(28\r(13),13)[解析]将椭圆方程7x2＋4y2＝28化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1.设椭圆上点P的坐标为P(2cosα，eq\r(7)sinα)、则点P到直线3x－2y－16＝0的距离d＝eq\f(|6cosα－2\r(7)sinα－16|,\r(13))＝eq\f(|8cosα＋φ－16|,\r(13))，∴dmax＝eq\f(|－8－16|,\r(13))＝eq\f(24\r(13),13).故选C.2．已知P为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上一个动点，过点P作圆(x＋1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围为(C)A．[eq\f(3,2)，＋∞) B．[eq\f(3,2)，eq\f(56,9)]C．[2eq\r(2)－3，eq\f(56,9)] D．[2eq\r(2)－3，＋∞)[解析]记圆心为F(－1,0)，∠APB＝2θ，则有eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|PA|2·cos2θ＝|PA|2(1－2sin2θ)＝(|PF|2－1)(1－eq\f(2,|PF|2))＝|PF|2＋eq\f(2,|PF|2)－3，其中|PF|∈(1,3]．记f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3，x＝|PF|2∈(1,9]，则f′(x)＝1－eq\f(2,x2)＝eq\f(x2－2,x2)，当1<x<eq\r(2)时，f′(x)<0，f(x)在区间(1，eq\r(2))上单调递减；当eq\r(2)<x≤9时，f′(x)>0，f(x)在区间(eq\r(2)，9]上单调递增．因此，函数f(x)的值域是[2eq\r(2)－3，eq\f(56,9)]，即eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围为[2eq\r(2)－3，eq\f(56,9)]，选C.3．(2020·河北联考)如图，由抛物线y2＝8x与圆E：(x－2)2＋y2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P(2,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点A、B，则|AB|的取值范围为(D)A．[2,3] B．[3,4]C．[4,5] D．[5,6][解析]由题意可知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x－22＋y2＝9))得(x－2)2＋8x＝9，整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝3＋x0＋2＝x0＋5，所以|AB|＝x0＋5∈[5,6]，故选D.4．(2019·北京卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．[解析](1)由题意得，b2＝1，c＝1.所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝eq\f(y1－1,x1)x＋1.令y＝0，得点M的横坐标xM＝－eq\f(x1,y1－1).又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝|eq\f(x1,kx1＋t－1)|.同理，|ON|＝|eq\f(x2,kx2＋t－1)|.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,\f(x2,2)＋y2＝1))得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0.则x1＋x2＝－eq\f(4kt,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2t2－2,1＋2k2).所以|OM|·|ON|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,kx1＋t－1)|·|\f(x2,kx2＋t－1)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,k2x1x2＋kt－1x1＋x2＋t－12)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2t2－2,1＋2k2),k2·\f(2t2－2,1＋2k2)＋kt－1·－\f(4kt,1＋2k2)＋t－12)))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t,1－t))).又|OM|·|ON|＝2，所以2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t,1－t)))＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2020·河北衡中联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(2\r(2